微分及其應(yīng)用-導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

1、 導(dǎo)數(shù)的概念能力目標(biāo)正確的認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)并準(zhǔn)確地理解導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)及其物理意義與幾何意義 用夾板錘鍛造工件,錘頭上、下運(yùn)動(dòng)打擊工件,使其獲得塑性變性,求錘頭下落時(shí),在任一時(shí)刻t的速度(tv,如圖1-1. 任務(wù)分析若將錘頭視為質(zhì)點(diǎn),并設(shè)在時(shí)間t處質(zhì)點(diǎn)的位移為(t ss=,則圖1-1可以抽象為圖1-2,由速度的定義,我們知道,如果作直線運(yùn)動(dòng)的物體在一段時(shí)間t內(nèi)產(chǎn)生的位移為s,那么該物體的平均速度可由公式tsv=計(jì)算.“任務(wù)”中的錘頭所作的是其速度v隨著時(shí)間t的變化而變化的變速直線運(yùn)動(dòng),即(tvv=,問題轉(zhuǎn)化為:怎樣求在任意時(shí)刻t處質(zhì)點(diǎn)的速度(tv!從圖1-2可見,當(dāng)時(shí)間t由t變化到tt+時(shí),錘頭在時(shí)間段t內(nèi)

2、所走過的路程為(t stt ss-+=(其中t稱為時(shí)間t在時(shí)刻t處的增量,s稱為位移s在時(shí)間tt=處的增量.于是,在時(shí)間t內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度,即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t處的平均速度為(t s(t s圖1-2圖1-1tt s t t s t t t s t s t s v -+=-=(0000 因此,當(dāng)t 很小時(shí),就可以用質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0t 處的平均速度v 近似地表示該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0t 處的瞬時(shí)速度(0t v ,而且t 越小,近似程度就越高;所以,當(dāng)0t ,即0t t 時(shí),質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0t 處(即在時(shí)間段t 內(nèi)的平均速度v 就無限地趨近于該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0t 處的瞬時(shí)速度(0t v ,即(0t v v .這時(shí),我們就稱(

3、0t v 為v 在0t t 時(shí)的極限.一、極限的定義對(duì)于函數(shù)(x f y =,如果當(dāng)自變量0x x (或x ,即其絕對(duì)值無限增大 時(shí),函數(shù)(x f y =能無限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A ,即A x f (,則稱當(dāng)0x x (或x 時(shí),函數(shù)(x f 以A 為極限,或(x f 的極限存在.記作:A x f x x =(lim 0(或A x f x =(lim ,讀作:當(dāng)x 趨近于0x (或趨于無窮大時(shí),函數(shù)(x f 的極限等于A .否則稱當(dāng)0x x (或x 時(shí),(x f 的極限不存在.由極限的概念我們可以知道,“任務(wù)”中所求的錘頭 在時(shí)刻0t 處的速度(0t v 就是當(dāng)0t 時(shí),錘頭在時(shí)刻0t 處

4、 的平均速度v 的極限,即tt s t t s t sv t v t t t -+=(lim limlim (000000由此可知,“任務(wù)”中的錘頭在任一時(shí)刻t 處的速度為t t s t t s t s v t v t t t -+=(lim lim lim (000.又如,11(lim 20=+x x 以及01lim =x x (如圖1-3等等,都是函數(shù)的極限.關(guān)于極限的概念,在理解時(shí)應(yīng)注意:1、在極限的定義中,函數(shù)(x f 無限接近于一個(gè)常數(shù)A ,是指|(|A x f -可以小到任意程度.2、函數(shù)的極限與自變量的變化趨勢(shì)密不可分,如果自變量的變化趨勢(shì)不同,即使是同一個(gè)函數(shù),它的極限也會(huì)不同

5、.例如,11-=x y 、111lim 2=-x x 、211lim 21-=-x x 以及011lim =-x x 等情形.圖1-33、在自變量的某一變化過程中,如果函數(shù)值不能與一個(gè)確定的常數(shù)無限地接近,則在此變化過程中,函數(shù)的極限不存在.如,當(dāng)1x ,-=11x y (不趨近于一個(gè)確定的常數(shù),我們稱函數(shù)11-=x y 在1x 時(shí)極限不存在,但無限增大,常將其記作=-11lim1x x .【例題解析】例1 求下列極限:(1156(lim 21+x x x ; (211lim 21-x x x .=+=+x x x ;(22111(lim 11(1(lim 11lim1121=+=+=-+=-

