概率論與數理統(tǒng)計+二維連續(xù)性隨機變量及其分布

1、解解(1)x 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計故故X,Y不獨立。不獨立。設(X,Y)的密度函數為(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他求(1) C的值; (2) 邊緣密度函數.(1)1( , )d df x yx y 解解概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計xyO2D100(2)xcyx dy dx 100(2)xcx dxydy12015(2)().224ccxxdx24/5.c024(2)( )( , )(2)5xXfxf x y dyyx dy概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計212(2)(01)5xxx124( )( , )(2)5y

2、Yfyf x y dxyx dx2243(2)(01)522yyyy(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他（一）隨機變量的數學期望（一）隨機變量的數學期望1.離散型隨機變量的數學期望設X的分布律為, 2 , 1,)(ipxXPii則2.連續(xù)型隨機變量的數學期望設連續(xù)型隨機變量X的密度函數為f(x),則dxxxfXE)()(概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1()iiiE Xx pReview概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計3.隨機變量函數的數學期望（1）X為隨機變量，Y=g(X),離散型離散型：1( ) ()( )iiiE YE g Xg x p連續(xù)型：連續(xù)型：( )

3、()( ) ( )E YE g Xg x f x dx(2)(X,Y)為二維隨機變量, Z=g(X,Y),離散型：離散型：連續(xù)型：連續(xù)型：11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x yp( ) (, )( ,) ( , )ijE ZE g X Yg x yf x y dxdy 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計xyOD解解:0,01;XDyxx型區(qū)域概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計:0,01;XDyxx型區(qū)域概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1.E (C ) = C2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 11

4、()nniiiiEXE X4.當X ,Y 獨立時，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .11()nniiiiEXE X 線性性質線性性質（二）方差（二）方差1.定義 D(X)=E X-E(X)2標準差：()D X2.計算(2) 離散型：21()().iiiD XxE Xp2()()( ).D XxE Xf x dx(3)連續(xù)型：概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計(1) 計算公式計算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計(1) D(C)=0;(2) D(CX)= C2D(X);(3)若X, Y,則D(X+Y)=D(X) +D(Y).D(X-Y)=D(X

5、) +D(Y).概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解已知隨機變量 X 的分布律為Xp01pp 1D(X).1 ()10(1),iiiE Xx pppp 22221 ()10(1),iiiE Xx pppp222()()()(1)D XE XE Xpppp概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計:1,01;1XGxyx型區(qū)域解解2,( , )( , )0,.x yGf x y其他概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計設Xb(n,p),求E(X),D(X).解解 X表示重伯努利試驗中“成功的次數”，令1,0,iiXi第 次試驗成功第 次試驗失敗 (),()(1).E Xp D XPp且Xi服從0-1分布，則11

6、 ()()()(1),nniiiiD XDXD Xn pp11 ()()(),nniiiiE XEXE Xn p又Xi之間相互獨立，概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計已知標準正態(tài)分布N(0,1)的期望是0，方差是1。設XN(,2),求E(X),D(X).解解(0,1)XN由由，得得()0()XE XE()E X2().D X()()E XXD X隨機變量的標準化：隨機變量的標準化：2()1()0XD XD 分布數學期望 方差0-1分布B(1,p) p p(1-p)二項分布B(1,p) np np(1-p)泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數分布)(P( )E),(2N),(baU2/ )(ba12/)(

7、2ab2/121/概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計問題問題 對于二維隨機變量(X ,Y ):聯(lián)合分布邊緣分布 對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系該用一個怎樣的數去反映這種聯(lián)系呢？ ()( )EXE XYE Y數數能反映隨機變量能反映隨機變量 X , Y 之間的之間的關系關系概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計為 X ,Y 的協(xié)方差協(xié)方差. 記為 cov( , )( )( )X YE XE XYE Y稱()cov(, )cov( ,)( )D XX YY XD Y為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 稱( )( )E XE XY E Y定義定義概率論與數理

8、統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計計算公式計算公式： cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).分布律如下，求cov(X,Y)概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1()0 0.3 1 0.452 0.250.95,iiiE Xx p 解解 X,Y的分布律分別如下： 1020.550.250.2YP0120.30.450.25XP1( )( 1)0.550 0.252 0.20.15,jjjE Yy p 分布律如下，求cov(X,Y)概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計11()ijijjiE XYx y pcov(, )()() ( )0.1425.X YE XYE X E Y0 ( 1) 0.1 1 ( 1

