講義信號課件ss

1、信 號 與 系 統(tǒng)Signals and Systems姚敏E-MAIL：myao9917THE Z-TRANSFORMZ變換2基本要求F 掌握z變換的定義 及其性質(zhì)F 掌握z變換的收斂域)掌握逆z變換)熟練運用z變換分析LTI系統(tǒng)37.1雙邊Z變換4Discrete-Time Fourier Transform離散時間傅里葉變換Convergence condition收斂條件 xn absolutely summable絕對可和n=- xn 2 0)對于不滿足收斂條件的信號對新信號取傅里葉變換Im xnr -ne- jwn n=-zrwz = re jw= xnz-n n=-= X zRe

2、0z變換6xn = anun例X z = anunz-nn=-X z = n=0=1(az-1)n1- az-1| az-1 | a |a7xn = -anu-n -1例-1X z = (-an z -n )n=-= (-a-m zm )m=1a= -(a-1z)m m=1- a-1z=1- a-1z1=1- az-187.2Z變換收斂域9X z = xnz-n n=- 只有上式收斂時，z變換才有意義，使上式收斂的所有z值之集合，稱為z變換的收斂域 兩個不同的信號，由于收斂域不同，可能對應相同的z變換，為了使z變換與信號之間一一對應，必須給出z變換的收斂域10 z變換收斂的充要條件| xnz-

3、n | n=- 絕對可和 | an |n = - 收斂判定法正項級數(shù) 1 1發(fā)散11 有限長序列xn = xnun - n1 - un - n2X z = xnz-n n=n1-1n2n1 = n2 = 0n1 0, n2 0| z | 0 | z | ROC :ROC : ROC :n1 0, n2n1 0,12 右邊序列xn = xnun - n1-1X z = xnz-n = xnz-n+ xnz-n n=0n=n1n=n1lim nxnz -n收斂時 lim n | xn | = R-xn13 右邊序列n1 0,n1 R -xR - | z | R -xROC :ROC :ROC :1

4、4 左邊序列xn = xnun2 - nn2n20X z = xnz-nn=-= xnz-n + xnz-nn=-n=1n2= xmzm m=0+ xnz-n n=1x-mzm 1limm收斂時m| z | 0,0 | z | R +xROC :n2 0,| z | R -x| z | Rx- , Rx+ Rx-R - | z |a|z|b故ROC:a|z| 0.8,| z | 1.25 (2) | z | 0.8,| z | 1.25 (3) | z | 0.8,| z | 1.25(4) | z | 1.25| z | 1.250.8 | z | 1.25| z | 0.8 ROC不存在2

5、07.3Z變換的幾何表示21X z = N (z)Z的有理分式D(z)5 + 2z-1X z =例1- 0.8z-1|z|=1= 5(1+ 0.4z-1)1- 0.8z-122X e jw = X z |z =e jwjw= e單位圓z|z|=1j1-1-j單位圓上的z變換就是其傅里葉變換237.4Z變換的性質(zhì)24xnZ X (z)ynZ YzR - | z | R +xxR - | z | R +yy如果 axn + bynZ aXz + bYz R- | z | R+則25 移位性 | z | R +x | z | R +xxnZ X (z)xn - mZ z-m X zR -xR -x如

6、果則Zxn - m = xn - mz-nn =-證 xk z-(k + m)=k =-= z-m xkz-kk =-= z-m X (z)26 序列線性加權 | z |Z nZ -RzRx+R如果x nX()zd zX x- | z 11- z -1d1zZnun = -z) =| z | 1(1- z -1(z -1)2dz28 序列指數(shù)加權nZ | z |如果x X()zRRx-x+z| z anZ xna(Xa)R |R則-+xx-1Z X-n當a=-1(x)n(z)29 時域擴展xnZ X (z) | z | R +xR -x如果nZ X (zk ) | zk| RxR則-+(k )

7、xx11 |z Rk = -1x-nZ X ()zRx-x+30 時域卷積xnZ X (z)hnZ H (z) | z | R +xR -x如果 | z | RR-+hh則xn* hnZ X (z)H (z)maxR - , R - | z | minR, R + +xhxh當零極點抵消后，ROC可擴大31xn = anunhn = bnun - abn-1un -1例| b | a |1- az -1az -11- az -11H (z) =1- bz -1-=1- bz -11- bz -1| z | b |xn* hnz X (z)H (z)11- bz -1=| z | b |b|a|

