12指數(shù)與對數(shù)運算

1、第12次課 指數(shù)與對數(shù)運算【教學目標】一、知識目標1、理解有理指數(shù)冪的含義，掌握冪的運算；2、理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)。 二、能力目標 在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法，培養(yǎng)學生類比思維能力。通過對公式的應用，提高學生分析問題和解決問題的能力。通過歸納總結，促進學生自主學習和歸納的能力。 三、情感目標通過實例和圖象的直觀，讓學生體會建立和研究一個函數(shù)模型的基本過程和方法，學會運用具體的函數(shù)模型解決一些實際問題?！窘虒W重點】 1、指數(shù)與對數(shù)運算性質的綜合運用，并能靈活解題； 2、換底公式的靈活運用?！窘虒W難點】利用指數(shù)對數(shù)相關概念熟練

2、解決題目。【考點分析】高考題中，指數(shù)對數(shù)函數(shù)題低檔、高檔難度都有，且填空、解答題齊全；低檔難度題一般涉及指數(shù)、對數(shù)的運算，高檔難度題一般涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質。本輪復習的重點是指數(shù)冪的運算、對數(shù)式的運算以及指數(shù)式對數(shù)式的綜合運用。熟練掌握指數(shù)、對數(shù)的運算，有助于提高分析問題和解決問題的能力。考試要求是：1、理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質；2、理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質?！局R梳理】（一）指數(shù)1、根式（1）概念：若（），則稱x為a的n次方根，“”是方根的記號。（2）a的n次方根的性質：在實數(shù)范圍內，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)，0的奇次方根是0；正

3、數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數(shù)，0的偶次方根是0，負數(shù)沒有偶次方根。 n為奇數(shù)，=a； n為偶數(shù)，=|a|=2、有理數(shù)指數(shù)冪（1）分數(shù)指數(shù)冪的意義： （注：無意義） ； （2）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質 ； ； （二）對數(shù) 1、對數(shù)的基本概念（1）一般地，如果（）的次冪等于，就是，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)，式子叫做對數(shù)式（2）常用對數(shù)：，記作； 自然對數(shù)（e=2.71828），記作.（3）指數(shù)式與對數(shù)式的關系：（，且，）（4）對數(shù)恒等式：2、對數(shù)的性質（1）負數(shù)和零沒有對數(shù)，即； （2）1的對數(shù)是零，即； （3）底的對數(shù)等于1，即3、對數(shù)的運算性質 （1

4、）如果a0，a1，M0，N0，那么； ；（2）換底公式： 推論： ； ； 【典型例題】題型一、根式的化簡、指數(shù)冪的運算例題1：化簡 （1） ； （2） . （3） ； （4） 【解析】（1）； （2）； （3）=； （4）【點評】不注意n的奇偶性對式子的值的影響，是導致問題出現(xiàn)的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用本題易錯的是第（3）題，往往忽視a與2大小的討論，造成錯解；第（4）題中，n為偶數(shù)時，應等于一個正值，所以要先判斷的符號。例題2：計算 （1）； （2）··； 【解析】（1）原式；（2）3··=3·3·3&

5、#183;3=3=32=9【點評】利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質來運算。題型一變式、分數(shù)指數(shù)冪與根式的運算變式1：化簡（1）； （2）. 【解析】（1）原式 （2）原式【點評】本題考查的是有理數(shù)指數(shù)冪的綜合運算能力，在指數(shù)運算中,一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式.變式2：若，則_ . 【答案】【解析】【點評】本題考查的是分數(shù)指數(shù)冪運算的逆運算以及整體思想的運用，將、看作一個整體，再進行代數(shù)運算。題型二、對數(shù)式的運算例題1：填空（1）_ _； （2） ； （3）_ _； （4）_ _；（5） 【解析】（1）；（2）

6、；（3）；（4）；（5）【點評】在進行同底數(shù)對數(shù)運算時要注意公式的運用，等公式在運用時要注意系數(shù)為1，如系數(shù)不是1，可用公式將系數(shù)化為1，再進行計算；題（1）中要注意運算的順序，從里到外依次運算；對數(shù)運算是基于底數(shù)一致的情況下，底數(shù)不同時用換底公式使底數(shù)一致。例題2：若，則（ ） 【解析】選A。因為【點評】本題考查的是對數(shù)式運算的逆運算以及整體思想的運用，將看作一個整體，通過將原式的化簡，得到關于的一個代數(shù)式，再進行代數(shù)運算。題型二變式、對數(shù)運算性質運用變式1：計算 【解析】【點評】在計算過程中常出現(xiàn)公式的誤用，要注意正確運用；進行數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、合并同類項