6、x x x x x x x x x . 二、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)(x f y =的自變量由x 變化到x +x ,相應(yīng)的函數(shù)值由(x f y =變化到(x x f y +=(其中,x 稱為自變量x 的增量,(x f x x f y -+=稱為函數(shù)值y 的增量,則稱x y =xx f x x f -+(為函數(shù)(x f y =關(guān)于x 的平均變化率,如果函數(shù)的平均變化率x y 在0x 時(shí)的極限xx f x x f x -+(lim 0存在,則稱這個(gè)極限為函數(shù)(x f y =在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)(也稱之為瞬時(shí)變化率,記作dxdy,簡(jiǎn)記為y '或(x f ',即='(x f x y x 0

7、lim=xx f x x f x -+(lim 0此時(shí),我們說函數(shù)(x f y =在x 處可導(dǎo);如果極限不存在,則稱函數(shù)(x f y =在x 處不可導(dǎo).可見,“任務(wù)”中所給質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位移s 是時(shí)間t 的函數(shù),即(t s s =,由導(dǎo)數(shù)的定義,它在時(shí)刻t 處的導(dǎo)數(shù)(t s '就是它在時(shí)刻t 時(shí)的速度(t v ,即tt s t t s t s t s t v t t -+='=(lim lim(00例如,若51(='s ,即函數(shù)(t s s =在1=t 處的導(dǎo)數(shù)值為5,則說明質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻1=t 時(shí)的速度為5=v ,表示為51(|(1='=s t v t .例2 試求函

8、數(shù)x y 2=在點(diǎn)1=x 處的導(dǎo)數(shù). 解 由導(dǎo)數(shù)的定義知,所求函數(shù)x y 2=的導(dǎo)數(shù)為xx x x x x x f x x f x y y x x x -+=+-+='2(2lim(lim lim000 xx x x x x x x x x x x 2(22lim2(2(2(2lim00+=+-+= 21222120(22-=+=x xx x ;因此,該函數(shù)在點(diǎn)1=x 處的導(dǎo)數(shù)值為='='=1|1(x y f 2212221=-. 例3 利用導(dǎo)數(shù)的概念,求在所給“任務(wù)”中提出的錘頭在任意時(shí)刻t 處的速度.解 設(shè)錘頭在時(shí)刻t 的位移為(t s s =、速度為(t v v

9、=.根據(jù)物理學(xué)知識(shí),我們知道,錘頭所做的運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是221(gt t s s =.再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義知,“任務(wù)”中所提出的錘頭在任意時(shí)刻t 處的速度(t v v =就是其位移函數(shù)(t s s =對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù),即gt t g gt t t s t t s t s t s t v t t t =+=-+='=21(lim (lim lim(000故所求錘頭在任意時(shí)刻t 處的速度為gt t v =(. 例4 試分析曲線(x f y =上的點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)(x f '與該點(diǎn)處的切線斜率切k ,比較發(fā)現(xiàn)二者的關(guān)系.解 如圖1-4,設(shè),(y x P 、Q 是曲線(x f

10、 y =上的兩點(diǎn),連接PQ 得割線PQ ,并且讓點(diǎn)Q 無限地趨近于P 點(diǎn),即P Q ,此時(shí)割線PQ 就繞著點(diǎn)P 連續(xù)地轉(zhuǎn)動(dòng),那么割線PQ 的極限位置PT 就稱為曲線(x f y =在P 點(diǎn)處的切線,即割切k k Q Plim =.而割線PQ 的斜率xx f x x f x y k -+=(tan 割,所以切線的斜率 t a n l i m l i m t a nP=x Q k k 割切 xx f x x f x -+=(lim.又因?yàn)榍€(x f y =上的點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù) 為xx f x x f x f x -+='(lim(0,所以有(x f k '=切.可見,函數(shù)(x f

11、y =在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)(x f ',就等于該曲線(x f y =在點(diǎn),(y x P 處的切線的斜率切k ,即(x f k '=切,稱之為導(dǎo)數(shù)的幾何意義.由導(dǎo)數(shù)的定義可知,導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率.而變化是無處不在且無時(shí)不在的,因此導(dǎo)數(shù)具有非常廣泛的應(yīng)用.比如,我們?cè)谖锢韺W(xué)以及其它學(xué)科中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的密度、壓強(qiáng)、比熱、功率、工作效率等概念;在生活中經(jīng)常用到降雨強(qiáng)度、車流量等概念,都是在刻畫事物的變化率,在非均勻變化的狀態(tài)下,對(duì)這些概念的精確刻畫就是導(dǎo)數(shù),即函數(shù)的變化率,這也就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.又如在電工學(xué)中,通過導(dǎo)體截面的電量Q 是時(shí)間t 的函數(shù)(t Q Q =,它在時(shí)刻

