狀態(tài)重構與狀態(tài)觀測器設計匯總

1、10.3 狀態(tài)重構與狀態(tài)狀態(tài)重構與狀態(tài)觀測器設計觀測器設計概概 述述q 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋相對于輸出反饋的優(yōu)越性是顯而易見的。系統(tǒng)的任相對于輸出反饋的優(yōu)越性是顯而易見的。系統(tǒng)的任意極點配置、鎮(zhèn)定、解耦控制、無靜差跟蹤等，都有賴于引意極點配置、鎮(zhèn)定、解耦控制、無靜差跟蹤等，都有賴于引入適當?shù)臓顟B(tài)反饋才能夠實現(xiàn)。入適當?shù)臓顟B(tài)反饋才能夠實現(xiàn)。q 狀態(tài)可控的線性定常系統(tǒng)狀態(tài)可控的線性定常系統(tǒng)可通過可通過線性狀態(tài)反饋線性狀態(tài)反饋來進行任意極來進行任意極點配置點配置，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點及性能品質指標。，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點及性能品質指標。 但是，由于但是，由于 1) 描述內部運動特性的狀態(tài)

2、變量有時并不是描述內部運動特性的狀態(tài)變量有時并不是能直接測量的，能直接測量的，2) 而且有時并沒有實際物理量與之直接而且有時并沒有實際物理量與之直接相對應而為一種抽象的數(shù)學變量。相對應而為一種抽象的數(shù)學變量。 這些情況下，用狀態(tài)變量作為反饋變量來構成狀態(tài)反饋這些情況下，用狀態(tài)變量作為反饋變量來構成狀態(tài)反饋系統(tǒng)系統(tǒng)帶來了具體工程實現(xiàn)上的困難帶來了具體工程實現(xiàn)上的困難。q 為此，提出了為此，提出了狀態(tài)變量的重構或觀測估計狀態(tài)變量的重構或觀測估計問題問題? Reconstruction, observation, estimationq 所謂的所謂的狀態(tài)變量的重構或觀測估計狀態(tài)變量的重構或觀測估計問

3、題，即設法另外構造一問題，即設法另外構造一個物理上可實現(xiàn)的動態(tài)系統(tǒng)個物理上可實現(xiàn)的動態(tài)系統(tǒng), 它以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為它的它以原系統(tǒng)的輸入和輸出作為它的輸入輸入 而它的狀態(tài)變量的值能而它的狀態(tài)變量的值能漸近逼近漸近逼近原系統(tǒng)的狀態(tài)變量原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值或者其某種線性組合的值或者其某種線性組合 則這種漸近逼近的則這種漸近逼近的狀態(tài)變量的值狀態(tài)變量的值即為原系統(tǒng)的狀態(tài)即為原系統(tǒng)的狀態(tài)變量的估計值變量的估計值 并可用于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)中代替原狀態(tài)變量作為并可用于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)中代替原狀態(tài)變量作為反饋量來反饋量來構成狀態(tài)反饋律構成狀態(tài)反饋律q 這種這種重構或估計重構或估計系統(tǒng)狀態(tài)變量的裝置稱為系

4、統(tǒng)狀態(tài)變量的裝置稱為狀態(tài)觀測器（狀態(tài)觀測器（state observer），它可以是由電子、電氣等裝置構成的物理系統(tǒng)，它可以是由電子、電氣等裝置構成的物理系統(tǒng), 也可以是由計算機和計算模型及軟件來實現(xiàn)的軟系統(tǒng)。也可以是由計算機和計算模型及軟件來實現(xiàn)的軟系統(tǒng)。 換句話說，為了實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設法利用巳換句話說，為了實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制律，就要設法利用巳知的信息（輸入量及輸出量），通過一個模型知的信息（輸入量及輸出量），通過一個模型(或系統(tǒng)、或系統(tǒng)、或軟件或軟件)來對狀態(tài)變量進行估計。來對狀態(tài)變量進行估計。 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器是指在是指在不考慮噪聲干擾不考慮噪聲干擾下，狀態(tài)值的觀測或下，狀態(tài)

5、值的觀測或估計問題，即所有測量值都準確無差且原系統(tǒng)內外部無估計問題，即所有測量值都準確無差且原系統(tǒng)內外部無噪聲干擾。噪聲干擾。 對于存在噪聲干擾時的狀態(tài)觀測或估計問題，則可對于存在噪聲干擾時的狀態(tài)觀測或估計問題，則可用用卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波理論來分析討論理論來分析討論(最優(yōu)估計最優(yōu)估計)。q本節(jié)主要討論狀態(tài)觀測器理論。本節(jié)主要討論狀態(tài)觀測器理論。 重點掌握重點掌握: 狀態(tài)觀測器的結構、誤差分析、設計方法狀態(tài)觀測器的結構、誤差分析、設計方法 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的分析帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的分析10.3.1 全維狀態(tài)觀測器及其設計全維狀態(tài)觀測器及其設計 Full