7、等，要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式，如、等。變式2：，則 .【解析】。因為則【點評】本題考查了指數(shù)式與代數(shù)式間的互換，；同時用到換底公式。題型三、解指數(shù)式、對數(shù)式方程例題1：已知，則（ ） 2 4 8 32【解析】選B。原方程化為，解得，所以選B?！军c評】在解底數(shù)是未知數(shù)的對數(shù)方程時，常常把對數(shù)式化為指數(shù)式，變?yōu)槌Ｒ姷姆匠淘龠M行解方程計算；解得情況要注意討論取值。例題2：已知 ，求的值 ； ，求的值?！窘馕觥?解：原方程為，x2=2，解得x=或x=.經(jīng)檢驗，x=是原方程的解，x=不合題意，舍去. 解：原方程化為，解得x=1或x= 6經(jīng)檢驗，x=1或x= 6是原方程的解【點評】在解真數(shù)是

8、未知數(shù)的對數(shù)方程時，常常把常數(shù)項化為同底數(shù)的對數(shù)式，可用轉化，常用，；解得的結果一定要進行檢驗，看是否滿足條件，再進行取舍。題型三變式、類一元二次方程變式：解方程：（1）； （2）【解析】（1）解：原方程為6×3-x27=0，(3-x3)(3-x9)=0.3-x30，由3-x9=0得3-x=32.故x=2是原方程的解.（2）解：原方程為lg2(x10)3lg(x10)4=0，lg(x10)4lg(x10)1=0.由lg(x10)=4，得x10=10000，x=9990；由lg(x10)=1，得x10=0.1，x=9.9， 檢驗知： x=9990和9.9都是原方程的解. 【點評】解類一

9、元二次方程時要注意運用整體的思想，例如題（1），把看成未知數(shù)，解得的一元二次方程的跟等于，再進行解方程的最終結果；解得的結果一定要進行檢驗?！痉椒ㄅc技巧總結】（一）在進行有理數(shù)指數(shù)冪運算時，運算的方法及步驟為： 根式運算時，常轉化為分數(shù)指數(shù)冪，根式化為分數(shù)指數(shù)冪時，再由里往外依次進行； 有分式的把轉化為負數(shù)指數(shù)冪； 底數(shù)盡量化為一致； 四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數(shù)冪的運算性質及運算規(guī)律擴充到分數(shù)指數(shù)冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序。（二）對數(shù)運算應注意： 對數(shù)運算是基于底數(shù)一致的情況下，底數(shù)不同時用換底公式使底數(shù)一致；對數(shù)式的運算一般都

10、是運用對數(shù)的運算性質及對數(shù)換底公式，注意幾個常用的結論： （底真互換，對數(shù)互倒） 常數(shù)化對數(shù)式時，用轉化，常用，【鞏固練習】1、下列各式中正確的是( ) A. =a B. = C. a 0=1 D. =.2、設，則的值為 3、若= a-1，則a的取值范圍為 4、 方程的解_ _； 方程的解_ _ 5、計算 （1）()÷； （2）log62log63log6276、已知，求的值【課后作業(yè)】1、下列各式中成立的一項 （ ） A B C D 2、的值等于 ( ) A2 B2 C2 D13、已知alog32，那么log382log36用a表示為( ) Aa2 B5a2 C3a(1a)2 D3

11、aa214、化簡(a0）的結果是_. 5、設5x=4，5y=2，則52x-y=_ _ 6、方程的解_ _；方程的解_ _；7、計算 （1） （2）8、設、為正數(shù)，且，求證：【拓展訓練】1、（2009湖南卷文）的值為 （ ） A B C D 2、（2010遼寧文數(shù)10）設，且，則A、 B、10 C、20 D、1003、（2010四川理數(shù)3）2log510log50.25A、0 B、1 C、2 D、4【參考答案】1、鞏固練習答案1、； 2、1； 3、； 4、 2； 5、（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5=5-5=5-5=-5；（2）原式log6log69log63log6(××3)log62.6、，；所以：根據(jù)題意取正，所以：2、課后作業(yè)答案1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、 3； 7、（1）原式=()+()+(0.062 5