概率論課件二維隨機(jī)變量及其分布

1、一、二維隨機(jī)變量一、二維隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中，在實(shí)際應(yīng)用中，有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時(shí)用兩個(gè)或以有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時(shí)用兩個(gè)或以上的隨機(jī)變量來(lái)描述上的隨機(jī)變量來(lái)描述. 例如，例如， 研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童前兒童的發(fā)育情況時(shí)，前兒童的發(fā)育情況時(shí)，就要同時(shí)抽查兒童的身高就要同時(shí)抽查兒童的身高X、體重體重,Y這里，這里，X和和Y是定義在同一樣本空間是定義在同一樣本空間 S某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童上的兩個(gè)隨機(jī)變量上的兩個(gè)隨機(jī)變量. 在這種情況下，在這種情況下， 我們不但要研究我們不但要研究多個(gè)隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，多個(gè)隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且還要研究它們之而且還要研

2、究它們之間的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，間的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系， 因而需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng)因而需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，計(jì)規(guī)律， 即多維隨機(jī)變量的分布即多維隨機(jī)變量的分布.由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難， 故我們故我們二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難， 故我們故我們二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難， 故我們故我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.定義定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,S而而)()

3、,(eYYeXX 是定義在是定義在S上的兩個(gè)隨機(jī)變量，上的兩個(gè)隨機(jī)變量， 稱(chēng)稱(chēng)),(YX為定義在為定義在S上的上的二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量或或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量.注注： 一般地，一般地，稱(chēng)稱(chēng)n個(gè)隨機(jī)變量的整體個(gè)隨機(jī)變量的整體),(21nXXXX 為為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量或或隨機(jī)向量隨機(jī)向量.完完二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量),(YX的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X及及Y有關(guān)，有關(guān)，而且還依賴(lài)于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系而且還依賴(lài)于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系,將將),(YX作為一個(gè)整體進(jìn)行研究作為一個(gè)整體進(jìn)行研究. 與一維情況類(lèi)與一維情況類(lèi)我們也借助

4、我們也借助“分布函數(shù)分布函數(shù)”來(lái)研究二維隨機(jī)變量來(lái)研究二維隨機(jī)變量.定義定義 設(shè)設(shè)),(YX是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量， 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù), yx二元函數(shù)二元函數(shù)故需故需似似,)()(),(yYxXPyxF 記為記為,yYxXP 稱(chēng)為二維隨機(jī)變量稱(chēng)為二維隨機(jī)變量),(YX的的分布函數(shù)分布函數(shù)或稱(chēng)為隨或稱(chēng)為隨二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù))()(),(yYxXPyxF 記為記為,yYxXP 稱(chēng)為二維隨機(jī)變量稱(chēng)為二維隨機(jī)變量),(YX的的分布函數(shù)分布函數(shù)或稱(chēng)為隨或稱(chēng)為隨二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù))()(),(yYxXPyxF 記為記為,yYxXP 稱(chēng)為二維隨

5、機(jī)變量稱(chēng)為二維隨機(jī)變量),(YX的的分布函數(shù)分布函數(shù)或稱(chēng)為隨機(jī)或稱(chēng)為隨機(jī)變量變量X和和Y的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù).若將二維隨機(jī)變量若將二維隨機(jī)變量),(YX視為平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐視為平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，標(biāo)， 則分布函數(shù)則分布函數(shù),),(yYxXPyxF 就是隨機(jī)點(diǎn)就是隨機(jī)點(diǎn)),(YX落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域,| ),(ysxtst 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),),(yYxXPyxF 就是隨機(jī)點(diǎn)就是隨機(jī)點(diǎn)),(YX落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域,| ),(ysxtst 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),),(yYxXPyxF 就是隨機(jī)點(diǎn)就是隨機(jī)點(diǎn)),(YX落入?yún)^(qū)域落入?yún)^(qū)域,| ),(y

6、sxtst 的概率的概率(如圖如圖1).由概率的加法法則，由概率的加法法則，隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)),(YX落入矩形域落入矩形域,2121yyyxxx 的概率的概率 Oxy圖圖2.x1x2y1y2)(,x2y2,2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 若已知若已知),(YX的

7、分布函數(shù)的分布函數(shù)),(yxF則可由則可由),(yxF導(dǎo)出導(dǎo)出X和和Y各自的分布函數(shù)各自的分布函數(shù))(xFX和和:)(yFY,)( YxXPxXPxFX),( xF,)(yYXPyYPyFY ),(yF 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),2121yyyxxxP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 若已知若已知),(YX的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(yxF則可由則可由),(yxF導(dǎo)出導(dǎo)出X和和Y各自的分布函數(shù)各自的分布函數(shù))(xFX和和:)(yFY),( xF),(yF )(xFX)(yFY二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),2121yyyxx