8、327.5常用信號的Z變換33dnZ 1z1unZ | z | 11- z-11- u-n -1Z | z | 1(z -1)21 anunZ | z | a |1- az-11- anu-n -1Z | z | e jw0| z | 1ROC36zsin w-1=sinw nunZ 01- 2z-1 cosw+ z-200| z | e jw0| z | 1ROC37pnn =n ,1 -,1 -,例)x cos1( u,200,L0, 解一由z變換定義1- z2-4z-6 zL(=z-+-+X)+1x+ x2+3x L1=-|11 - x11 + z -2=38xn = cos( pn )

9、un = 1,0,-1,0,1,0,-1,0,L例2 解二j pn2- j pn21212xn =+ eun =( j)n + (- j)n uneX (z) = 1 111+ jz -1+2 1- jz -11= | z | j | z | 11+ z -239例xnun=1,2,3,1,2,3,1,2,3,周期信號 解一由z變換定義-+1z121-2z)+(z +-112z -2+z-33LX= (=1z +)23z+)-23+ -z3)( +-z61-+9z L)+z3-2z -3 1z|140例xnun=1,2,3,1,2,3,1,2,3,周期信號 解二xn - xn - 3 = d

10、n + 2d n -1 + 3d n - 2兩邊取z變換X (z) - z -3 X (z) = 1+ 2z -1+ 3z -21+ 2z -1 + 3z -2X (z) =1- z -3417.6Z反變換42已知X(z)及其ROC，求xn = Z -1 X (z)方法 長除法 部分分式展開法 留數(shù)法43 長除法 X z = xnz-n n=-= N (z)D(z)只要將X(z)在ROC中展成冪級數(shù)，級數(shù)的系數(shù)就是x(n)44 長除法 因果序列：N(z)、D(z)按z的降冪次序排列進行長除左邊序列：N(z)、D(z)按z的升冪次序排列進行長除45例zzX (z) =| z | 1- 2z +1

11、(z -1)2z2= z-1 + 2z-2= nz-nn=0+ 3z-3+Lxn = nun46例zzX (z) =| z |1因果序列X (z) = 1+ 4z-1 + 7z-2= (3n +1)z-nn=0+Lxn = (3n +1)un481+ 2z-1X (z) =1- 2z-1 + z-2例|z|1左邊序列X (z) = 2z + 5z2 + 7z3 +L= - (3n +1)z-n n=-1xn = -(3n +1)u-n -149 部分分式展開法 z-Mz-(m-1)-+ b+L+ b z+ b1bN (z)X (z) =m-1M10z- Nz-(n-1)-+ a+L+ a z+

12、 a1D(z)aN -1N10D(z)有M個零點， X(z)有N個極點（設aN=1）z- M+ bz-(m-1)+L+ b z-+ b1= bm-1M10-z-1 )(1- p z)(1- p z)L(1- p1112N50 部分分式展開法 設X(z)無重極點，MN A1A2ANX (z) =+L+1- p z-11 - p z-1z-11- p12NA = (1- p z-1) X (z) |z= piii因果序列Ni=1xn = -u-n -1n左邊序列( p )i51例 求所有可能的逆z變換7 - 9.5z-1 - 3.5z-2 + 5.5z-3X (z) =(1- z-2 )(1- 0

13、.5z-1)(1-1.5z-1)11- z-111+ z-131- 0.5z-121-1.5z-1=+ -10.5 11.552例 求所有可能的逆z變換1132X (z) =+1- z-11+ z-11- 0.5z-11-1.5z-1| z | 0.5左邊序列ROC1:ROC2 : 0.5 | z | 1雙邊序列 x2n = 3(0.5) un -1+ (-1) + 2(1.5) u-n -1nnn53例 求所有可能的逆z變換1132X (z) =+1- z-11+ z-11- 0.5z-11-1.5z-1ROC3 : 1 | z | 1.5雙邊序列ROC4 : 1.5 N 例 求因果的逆z變