12、t 處的導(dǎo)數(shù)(t Q dtddt dQ =就是電流強(qiáng)度(簡(jiǎn)稱電流I 電量對(duì)于時(shí)間的變化率; 在運(yùn)動(dòng)學(xué)中,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度v 是時(shí)間t 的函數(shù)(t v v =,它在時(shí)刻t 處的導(dǎo)數(shù)(t v dtddt dv =就是加速度a 速度對(duì)于時(shí)間的變化率. 例 5 已知正弦函數(shù)x y sin =的導(dǎo)數(shù)為x y cos =',求正弦線x y sin =在點(diǎn)23,3(處的切線方程. 解 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:213cos3='=x y k 切,代入點(diǎn)斜式方程,即得所求的切線方程為3(2123-=-x y .例6 一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作,生產(chǎn)的食品數(shù)量y (kg 是其工作時(shí)間x (h

13、 的函數(shù)。假設(shè)該函數(shù)y =f (x 在x =1和x =3點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)分別為41(='f 和5.33(='f ,解釋它們的實(shí)際意義.解 導(dǎo)數(shù)41(='f ,說明當(dāng)時(shí)間x 趨于1時(shí),平均變化率11(-x f x f 的值趨于4,它表示該工人上班后工作到1小時(shí)的時(shí)候,其生產(chǎn)速度即工作效率為4kg /h ,也就是說,如果保持這一工作效率的話,他每小時(shí)可以生產(chǎn)4千克的食品;而導(dǎo)數(shù)5.33(='f ,則說明當(dāng)時(shí)間x 趨于3時(shí),平均變化率33(-x f x f 的值趨于3.5,它表示該工人上班后工作至3小時(shí)的時(shí)候,其生產(chǎn)速度即工作效率為3.5kg /h ,也就是說,如果保持這一工

14、作效率的話,他每小時(shí)可以生產(chǎn)3.5千克的食品. 1、物體從某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng),設(shè)s 表示此物體經(jīng)過時(shí)間t 走過的路程,顯然s 是時(shí)間t 的函數(shù):(t s s =,在其運(yùn)動(dòng)的過程中測(cè)得了如下數(shù)據(jù): 試問(1?(2假設(shè)函數(shù)(t s s =在t =1和t =3點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)分別為21(='s 和13(='s ,解釋它們的實(shí)際意義.2、已知拋物線43(2-+=x x x f 在其上一點(diǎn)0,1(p 處的導(dǎo)數(shù)為51(='f ,試求該拋物線在點(diǎn)p 處的切線方程和法線方程. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算能力目標(biāo)能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算并能正確地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題.任務(wù)提出 在工程技術(shù)以及機(jī)械加工中,常常會(huì)遇到

15、一種曲柄滑塊機(jī)構(gòu),如圖1-5所示.當(dāng)半徑為r 的主動(dòng)輪以等角速度旋轉(zhuǎn)時(shí), 長(zhǎng)為l 的連桿AB 就帶動(dòng) 滑塊B 在槽內(nèi)作水平往 返運(yùn)動(dòng).若運(yùn)動(dòng)從0= 開始,試求:滑塊B 在 任意時(shí)刻t 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(t s s =及其速度(t v v =. 如圖1-5,設(shè)滑塊B 到主動(dòng)輪中心的距離為s ,由題意知,這里的s 、是隨著時(shí)間t 的變化而變化的,即(t s s =且t =,又由幾何關(guān)系22cos AC l r CB OC s -+=+=222sin cos r l r -+=,即 (s i n c o s (222t r l t r t s s -+=,這就是所求滑塊B 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 又由導(dǎo)數(shù)的定義可知

16、,滑塊B 的速度v 是(t s s =對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù),即(sin cos(222'-+='=t r l t r t s v ,這里所得到的是一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如果根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)其求導(dǎo),則會(huì)非常麻煩,那么,該如何計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)呢?為此,我們有必要尋求有關(guān)于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的一般方法,這就是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基本公式以及求導(dǎo)法則. 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,我們可以知道求導(dǎo)數(shù)的一般步驟為: 1、求增量:(x f x x f y -+=2、算比值:x y =xx f x x f -+( 3、取極限:x y y x ='0lim =xx f x x f x -+(lim 0例如:用定義求函數(shù)2

17、(x x f =的導(dǎo)數(shù)因?yàn)?x f x x f y -+=22(x x x -+=22x x x +=,所以xyx x +=2, 從而有='y xyx 0limx 2=,即(2'x x 2=可見,用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較繁瑣,那么是否還有更好的求導(dǎo)方法呢?這就是能夠揭示導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)律的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則!一、導(dǎo)數(shù)的基本公式 對(duì)于常見的基本初等函數(shù)(即冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)與反三角函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,可以得到如下求導(dǎo)公式并且可以在以后的運(yùn)算中直接應(yīng)用:1、常函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 0='c (c 為常數(shù);2、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1(-='n n