9、) 0.32 ( 1) 0.150 0 0.2 1 0 0.052 0 00 2 0 1 2 0.122 0.10, 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計GyO解解0;:1,1XG xyx型區(qū)域4cov()()() ( ).225XYE XYE X E Y1108()( , )8,15xDE Xxf x y dxdydxxxydy1104( )( , )8,5xDE Yyf x y dxdydxyxydy1104()( , )8,9xDE XYxy f x y dxdydxxyxydy概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1.cov(X,X)=D(X)5.當X ,Y 獨立時，cov(X ,Y ) = 0

10、 .對稱性對稱性2.cov(X,Y)=cov(Y,X)3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y)6.cov(C,X)=04.cov(X1 +X2,Y)=cov(X1,Y)+ cov(X2,Y)而當cov(X ,Y ) = 0， X ,Y并不一定獨立.X,Y線性線性不相關不相關7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y) 為了消除量綱對協(xié)方差值的影響,我們把X,Y標準化后再求協(xié)方差*,XE XXD X *YE YYD Y*(,)Cov XY XE X YE YED XD Y*()E X Y*()()EXE XYE Y ( )EX

11、E XYE YD XD Y(, )( )Cov X YD XD Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,稱)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE為X ,Y 的 ，記為)()(),cov(YDXDYXXY若, 0XY 稱 X ,Y 不相關不相關.概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1.|XY|12.當X ,Y 獨立時， XY = 0 .3. |XY|越大，則X ,Y 線性相關程度越好當 |XY|=0時，X ,Y 并不是一定沒有關系，而是線性不相關。逆命題不成立逆命題不成立4. (X,Y) N(1,2,

12、12,22,)就是X ,Y 的相關系數，XY = .概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計OXYOXYOXYOXY 000 ( 0 )Yab Xb 000 ( 0 )Yab Xb 000 ( 0 )yab xb 1XY 1XY0 1XY 000 ( 0 )yab xb1 0XY OXY0XY設 ( X ,Y ) N ( 1,4, 1,4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解解, 4)()(, 1)()(YDXDYEXE1/2, cov( , )2XYX Y6),cov(),cov(),cov(YXXXZX( )()( )( )2cov( , ) 12D ZD X YD XDYX Y.

13、.XZcov(X,Z)=3/2D(X) D(Z)概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計 U-,X=sin , Y=cos ,X,Y是否相關，是否獨立？概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解()(sin )sin( )E XEfd1sin0,2d( )(cos )cos( )E YEfd1cos0,2d1sincos0,2d()(sincos )sincos( )E XYEfdcov(, )0X Y其它, 01,1),(22yxyxf(, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y22111110 xxdxxydy()( , )E Xxf x y dxdy 證明證明 (1)于是于是XY=

14、0，所以 X與Y線性不相關。22111110 xxdxxdy()( , )E XYxyf x y dxdy 已知（X,Y）的概率密度如下，試證X與Y既不相關，也不相互獨立。( )( , )E Yyf x y dxdy 22111110 xxdxydy概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計顯然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X與Y不相互獨立。2221121,111(2)( )( , )0,xXxxxfxf x y dydy 其它其它, 01,1),(22yxyxf已知（X,Y）的概率密度如下，試證X與Y既不相關，也不相互獨立。2221121,111( )( , )0,xYxyyfyf x y

15、 dxdx 其它概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計vn維隨機變量X1,X2,Xn服從正態(tài)分布，則Xi都是一維正態(tài)；若Xi是一維正態(tài)，且相互獨立，則X1,X2,Xn服從n維正態(tài)。概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計vn維隨機變量X1,X2,Xn服從正態(tài)分布的充要條件是X1,X2,Xn 的任意線性組合都服從一維正態(tài)。v對n維正態(tài)分布來說，獨立與線性相關是等價的。 設隨機變量X和Y相互獨立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。 知知 Z=2X-Y+3 服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)分布，且解解 由由XN(1,2), YN(0,1)，且，且X與與Y相互獨立相互獨立,D(Z

16、) = 4D(X)+D(Y) = 8+1 = 9, E(Z) = 2E(X)- -E(Y)+3 = 2- -0+3=5 ， 故，故，ZN(5, 32) .概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計Z 的概率密度為的概率密度為2(5)181( ), .3 2zZfzez 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計)(., 2 , 1),(,kkkXEkkXkXEX 記記為為簡簡稱稱的的稱稱它它為為存存在在若若是是隨隨機機變變量量設設階階矩矩階階原原點點矩矩kkkXEXEkXkXEXE)(.,)( 記記為為的的稱稱它它為為存存在在若若階階中中心心矩矩32定義定義1定義定義2.)(1,1的數學期望的數學期望就是就是時時當當顯然顯然XXEk ).(XD 2顯顯然然概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計說明說明 ;,)()(方方差差為為二二階階中中心心矩矩點點矩矩的的一一階階原原是是的的數數學學期期望望隨隨機機變變量量XXEX