14、換6 + z-5X (z) =1 - 0.25z-26 +16z-1= -16z- 4z-1-3+1- 0.25z-2-1319= -16z-1 - 4z-3 +1- 0.5z-11 + 0.5z-1xn = -16d n -1 - 4d n - 3 + 19(0.5)n un -13(-0.5)n un55 設X(z)有重極點例 求因果的逆z變換2z + 4X (z) =(z -1)(z - 2)22z + 4X (z) =z(z -1)(z - 2)2zABCD=+zz -1+z - 2(z - 2)20= -1 +6C4+ 取z=-2，代入上式- 2- 2- 2 -1- 2 - 2(-2

15、 - 2)2 得 C= -5 56X (z) = -1 +- 564+z -1z - 2(z - 2)2zz652z= -1 +-+ 21 - z-11 - 2z-1(z - 2)2 xn = -d n + 6un - 5(2)n un + 2n(2)n un 577.7單邊Z變換58X (z) = xnzn=0-nxnuZ X (z)ROC在圓外面 xn = anun +1例X (z) = a un +1z-nnn=0= n=0=1an z-n| z | a |1- az-159對于因果信號來說，單邊與雙邊z變換結果是一致的10X (z) =-1(1 - z -1)(1 + z)| z |

16、1例51 - z -151 + z -1=+ xn = 5un + 5(-1)n un607.8單邊Z變換的性質(zhì)61大部分與雙邊z變換性質(zhì)相同，不同的有 位移性 xnuZ X (z)如果則m-1- xkz-k k =0xn + munuZ z X (z)m證： 略例： 略62 初值定理如果對于因果序列，即n0, xn=0xnuZ X (z)x0 = lim X (z)則z-1-2X (z) = x0 + x1z+ x2z+ .證63 終值定理xnuZ X (z)如果lim xn = lim(z -1) X (z)則nz1證：略647.9LTI系統(tǒng)的Z域分析65xnyn=hn*xnY(z)=H(

17、z)X(z)XzzhnH(z)系統(tǒng)函數(shù) H(z)=Y(z)/X(z) 離散LTI系統(tǒng)性能完全由H(z)來表示 66 因果性 n R +x 包含z = ROC :67 因果性 例z(2z2 - 3 z)21H (z) = | z | 1非因果系統(tǒng)32-z +z2268 因果性 11H (z) =+例1- 1 z-11- z-12| z | 1/ 2 hn左邊信號非因果系統(tǒng)1/ 2 | z | 1因果系統(tǒng)69 穩(wěn)定性 | hn | n=-充要條件hnF H (e jw )則存在H (e jw ) = H (z) |z =e jw因為hn的傅里葉變換是單位圓上的z變換，hn的傅里葉變換存在，則hn在

18、單位圓上的z變換存在，故穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)的ROC包含單位圓，即70 穩(wěn)定性 1/3*1/2*32H (z) =+例1- 1 z-11- 1 z-123 ROC :| z | 1/ 3非因果系統(tǒng)，不穩(wěn)定 ROC : 1/ 3 | z | 1/ 2因果系統(tǒng)，穩(wěn)定71 系統(tǒng)函數(shù) 二階系統(tǒng)yn + a1 yn -1 + a0 yn - 2 = b0 xn + b1xn -1 + b2 xn - 2兩邊取z變換Y (z)1+ a z-1 + a z-2 = X (z)b + b z-1 + b z-2 12012b + b z-1 + b z-2Y (z)H (z) = 0121+ a z-1 + a

19、 z-2X (z)1272 系統(tǒng)函數(shù) N階系統(tǒng)NMak yn - k = br xn - rk =0r =0M r-rb zH (z) = r =0Nak =0z-kk73例 因果系統(tǒng)、零狀態(tài)yn + 0.2 yn -1 - 0.24 yn - 2 = xn + xn -11+ z-1解H (z) =1+ 0.2z-1 - 0.24z-21 + z-1(1- 0.4z-1)(1+ 0.6z-1)=1.40.4=-1- 0.4z-11+ 0.6z-1 極點0.4、-0.6，穩(wěn)定的，|z|0.6 741.40.4H (z) =-1- 0.4z-11+ 0.6z-1hn = 1.4(0.4)n -