6、-dimensional state observerq下面分別介紹下面分別介紹開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器漸近狀態(tài)觀測器漸近狀態(tài)觀測器1. 開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器 Open-loop state observerq 設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 (A,B,C), 即即ABC xxuyx 其中系統(tǒng)矩陣其中系統(tǒng)矩陣A、輸入矩陣輸入矩陣B和輸出矩陣和輸出矩陣C都已知。都已知。 這里的這里的問題問題是：是： 若狀態(tài)變量若狀態(tài)變量 x(t) 不能完全直接測量到不能完全直接測量到, 如何構造一個如何構造一個系統(tǒng)系統(tǒng)隨時隨時估計該狀態(tài)變量估計該狀態(tài)變量 x(t

7、)？ 對此問題一個對此問題一個直觀想法直觀想法是：是： 利用仿真技術來構造一個和被控系統(tǒng)利用仿真技術來構造一個和被控系統(tǒng)有同樣動力學有同樣動力學性質性質（即有同樣的系數(shù)矩陣（即有同樣的系數(shù)矩陣A, B和和C）的如下系統(tǒng)，）的如下系統(tǒng)，用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計值（即重構被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量）（即重構被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量）:ABCxxuyx其中其中 為被控系統(tǒng)狀態(tài)變量為被控系統(tǒng)狀態(tài)變量 x(t) 的估計值。的估計值。 xq 該狀態(tài)估計系統(tǒng)稱為該狀態(tài)估計系統(tǒng)稱為開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器，簡記為，簡記為 B A C u + B A C xx

8、 x y開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器 y x + + + x 圖圖3-1 開環(huán)狀態(tài)觀測器的結構圖開環(huán)狀態(tài)觀測器的結構圖 其結構如下圖所示。其結構如下圖所示。( , ,)A B Cq 比較系統(tǒng)比較系統(tǒng) (A,B,C)和和 的狀態(tài)變量，有的狀態(tài)變量，有( , ,)A B C( )( )( )( )ttAtt xxxx( )( )(0)(0)Atttexxxx 則狀態(tài)估計誤差則狀態(tài)估計誤差 的解為的解為xxq 顯然顯然, 當當 時時, 則有則有 ,( )( )ttxx(0)(0)xx 即估計值與真實值完全相等。即估計值與真實值完全相等。 但是，一般情況下是很難做到這一點的。這是因為但是，一般情況下是

9、很難做到這一點的。這是因為:2. 若矩陣若矩陣 A 的某特征值位于的某特征值位于 s 平面的虛軸或右半開平平面的虛軸或右半開平面上面上(實部實部 Re s 0), 則矩陣指數(shù)函數(shù)則矩陣指數(shù)函數(shù) eAt 中包含不隨中包含不隨時間時間 t 趨于無窮而趨于零的元素。趨于無窮而趨于零的元素。1. 有些被控系統(tǒng)難以得到初始狀態(tài)變量有些被控系統(tǒng)難以得到初始狀態(tài)變量 x(0), 即不能保即不能保證證 ;(0)(0)xxv 此時若此時若 或出現(xiàn)對被控系統(tǒng)狀態(tài)或出現(xiàn)對被控系統(tǒng)狀態(tài)x(t)或或狀態(tài)觀測器狀態(tài)狀態(tài)觀測器狀態(tài) 的擾動的擾動, 則將導致狀態(tài)估計則將導致狀態(tài)估計誤差誤差 將不趨于零而為趨于無窮或產生將不趨

10、于零而為趨于無窮或產生等幅振蕩。等幅振蕩。(0)(0)xx( ) tx( )( )ttxx 所以所以, 由于上述狀態(tài)觀測器不能保證其估計誤差收斂到由于上述狀態(tài)觀測器不能保證其估計誤差收斂到零零, 易受噪聲和干擾影響易受噪聲和干擾影響, 其應用范圍受到較大的限制。其應用范圍受到較大的限制。q 仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，這個觀測器只利用了被控系統(tǒng)輸入信息仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，這個觀測器只利用了被控系統(tǒng)輸入信息 u(t)，而未利用輸出信息，而未利用輸出信息 y(t)，其其相當于處于開環(huán)狀態(tài)，未利相當于處于開環(huán)狀態(tài)，未利用輸出用輸出y(t) 的觀測誤差或對狀態(tài)觀測值進行校正。的觀測誤差或對狀態(tài)觀測值進行校正。 即

11、即, 由觀測器得到的由觀測器得到的 只是只是 x(t) 的一種開環(huán)估計值。的一種開環(huán)估計值。 為了和下面討論的狀態(tài)觀測器區(qū)分開來為了和下面討論的狀態(tài)觀測器區(qū)分開來, 通常把該觀測通常把該觀測器稱為器稱為開環(huán)狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)觀測器。( ) tx2. 漸近狀態(tài)觀測器漸近狀態(tài)觀測器 Asymptotic state observerq 前面討論的開環(huán)狀態(tài)觀測器沒有利用被控系統(tǒng)的可直接測量前面討論的開環(huán)狀態(tài)觀測器沒有利用被控系統(tǒng)的可直接測量得到的輸出變量來對狀態(tài)估計值進行修正，估計效果不佳得到的輸出變量來對狀態(tài)估計值進行修正，估計效果不佳 可以預見，如果利用輸出變量對狀態(tài)估計值進行修正，可以預見，如