18、nx x (n 為實(shí)數(shù);3、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (l o g 'x a a x ln 1=,xx 1(ln =' 4、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) a a a x x ln (=',x x e e ='(;5、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù) x x c o s (s i n =',x x sin (cos -=',x x 2sec (tan =',x x 2csc (cot -=',x x x tan sec (sec =',x x x cot csc (csc -=' 6、反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)211(arcsin xx -=',211(arc

19、cos xx -=',211(arctan x x +=', 211cot (x x arc +-='. 上述求導(dǎo)公式,有興趣的讀者可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義自行加以證明,你不妨一試!二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則若函數(shù)(x u u =、(x v v =在點(diǎn)x 處可導(dǎo),則 1、函數(shù)(v u ±在點(diǎn)x 處也可導(dǎo),且v u v u '±'='±(即,兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的代數(shù)和的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和;例如,x x x x x x sin cos s co n si cos (sin +='-'='-. 2、

20、函數(shù)cu 在點(diǎn)x 處也可導(dǎo),且 u c cu '='(,(c 為常數(shù) 即,常數(shù)與可導(dǎo)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于這個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)的導(dǎo)數(shù);例如,x x x 6(33(22='='x x x e x e x e x 3cos 2(3n si 213sin 21(+='+'+'='+.3、函數(shù)(uv 在點(diǎn)x 處也可導(dǎo),且 v u v u uv '+'='(,0(v即,兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù);例如,212122(2(22(-='='=

21、'x x x x ;(cos sin cos (sin cos (sin '+'='x x x x x x x x 22sin cos -=x 2cos =.4、函數(shù)v u 在點(diǎn)x 處也可導(dǎo),且 2(vv u v u v u '-'=' 即,兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù),再除以分母的平方.例如,2222222222221(11(21(1(1(1(1(-+-=-=-'-'='-x x x x x x x x x x x x .【例題解析】例1 求x x f =(的導(dǎo)數(shù).解 由冪

22、函數(shù)的求導(dǎo)由公式1/(-=n n nx x ,可得xx x x x f 212121(2112121='='- 例2 已知函數(shù)x x f 2(=,求0(f '解 因?yàn)?ln 2'2(/x x x f =,所以2ln 2ln 20(0='f 例3 求下列各導(dǎo)數(shù)(13sin 52(35-+-=x x x x f ;(2x x y sin 2=;(31+=x e y x .解(1565(24+-='x x x f ;(2x x x x x x x x y cos sin 2(sin sin (222+='+'='(32221(1

23、(1(1(1(1(1(+=+-+=+'+-+'='+='x xe x e x e x x e x e x e y xx x x x x . 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定義 設(shè)函數(shù)(u f y =、(x u =,若x 在某一區(qū)間上取值時(shí),與其對(duì)應(yīng)的(x u =能使得函數(shù)(u f y =有意義,則稱y 是x 的復(fù)合函數(shù).記作:(x f y =,其中u 叫做中間變量.通常,(x f y = 叫做由函數(shù)(u f y =、(x u =復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).想一想12+=x y 是復(fù)合函數(shù)嗎?例如,x y 2sin =是由函數(shù)u y sin =、x u 2=復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù);而復(fù)

24、合函數(shù)x y 2sin =則是由函數(shù)2u y =、x u sin =復(fù)合而成的;22x a y -=就由函數(shù)u y =、22x a u -=復(fù)合而成.例4 試分析函數(shù)12+=x y 的復(fù)合過程解 所給復(fù)合函數(shù)函數(shù)的復(fù)合過程為u y =、v u =、=v 、12+=x .復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果函數(shù)(x u =在某一點(diǎn)x 處有導(dǎo)數(shù)(x u x '=',函數(shù)(u f y =在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u 處有導(dǎo)數(shù)(u f y u '=',那么復(fù)合函數(shù)(x f y =在該點(diǎn)x 處也有導(dǎo)數(shù),并且等于導(dǎo)數(shù)(u f '與導(dǎo)數(shù)(x '的乘積,即 '='(u f x