20、0.4(-0.6)n un1xn = un1- z-12.080.930.15Y (z) = H (z) X (z) =-| z | 11- z-1z - 0.4z + 0.6yn = 2.08 - 0.93(0.4)n- 0.15(-0.6)n un75 因果LTI 步驟1：對差分方程兩邊取單邊z變換步驟2：求出Y(z)步驟3：取反變換，得yn76例 因果LTI系統(tǒng)yn+ yn-1-6 yn-2= xnxn=4nuny-2=0y-1=1 兩邊取單邊z變換 (為書寫方便，省去)Y (z) + z-1 y(z) + y-1z - 6z-2 y(z) + y-2z2 + y-1z = X (z)6

21、 y-2 + 6 y-1z-1 - y-11+ z-1 - 6z-2X (z)Y (z) =1+ z-1 - 6z-2+-1+ 6z-11+ z-1 - 6z-2X (z)1+ z-1 - 6z-2=+零輸入零狀態(tài)771 ROC :| z | 4X (z) =1- 4z-1-1+ 6z-1(1- 2z-1)(1+ 3z-1)1Y (z) =(1- 2z-1)(1+ 3z-1)(1- 4z)+-1- 2 / 5- 9 / 5 )9 / 351+ 3z-18 / 71- 4z-14 / 5= (+) + (+1- 2z-11- 2z-11+ 3z-1 取反變換yn = (- 2 2n59(-3)n

22、 + 8 4n )un + ( 4 2n - 9 (-3)n )un+35755零狀態(tài)零輸入78 系統(tǒng)框圖表示 標乘器 單位延時器 加法器xnxn-1791+ bz-11+ bz-1例H (z) =1- az-1Y (z) =1- az-1X (z)Y (z)(1- az-1) = (1+ bz-1) X (z)yn - ayn -1 = xn + bxn -1yn = ayn -1 + xn + bxn -1系統(tǒng)差分方程xn+b ayn 直接I型 801+ bz-11+ bz-1z)=1- az-1z)=X (1- az-1H (Y (z)例1)z=az-1)zW (X (z)1-)=W (

23、z)(X(1- az-1w n x n-1=(b+zY(z )1)W ()zn1 n 直接II型 81Z-11- 7 z -1- 1 z-2H (z) =42例1 + 1 z -1- 1 z -248Y (z) = (1- 7 z-14- 1 z-2 )W (z) 21W (z) =X (z)1+ 1 z-1- 1 z-2487412y(n) = wn -wn -1 -wn - 21418-z-2 ) = X (z)W (z)(1+1 -zW (z) = - 1 z-1W (z) - 1 z -2W (z) + X (z)48w(n) = - 1 wn -1 + 1 wn - 2 + xn48

24、82w(n) = - 1 wn -1 + 1 wn - 2 + xn48y(n) = wn - 7 wn -1 - 1 wn - 242wnxn+yn-1+-7/4+- 1218 直接II型 83Z-1z-1 -z-2-例H (z) =z-1 -z-2+z-1)(1- 2z-1)(1+=4(1+ 1 z-1)(1- 1 z-1)241 + 1 z-1-1=4 1- 2z1+ 1 z-11- 1 z-124= Hs1 (z) Hs 2 (z)級聯(lián)型84 級聯(lián)型H (z) = Hs1 (z) Hs 2 (z)xn+yn1/41/4-2-1/2Hs 2 (z)Hs1 (z)其中兩個一階的子系統(tǒng)都用直接II型來實現(xiàn)85Z-1Z-15H (z) = 4 +-并聯(lián)型z-1z-+-45/3xnyn+-1/2-14/3+1/4Z-186其中每個一階的子系統(tǒng)都用直接I型來實現(xiàn)7.10MATLAB實現(xiàn)87ann + 1xn =un xz =-z/a*log(1-1/z*a)1xn =n() cos(an)un 3 xz =3*(3*z-cos(a)*z/(9*z2-6*z*cos(a)+1)88zX (z) =,| z | 2(z -1)(z - 2)2n 0 xn =1+1/2*2n*n