12、果利用輸出變量對狀態(tài)估計值進行修正，即進行即進行反饋校正反饋校正，則狀態(tài)估計效果將有本質性的改善。，則狀態(tài)估計效果將有本質性的改善。 下面將討論該類狀態(tài)觀測器系統(tǒng)的特性及設計方法。下面將討論該類狀態(tài)觀測器系統(tǒng)的特性及設計方法。 其估計誤差其估計誤差 將會因為矩陣將會因為矩陣A 具有在具有在 s 平面平面右半閉平面的特征值，導致不趨于零而趨于無窮或右半閉平面的特征值，導致不趨于零而趨于無窮或產生等幅振蕩。產生等幅振蕩。)( )(ttxxq 如果對任意矩陣如果對任意矩陣 A 的情況都能設計出相應的狀態(tài)觀測器的情況都能設計出相應的狀態(tài)觀測器, 對對于任意的被控系統(tǒng)的初始狀態(tài)都能滿足下列條件于任意的被

13、控系統(tǒng)的初始狀態(tài)都能滿足下列條件:lim ( )( )0tx tx t 即狀態(tài)估計值可以漸近逼近被估計系統(tǒng)的狀態(tài)即狀態(tài)估計值可以漸近逼近被估計系統(tǒng)的狀態(tài), 則稱該狀態(tài)估計器為則稱該狀態(tài)估計器為漸近狀態(tài)觀測器漸近狀態(tài)觀測器。q 根據上述利用輸出變量對狀態(tài)估計值進行修正的思想，和狀根據上述利用輸出變量對狀態(tài)估計值進行修正的思想，和狀態(tài)估計誤差須漸近趨于零的狀態(tài)觀測器的條件，可得如下的態(tài)估計誤差須漸近趨于零的狀態(tài)觀測器的條件，可得如下的狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器:()(3 1)ABCGyxyxxuy 其中其中G 稱為稱為狀態(tài)觀測器的反饋矩陣狀態(tài)觀測器的反饋矩陣。 于是重構狀態(tài)方程為于是重構狀態(tài)方程為 該狀

14、態(tài)估計器稱為該狀態(tài)估計器稱為全維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器, 簡稱為簡稱為狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器,其結構如下圖所示。其結構如下圖所示。()AGCBGxxuy B A C G y B A C x y閉環(huán)狀態(tài)觀測器閉環(huán)狀態(tài)觀測器 x u + + + + + - x x x+ 圖圖3-2 漸近狀態(tài)觀測器的結構圖漸近狀態(tài)觀測器的結構圖q 定理定理3-1 （觀測器的存在條件觀測器的存在條件）線性定常系統(tǒng)）線性定常系統(tǒng) (A, B, C) 具有形如具有形如 (3-1) 的狀態(tài)觀測器的充分必要條件是的狀態(tài)觀測器的充分必要條件是系統(tǒng)的系統(tǒng)的不可觀部分（或不可觀模態(tài)）是漸近穩(wěn)定的不可觀部分（或不可觀模態(tài)）是漸近穩(wěn)定

15、的。q 證明證明：充分性。：充分性。因為因為 (A,B,C)不可觀時，按可觀性進行結構不可觀時，按可觀性進行結構分解，故這里不妨假定分解，故這里不妨假定 (A,B,C)已具有如下形式：已具有如下形式：11112122200ABABCCAAB定理定理10-2（P255）其中其中(A11, C1)可觀測，可觀測，A22的特征值具負實部?，F(xiàn)構造如下的的特征值具負實部。現(xiàn)構造如下的動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng) ()ABGCxxuyx()AGCxx根據前面的分析：根據前面的分析：11112121220AG CAG CAxx有11112122200AGAGCCAAG因為因為TT111()AC,TTT1111AC G1

16、111AG C00lim0,txx x u于是定理的充分性得證。定理的必要性證明略去。于是定理的充分性得證。定理的必要性證明略去。 證畢。證畢。1GT 可控，適當選擇可控，適當選擇 ，可使，可使的特征值，亦即的特征值，亦即的特征值均具負實部；而的特征值均具負實部；而A22是系統(tǒng)的不可觀部分，由可檢測是系統(tǒng)的不可觀部分，由可檢測的假定，的假定，A22的特征值具有負實部，故系統(tǒng)的特征值具有負實部，故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定，即，即q 先定義如下先定義如下狀態(tài)估計誤差狀態(tài)估計誤差:()()()()()AGAGAGCCxxxxxyyxxxxx 其中其中 A GC 稱為狀態(tài)觀測器的稱為狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣系

17、統(tǒng)矩陣。xxx 則有則有 根據上述誤差方程，被控系統(tǒng)根據上述誤差方程，被控系統(tǒng) (A, B, C)的漸近狀態(tài)觀測的漸近狀態(tài)觀測器，也可簡記為器，也可簡記為 。(, , )AGC B Cq 下面分析狀態(tài)估計誤差是否能趨于零。下面分析狀態(tài)估計誤差是否能趨于零。q 顯然，上述狀態(tài)估計誤差方程的解為顯然，上述狀態(tài)估計誤差方程的解為q 當狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣當狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣 A-GC 的所有特征值位于的所有特征值位于 s 平面的平面的左半開平面左半開平面, 即具有負實部即具有負實部, 因此，狀態(tài)觀測器的設計問題因此，狀態(tài)觀測器的設計問題歸結為歸結為求反饋矩陣求反饋矩陣G，使使A-GC 的所有特征值