25、 f x (x ' 或dx du du dy u y y xu x =''=' 例5 試求函數(shù)sin(x y =的導(dǎo)數(shù)(為常數(shù)解 因?yàn)閡 y sin =、x u =,所以 =u u y y x u x cos /cos(x .例6 求函數(shù)xy 2sin 2=的導(dǎo)數(shù)解(法1令u y 2=,2v u =,x v sin =,則2ln 2/u u y =,v u v 2/=,x v t cos /=,故2ln 2sin 2cos 22ln 22sin /x x v y x u x =.注意到復(fù)合函數(shù)是由二個(gè)及以上的函數(shù)復(fù)合而成的,因此求導(dǎo)法則可簡(jiǎn)述為:由“外”向“里”

26、逐層求導(dǎo),也就是先對(duì)最外面的一層函數(shù)求導(dǎo),同時(shí)將內(nèi)層的函數(shù)視為一個(gè)整體相當(dāng)于一個(gè)自變量,然后再乘以這個(gè)整體的導(dǎo)數(shù).例如,xy 2sin 2=這個(gè)函數(shù)的最外面一層是指數(shù)函數(shù),將x 2sin 視為一個(gè)整體,先對(duì)指數(shù)函數(shù)求導(dǎo),然后乘以x 2sin 的導(dǎo)數(shù).(法2(sin 2ln 22(2sin sin 22'='='x y x x (sin sin 22ln 22sin '=x x xx x xcos sin 22ln 22sin =2ln 2sin 22sin x x=.任務(wù)實(shí)施提示 在引進(jìn)了中間變量u 后,要注意適時(shí)還原;在熟練掌握了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的技巧后,可不必

27、出現(xiàn)中間變量u 、v ;對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo),還可以借助于數(shù)學(xué)軟件得到. 例7 完成前述所提出的“任務(wù)” ，求滑塊 B 在時(shí)刻 t 的運(yùn)動(dòng)速度 v = s(t . 解 運(yùn)用求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得 v = s(t = r sin( t r 2 sin 2( t l 2 r 2 sin 2 ( t ， 這就是所求滑塊 B 的運(yùn)動(dòng)速度. 知識(shí)鏈接 四、二階導(dǎo)數(shù) 通常，我們把函數(shù) y = f (x 在任意一點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù) y = f (x 或 為函數(shù) y = f (x 的一階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為一階導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù). 若 y = f (x 的一階導(dǎo)函數(shù) y = f (x 仍然是 x 的可導(dǎo)函數(shù)， y

28、= f (x 的導(dǎo) 則 數(shù) ( y = f ( x 就稱為函數(shù) y = f (x 的二階導(dǎo)數(shù)，記作 y 、 d2y 或 f (x . dx 2 dy = f (x 稱 dx 例如， 函數(shù) y = ( x 3 + 1 2 的一階導(dǎo)數(shù)為 y = 2( x 3 + 1 3 x 2 = 6( x 5 + x 2 ， 它的二 階導(dǎo)數(shù)就是 y = ( y = 6(5 x 4 + 2 x ，等等. 五、用數(shù)學(xué)軟件 Mathematica 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1、求函數(shù) y = f (x 的導(dǎo)數(shù)的命令格式為： D f ( x, x 2、求函數(shù) y = f (x 的 n 階導(dǎo)數(shù)的命令格式為： D f ( x, x,

29、n 提示 作變速 例如，求函數(shù) y = x 2 e 2 x 的三階導(dǎo)數(shù)： 輸入命令：Dx2 E(2x,x,3 按 Shift+Enter 鍵，屏幕顯示結(jié)果： 12e 例8 2x 直線運(yùn)動(dòng)的 物體，若已知 s = s(t ，則 由導(dǎo)數(shù)的物 一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，已知其位移 s （單位：米）是時(shí)間 t （單位：秒） 理 意 義 知 + 24e x + 8e x . 2x 2x 2 的函數(shù)： s = s (t = 10 t + 5t 2 ， v = s(t 、 （1）求 t 從 1 變到 4 時(shí)，位移 s 關(guān)于時(shí)間 t 的平均變化率，解釋它的實(shí)際 a = s(t . 意義； （2）求 s ，并計(jì)算 s (1 、 s (4 ，解釋它們的實(shí)際意義； （3）求質(zhì)點(diǎn)在 t 秒時(shí)的加速度. 解 （1）當(dāng) t 從 1 變到 4 時(shí)，位移 s 從 s (1 = 15 變到 s (4 = 100 ，則位移 s 關(guān) 11 s(4 s(1 100 15 28.3 ， = 4 1 4 1 實(shí)際上， 它表示在從 t1 秒到 t3 秒這段時(shí)間， 質(zhì)點(diǎn)平均每秒的位移為 28.3 米；用物理學(xué)知識(shí)解釋就是：質(zhì)點(diǎn)在 t1 秒到