18、具有負實部的所有特征值具有負實部及所期望的衰減速度及所期望的衰減速度 即即狀態(tài)觀測器的極點是否可任意配置問題狀態(tài)觀測器的極點是否可任意配置問題。 對此有如下定理。對此有如下定理。 則無論則無論 等于等于x(0)否否,狀態(tài)估計誤差狀態(tài)估計誤差 將隨時間將隨時間t趨于無窮而衰減至零趨于無窮而衰減至零, 觀測器為漸近穩(wěn)定的。觀測器為漸近穩(wěn)定的。(0)x( ) tx( )(0)(0)(0)A GCACttGx texexxq 定理定理 漸近狀態(tài)觀測器的漸近狀態(tài)觀測器的極點可以任意配置極點可以任意配置, 即通過矩陣即通過矩陣G任意配置任意配置A-GC的特征值的充要條件為的特征值的充要條件為矩陣對矩陣對(

19、A,C)可觀可觀。q 證明證明 證明過程的思路為：證明過程的思路為：A-GC的極點可的極點可由由G任意配置任意配置兩者極點相等兩者極點相等AT-CTGT的極點的極點可由可由GT任意配置任意配置經狀態(tài)反饋經狀態(tài)反饋GT系統(tǒng)系統(tǒng) (AT,CT)的極的極點可由點可由GT任意配置任意配置對偶性原理對偶性原理 (A,C)狀態(tài)可觀狀態(tài)可觀需證明需證明的結論的結論?系統(tǒng)系統(tǒng) (AT,CT)狀態(tài)可控狀態(tài)可控極點配置的充要條件極點配置的充要條件定理定理10-3（P255）證明過程為：證明過程為： 由于由于A-GC 的特征值與的特征值與 AT-CTGT 的特征值完全相同，則的特征值完全相同，則A-GC 的特征值可

20、由的特征值可由 G 任意配置等價于任意配置等價于AT-CTGT 的特征的特征值可由值可由 GT 任意配置，即任意配置，即 等價于系統(tǒng)等價于系統(tǒng) (AT,CT) 可通過狀態(tài)反饋陣可通過狀態(tài)反饋陣 GT 進行任進行任意極點配置。意極點配置。 而而 (AT,CT) 的極點可任意配置的充分必要條件為矩陣對的極點可任意配置的充分必要條件為矩陣對 (AT,CT) 可控，由對偶性原理知，即矩陣對可控，由對偶性原理知，即矩陣對 (A,C) 可觀。可觀。 因此因此, A-GC 的特征值可任意配置的充要條件為矩陣對的特征值可任意配置的充要條件為矩陣對(A,C) 可觀?？捎^。 可見，只要被控系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則一定存在

21、可任意極點可見，只要被控系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則一定存在可任意極點配置的漸近狀態(tài)觀測器。配置的漸近狀態(tài)觀測器。q 與狀態(tài)反饋的極點配置問題類似，對狀態(tài)觀測器的極點配置與狀態(tài)反饋的極點配置問題類似，對狀態(tài)觀測器的極點配置問題，對期望的極點的選擇應注意下列問題問題，對期望的極點的選擇應注意下列問題:1. 對于對于n階系統(tǒng)，可以而且必須給出階系統(tǒng)，可以而且必須給出 n 個期望的極點。個期望的極點。2. 期望極點必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復數(shù)。期望極點必須是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復數(shù)。3. 為使基于狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)有更好的為使基于狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)有更好的暫態(tài)過渡過程，狀態(tài)觀測部分

22、應比原被控系統(tǒng)和閉環(huán)系暫態(tài)過渡過程，狀態(tài)觀測部分應比原被控系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的控制部分有更快的時間常數(shù)統(tǒng)的控制部分有更快的時間常數(shù)(衰減更快衰減更快), 即即狀態(tài)觀測部分的極點比其它部分的極點應當更遠狀態(tài)觀測部分的極點比其它部分的極點應當更遠離虛軸離虛軸。q 由上述分析過程，類似于狀態(tài)反饋的極點配置技術，有如下由上述分析過程，類似于狀態(tài)反饋的極點配置技術，有如下狀態(tài)觀測器的設計方法。狀態(tài)觀測器的設計方法。q 方法一方法一 方法一的思想方法一的思想: 利用利用對偶性原理對偶性原理，將狀態(tài)觀測器設計，將狀態(tài)觀測器設計轉化為狀態(tài)反轉化為狀態(tài)反饋極點配置饋極點配置，然后利用狀態(tài)反饋極點配置技術求狀，然后利

23、用狀態(tài)反饋極點配置技術求狀態(tài)觀測器的反饋陣態(tài)觀測器的反饋陣G。 其具體方法是，將可觀矩陣其具體方法是，將可觀矩陣 (A,C) 轉換成對偶的可控矩轉換成對偶的可控矩陣對陣對(AT,CT)，再利用極點配置求狀態(tài)反饋陣，再利用極點配置求狀態(tài)反饋陣 GT，使得，使得 AT-CTGT 的極點配置在指定的期望位置上。的極點配置在指定的期望位置上。 相應地，相應地，G 即為被控系統(tǒng)即為被控系統(tǒng) (A, B, C) 的狀態(tài)觀測器的狀態(tài)觀測器 (A-GC, B, C) 的反饋矩陣。的反饋矩陣。 計算過程可圖解如下計算過程可圖解如下:可觀性矩陣對可觀性矩陣對(A,C)可控性矩陣對可控性矩陣對(AT,CT)由狀態(tài)反

24、饋極點由狀態(tài)反饋極點配置技術計算配置技術計算GT配置配置AT-CTGT的極點的極點由反饋矩陣由反饋矩陣G配置狀態(tài)配置狀態(tài)觀測器的觀測器的A-GC的極點的極點由對偶原理計算由對偶原理計算由對偶原理計算由對偶原理計算q 方法二方法二 方法二的思想方法二的思想: 先通過非奇異線性變換先通過非奇異線性變換 , 將狀態(tài)完全可觀的將狀態(tài)完全可觀的被控系統(tǒng)被控系統(tǒng)(A,C) 變換成變換成可觀標準型可觀標準型 , 即有即有 Txx( ,)A C 112100010001000010001nnnaaATATaaCCT 其中其中 ai* 和和 ai (i=1, 2, , n)分別為期望的狀態(tài)觀測器分別為期望的狀態(tài)

25、觀測器的極點所決定的特征多項式的系數(shù)和原被控系統(tǒng)的的極點所決定的特征多項式的系數(shù)和原被控系統(tǒng)的特征多項式的系數(shù)。特征多項式的系數(shù)。 對可觀標準型對可觀標準型 進行極點配置，求得相應的可觀進行極點配置，求得相應的可觀標準型的觀測器的反饋陣標準型的觀測器的反饋陣 如下如下G( ,)A C *11*11nnnnaaaaGaa 因此因此, 原系統(tǒng)原系統(tǒng)(A,B,C)的相應狀態(tài)觀測器的反饋陣的相應狀態(tài)觀測器的反饋陣G為為GTGq 例例3-1 設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為（設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為（P265 習題習題10-5-5）100231110201001 xxuyx q 解解 ： 方法一方法

26、一：1. 先利用先利用對偶性方法對偶性方法，求得原系統(tǒng)的如下，求得原系統(tǒng)的如下對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng): 112,100,010210031),(CBA試設計一狀態(tài)觀測器，使其極點配置為試設計一狀態(tài)觀測器，使其極點配置為-3, -4, -5。2. 將上述可控狀態(tài)空間模型化為將上述可控狀態(tài)空間模型化為可控標準型可控標準型的變換矩陣為的變換矩陣為其中其中1112110011306106pPp Ap A2110 011/60 0pBABA B3. 求對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。求對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣。 由于被控系統(tǒng)的特征多項式和期望極點的特征多項由于被控系統(tǒng)的特征多項式和期望極點的特征多項式分別為式分別為f(s)

27、=|sI-A|=s3-3s+2f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60則對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣則對偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K為為1*12332211210015850121306106202512ccKKTaaaaaa T即所求狀態(tài)觀測器的反饋陣即所求狀態(tài)觀測器的反饋陣G=KT=20 25 12T則相應狀態(tài)觀測器為則相應狀態(tài)觀測器為100220311125 ()020112001 xxuyyyx(2) 方法二方法二。1. 先將原系統(tǒng)化成先將原系統(tǒng)化成可觀標準型可觀標準型，相應的變換矩陣，相應的變換矩陣T 為為 211111110306006TtAtA t其中其中1112

28、0011/600020000622011CCAtCA 2. 因此可觀標準型的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣為因此可觀標準型的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣為則原被控系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣則原被控系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣G為為*33*22*11585012aaGaaaa11158201030502560061212GTG可見，用方法二求得的可見，用方法二求得的 G 矩陣與方法一完全相同。矩陣與方法一完全相同。 ) 2)(1(2)()(sssUsY例例：設被控對象傳遞函數(shù)為設被控對象傳遞函數(shù)為試設計全維狀態(tài)觀測器試設計全維狀態(tài)觀測器，將極點配置在將極點配置在 -10，-10.解解 ：被控對象的傳遞函數(shù)為被控對象

29、的傳遞函數(shù)為232) 2)(1(2)()(2sssssUsYu xAxBycx0123A10b02c可直接寫出系統(tǒng)的可直接寫出系統(tǒng)的可控標準形可控標準形其中其中顯然，系統(tǒng)可控且可觀。顯然，系統(tǒng)可控且可觀。 00112101202 2323hhGhh Ac觀測器特征多項式為觀測器特征多項式為2001()(23)(622)GhhhIAc期望的特征多項式為期望的特征多項式為22(10)2010020320h10022610 hh5 . 80h令上述兩特征方程同次項系數(shù)相等，可得令上述兩特征方程同次項系數(shù)相等，可得5 .231h5 .231h5 .231h5 .231h 5 .231h即即10.3.2

30、 帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)Close-loop control systems with state observerq 狀態(tài)觀測器解決了狀態(tài)變量不能直接測量的系統(tǒng)的狀態(tài)估計狀態(tài)觀測器解決了狀態(tài)變量不能直接測量的系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，它為問題，它為利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)控制利用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)控制奠定了基礎。奠定了基礎。 但狀態(tài)觀測器對狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它性能但狀態(tài)觀測器對狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其它性能品質指標的影響如何，則是一個需要細致分析的問題。品質指標的影響如何，則是一個需要細致分析的問題。 本節(jié)主要研究利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)本

31、節(jié)主要研究利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特性的特性, 以及它和直接采用狀態(tài)變量為反饋量時的異同。以及它和直接采用狀態(tài)變量為反饋量時的異同。 下面首先導出帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的下面首先導出帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并以此來進行該閉環(huán)系統(tǒng)的特性分析。狀態(tài)空間模型，并以此來進行該閉環(huán)系統(tǒng)的特性分析。q 設系統(tǒng)設系統(tǒng) (A,B,C)可控可觀，則該系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋進行極可控可觀，則該系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋進行極點配置，以及能建立全維狀態(tài)觀測器并對其進行極點配置。點配置，以及能建立全維狀態(tài)觀測器并對其進行極點配置。 若系統(tǒng)若系統(tǒng) (A,B,C)的狀態(tài)變量不能直接

32、測量，則可由狀態(tài)的狀態(tài)變量不能直接測量，則可由狀態(tài)觀測器提供的狀態(tài)變量的估計值來構成狀態(tài)反饋律。觀測器提供的狀態(tài)變量的估計值來構成狀態(tài)反饋律。 即對線性定常連續(xù)系統(tǒng)即對線性定常連續(xù)系統(tǒng)其全維狀態(tài)觀測器為其全維狀態(tài)觀測器為 設基于狀態(tài)觀測值設基于狀態(tài)觀測值 的狀態(tài)反饋律為的狀態(tài)反饋律為 xABC xxuyx()ABCGxxyxyyuK uxvq帶全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖。帶全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結構圖。 B A C G y B A C x y閉環(huán)狀態(tài)觀測器閉環(huán)狀態(tài)觀測器 + K 狀態(tài)反饋部分狀態(tài)反饋部分 x u v - + + + + - + - x x圖圖3-3 帶

33、狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)結構圖帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)結構圖q 下面分析上述帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的觀測誤差：下面分析上述帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的觀測誤差： 首先，定義狀態(tài)觀測誤差為首先，定義狀態(tài)觀測誤差為()()()AGxxxxxyy 另外，閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程又可記為另外，閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程又可記為()()()ABKABKBBK xxxxxxvv()()()AGCAGCxxxxx代入被控系統(tǒng)代入被控系統(tǒng)和狀態(tài)觀測器和狀態(tài)觀測器的輸出方程的輸出方程增加增加/減去減去 -BKx項項()ABKBKBxxv 則有則有xxx 因此，帶全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉

34、環(huán)控制系統(tǒng)的因此，帶全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為狀態(tài)空間模型為000ABKBKBAGCC xxvxxxyxq 上述帶全維狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的特性上述帶全維狀態(tài)觀測器的閉環(huán)控制系統(tǒng)的特性:1. 分離特性分離特性 Separation Property (Principle) 由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知，由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程可知， 整個閉環(huán)系整個閉環(huán)系統(tǒng)的特征值由矩陣塊統(tǒng)的特征值由矩陣塊 A-BK 的特征值和矩陣塊的特征值和矩陣塊 A-GC 的的特征值所組成特征值所組成, 即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)觀測器部分的特即由狀態(tài)反饋部分的特征值和狀態(tài)

35、觀測器部分的特征值所組成。征值所組成。 這兩部分的特征值可單獨設計這兩部分的特征值可單獨設計(配置配置)，互不影響，這種，互不影響，這種特性稱為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測器的特性稱為狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測器的分離特性分離特性(原理原理)。 一般在工程上，為了保證有較好的控制精度、快速性和一般在工程上，為了保證有較好的控制精度、快速性和超調量等動態(tài)指標，狀態(tài)觀測器部分超調量等動態(tài)指標，狀態(tài)觀測器部分A-GC 的特征值的的特征值的實部應遠小于狀態(tài)反饋部分實部應遠小于狀態(tài)反饋部分 A-BK 的特征值的實部，即的特征值的實部，即更遠離虛軸。更遠離虛軸。2. 傳遞函數(shù)的不變性傳遞函數(shù)的不變性 由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)

36、空間模型，可得帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)由閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，可得帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣如下的傳遞函數(shù)陣如下:11,( )000()K GABKBKBGsCsIAGsIAKCCBB 因此，帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣完全等于直接因此，帶觀測器的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣完全等于直接采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣采用狀態(tài)變量作反饋量的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 即即狀態(tài)觀測器不改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣狀態(tài)觀測器不改變閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣, 也就是也就是不改變閉環(huán)系統(tǒng)的外部輸入輸出特性不改變閉環(huán)系統(tǒng)的外部輸入輸出特性。3. 狀態(tài)觀測誤差不可控狀態(tài)觀測誤差不可控 由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知，狀態(tài)

37、觀測誤差由閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程可知，狀態(tài)觀測誤差 是是不可控的，即不能由外部輸入去影響它，即與不可控的，即不能由外部輸入去影響它，即與K無關。無關。( )x t 只要矩陣只要矩陣A-GC的特征值具有負實部，則不管輸入的特征值具有負實部，則不管輸入信號如何，信號如何， 一定按一定按A-GC所確定的衰減速度衰所確定的衰減速度衰減至零。減至零。()()()()()()AGCGGACAxxxxxyyxxxxx( )x t 習題習題-1（掌握）（掌握）: 給定線性定常系統(tǒng)給定線性定常系統(tǒng) 其狀態(tài)不能直接測得，指定期望的閉環(huán)極點為其狀態(tài)不能直接測得，指定期望的閉環(huán)極點為-1+j，- 1-j，觀測器的特征值

38、為觀測器的特征值為 -2，-4，試設計一個觀測器，試設計一個觀測器狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋系統(tǒng)，并畫出系統(tǒng)的模擬結構圖，計算整個閉環(huán)系統(tǒng)的傳系統(tǒng)，并畫出系統(tǒng)的模擬結構圖，計算整個閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。遞函數(shù)。 .01000110 xxuyx q 解解: : 1. 檢查控制系統(tǒng)的能控性和能觀性檢查控制系統(tǒng)的能控性和能觀性 所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控能觀的。從而存在矩陣所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控能觀的。從而存在矩陣K, G使使得系統(tǒng)及觀測器極點任意配置。得系統(tǒng)及觀測器極點任意配置。2. 設計狀態(tài)反饋矩陣設計狀態(tài)反饋矩陣K 設設K k1, k2, 則引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的特征多項式為則引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的特征多項式為由

39、希望極點確定的特征多項式為由希望極點確定的特征多項式為: (s 1 j)(s 1 j) s2 2s 2從而得到從而得到: k1 2, k2 2, 即即K 2, 2。21001, 20110,rankCACrankrankABBrank1222121110)(kskskskskksIBKAsI 3. 設計狀態(tài)觀測器的輸出反饋矩陣設計狀態(tài)觀測器的輸出反饋矩陣G狀態(tài)觀測器的特征多項式為狀態(tài)觀測器的特征多項式為 (s 2)(s 4) s2 6s 8設設G g1, g2T，則狀態(tài)觀測器子系統(tǒng)的特征多項式為，則狀態(tài)觀測器子系統(tǒng)的特征多項式為比較可得比較可得: g1 6, g2 8, 即即G 6, 8T。

40、4. 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如何如何? 由傳遞函數(shù)的不變性可得由傳遞函數(shù)的不變性可得GK,G(s)=1/(s2 2s 2)2122121101)(gsgssggsggsIGCAsI 習題習題-2（ P259，例，例10-3，掌握）掌握） : 給定線性定常系統(tǒng)給定線性定常系統(tǒng) 試設計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，是反饋系統(tǒng)的極點試設計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，是反饋系統(tǒng)的極點配置在配置在-1+j，- 1-j，觀測器的特征值為，觀測器的特征值為 -5，-5 。 設計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點為設計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點為*15 *2,344j 解解: : 系統(tǒng)

41、完全可觀測的，可構造任意配置特征值系統(tǒng)完全可觀測的，可構造任意配置特征值 全維狀態(tài)觀測器。全維狀態(tài)觀測器。1)1)由由 , ,得得 ；32det()2TsIAsss123210aaa，例例3-2 ：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為uxx001110011000 xy1102) 2) 觀測器的期望特征多項式為觀測器的期望特征多項式為 得得 *32122()()()(5)(44)(44)1372160sssssjsjsss *1231372160aaa，3)3)*123332211 160 71 11TGgggaaaaaa4)4)21211011121210()1010121

42、0021100111100011TTTTTaaQC A CACa5)5)111110222024PQ6)6)1118022216071 110118020312001231TTGG PG ，得全維狀態(tài)觀測器得全維狀態(tài)觀測器000801801102001 102001131031080801801192()002003032031xuxAGC xBuyxuyGy 其模擬結構圖如下所示其模擬結構圖如下所示模擬結構圖模擬結構圖10.3.3 降維狀態(tài)觀測器及其設計降維狀態(tài)觀測器及其設計*Reduced-dimension state observerq 用上述方法設計的狀態(tài)觀測器是用上述方法設計的狀態(tài)

43、觀測器是n階的，即階的，即n維狀態(tài)變量全部維狀態(tài)變量全部由觀測器獲得，所以該觀測器又可稱為全維狀態(tài)觀測器。由觀測器獲得，所以該觀測器又可稱為全維狀態(tài)觀測器。 由輸出方程可知，其實狀態(tài)變量的部分信息可直接由輸由輸出方程可知，其實狀態(tài)變量的部分信息可直接由輸出變量的測量值提供，如在特殊形式的下述輸出方程中出變量的測量值提供，如在特殊形式的下述輸出方程中120( )Iaxyx 狀態(tài)變量向量狀態(tài)變量向量 x2 即為輸出變量即為輸出變量 y, 故該系統(tǒng)只要對故該系統(tǒng)只要對 x1設計設計狀態(tài)觀測器即可狀態(tài)觀測器即可, 對對 x2 就沒有必要再設計狀態(tài)觀測器就沒有必要再設計狀態(tài)觀測器。 因此因此, 所設計的

44、狀態(tài)觀測器的維數(shù)就少于狀態(tài)變量的所設計的狀態(tài)觀測器的維數(shù)就少于狀態(tài)變量的維數(shù)維數(shù)n。 該類狀態(tài)觀測器稱為該類狀態(tài)觀測器稱為降維狀態(tài)觀測器降維狀態(tài)觀測器。q 由線性代數(shù)知識可知由線性代數(shù)知識可知, 任何輸出方程任何輸出方程, 只要輸出矩陣只要輸出矩陣 C 滿秩滿秩(行滿秩行滿秩), 總可以找到非奇異的線性變換將輸出方程變換成總可以找到非奇異的線性變換將輸出方程變換成(a) 所示的輸出方程。所示的輸出方程。 變換方法介紹如下變換方法介紹如下:120( )Iaxyx 首先，對任何輸出矩陣為滿秩的狀態(tài)空間模型，經過首先，對任何輸出矩陣為滿秩的狀態(tài)空間模型，經過對狀態(tài)變量的重新排列順序，都可變換成如下形

45、式的對狀態(tài)變量的重新排列順序，都可變換成如下形式的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型212121212221121121xxyuxxxxCCBBAAAA 其中矩陣其中矩陣 C2為為mm維的可逆方陣維的可逆方陣; 狀態(tài)變量向量狀態(tài)變量向量 x1和和 x2 分別為分別為 n-m 維和維和 m 維的。維的。 當選取變換矩陣當選取變換矩陣P為為121120CCCIP21112122211211210 xxyuxxxxIBBAAAAq 對狀態(tài)空間模型對狀態(tài)空間模型 ，狀態(tài)變量，狀態(tài)變量 即為輸出變量即為輸出變量y(t),因此只需對狀態(tài)變量因此只需對狀態(tài)變量 設計降維狀態(tài)觀測器即可。設計降維狀態(tài)觀測器即可。1( )

46、 t x2( ) t x 在求得狀態(tài)變量在求得狀態(tài)變量 的狀態(tài)估計值后的狀態(tài)估計值后，作上述線性變換，作上述線性變換的逆變換，則可求得原狀態(tài)變量的逆變換，則可求得原狀態(tài)變量 x(t) 的估計值。的估計值。1( ) t x 經上述變換后，狀態(tài)變量經上述變換后，狀態(tài)變量 所滿足的狀態(tài)方程為所滿足的狀態(tài)方程為1( ) t xuyxuxxx11211112121111BAABAAq 下面介紹下面介紹降維狀態(tài)觀測器的設計方法。降維狀態(tài)觀測器的設計方法。( ,) A B C其中其中 z 是降維狀態(tài)觀測器的是降維狀態(tài)觀測器的n-m維狀態(tài)變量維狀態(tài)變量; 仿照前面介紹的全維狀態(tài)觀測器的設計方法，構造狀態(tài)仿照前

47、面介紹的全維狀態(tài)觀測器的設計方法，構造狀態(tài)變量變量 的全維狀態(tài)觀測器如下的全維狀態(tài)觀測器如下:1( ) t xyzxuyzzLHGF1 是該降維狀態(tài)觀測器的輸出變量，即變換后的系是該降維狀態(tài)觀測器的輸出變量，即變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)變量統(tǒng)的狀態(tài)變量 的估計值的估計值;1 ( ) tx1( ) t x矩陣矩陣 F, G, H 和和 L 為適宜維數(shù)的待定常數(shù)矩陣。為適宜維數(shù)的待定常數(shù)矩陣。q 降維狀態(tài)觀測器的結構圖如圖降維狀態(tài)觀測器的結構圖如圖3-4所示。所示。 B A C G y H F 線性線性變換變換P x 降維狀態(tài)觀測器降維狀態(tài)觀測器 x u + + + + + + - z L z1 xx 圖

48、圖3-4 降維狀態(tài)觀測器的結構圖降維狀態(tài)觀測器的結構圖q 下面討論如何選取下面討論如何選取降維狀態(tài)觀測器降維狀態(tài)觀測器(b)的各矩陣，才能使得的各矩陣，才能使得 11lim0txx1( )LFGHLcxzyzyuyyxzL1 將上式及將上式及y= 代入式代入式(c), 可得可得2x 和和 由狀態(tài)觀測器方程由狀態(tài)觀測器方程(b)，有有22212211xuxxxxuxyxxLHGLFLHGLF1( )FGHbL zzyuxzy 將式將式(d)減去上式減去上式, 可得狀態(tài)估計誤差可得狀態(tài)估計誤差 所滿足的動態(tài)所滿足的動態(tài)方程方程11xx 將狀態(tài)空間模型中將狀態(tài)空間模型中 所滿足的狀態(tài)方程代入上式所滿

49、足的狀態(tài)方程代入上式, 可得可得2x uxxxuxxuxxxx2222121122221212211BLHFLALGALFBAALHGLF111111221121122221121111222212AABFLAGLAFLHLBALAFAGLAFLBHLBxxxxuxxxuxxxu1111121( )AABdxxyu 若取若取 則狀態(tài)觀測誤差則狀態(tài)觀測誤差 所滿足的狀態(tài)方程所滿足的狀態(tài)方程(e)可記為可記為11xx2111ALAFFLALAG221221BLBH1111xxxxF 若取若取111121111222212( )ALAFAGLAFLBHLBexxxxxu 由式由式(g)可知，類似于前面所討論的全維狀態(tài)觀測器，當可知，類似于前面所討論的全維狀態(tài)觀測器，當矩陣對矩陣對 是狀態(tài)完全可觀的，則通過矩陣是狀態(tài)完全可觀的，則通過矩陣L的選的選擇可