8、xP ),(),(1222yxFyxF ).,(),(1121yxFyxF 若已知若已知),(YX的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(yxF則可由則可由),(yxF導(dǎo)出導(dǎo)出X和和Y各自的分布函數(shù)各自的分布函數(shù))(xFX和和:)(yFY),( xF),(yF )(xFX)(yFY分別稱(chēng)分別稱(chēng))(xFX和和)(yFY為為),(yxF關(guān)于關(guān)于X和和Y的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)完完聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)隨機(jī)變量隨機(jī)變量),(YX的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù).,),(yYxXPyxF 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：, 1),(0 yxF且且, 0),(

9、 yF, 0),( xF; 1),(, 0),( FF(1)注注：以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說(shuō)明以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說(shuō)明.（2）),(yxF關(guān)于關(guān)于x和和y均為單調(diào)非減函數(shù)，均為單調(diào)非減函數(shù)， 即即對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的, y對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的,xOxy)(xy,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)注注：以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說(shuō)明以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說(shuō)明.（2）),(yxF關(guān)于關(guān)于x和和y均為單調(diào)非減函數(shù)，均為單調(diào)非減函數(shù)， 即即聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)注注：以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說(shuō)明以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說(shuō)明.（2）),(yxF關(guān)于關(guān)于x和和y均為

10、單調(diào)非減函數(shù)，均為單調(diào)非減函數(shù)， 即即對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的, y當(dāng)當(dāng)),(),(,1212yxFyxFxx 對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的,x當(dāng)當(dāng));,(),(,1212yxFyxFyy （3）),(yxF關(guān)于關(guān)于x和和y均為右連續(xù)，均為右連續(xù)，).0,(),(), 0(),( yxFyxFyxFyxF即即完完例例1 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為( , )arctanarctan,23xyF x yA BC, x, x(1) 試確定常數(shù)試確定常數(shù);,CBA(2) 求事件求事件30 ,2 YX的概率的概率. .解解 (1)由二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)由二維隨機(jī)變

11、量的分布函數(shù)的性質(zhì), , 可得可得, 1)2/)(2/(),( CBAF, 0)2/)(2/(),( CBAF, 0)2/)(2/(),( CBAF由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知例例1 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,3arctan2arctan),( yCxBAyxF, x, x(1) 試確定常數(shù)試確定常數(shù);,CBA(2) 求事件求事件30 ,2 YX的概率的概率. .解解 (1)由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知例例1 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,3arctan2arctan

12、),( yCxBAyxF, x, x(1) 試確定常數(shù)試確定常數(shù);,CBA(2) 求事件求事件30 ,2 YX的概率的概率. .解解由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知, 0 A, 02/ B, 02/ C故由第二、三個(gè)等式知故由第二、三個(gè)等式知, 02/ B, 02/ C于是得于是得, 2/ CB2/1 A(1).3arctan22arctan21),(2 yxyxF (2)由由(1)式得式得30 ,2 YXP)0 , 2()3 , 2()0 ,()3 ,(FFFF .16/1 故故),(YX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為完完三、二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布三、二維離散型隨機(jī)

13、變量及其概率分布若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量),(YX只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值，只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值，稱(chēng)稱(chēng)),(YX為為二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量. ),(YX為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量均為離散型隨機(jī)變量均為離散型隨機(jī)變量. 定義定義 若二維離散型隨機(jī)變量若二維離散型隨機(jī)變量),(YX所有可能的取所有可能的取值為值為, 2 , 1,),( jiyxii則稱(chēng)則稱(chēng)), 2 , 1,(, jipyYxXPijji則則YX,均為離均為離為二維離散型隨機(jī)變量為二維離散型隨機(jī)變量),(YX的的概率分布概率分布(分布律分布律),或或X與與Y的的聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布(分布律分布律).二

14、維離散型隨機(jī)變量及其概率分布二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布或或X與與Y的的聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布(分布律分布律).二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布或或X與與Y的的聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布(分布律分布律).易見(jiàn)，易見(jiàn)，ijp滿(mǎn)足下列性質(zhì)：滿(mǎn)足下列性質(zhì)：;, 2 , 1, 1 , 0)1( jpij. 1)2( ijijp與一維情形類(lèi)似，與一維情形類(lèi)似， 有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形式來(lái)表示，式來(lái)表示，并稱(chēng)之為并稱(chēng)之為聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表由由X和和Y的聯(lián)合概率分布，的聯(lián)合概率分布， 可求出可求出YX,各自的概率各自的概率分布分布:)

15、.2 , 1(), 2 , 1( jpipji jijiiipxXPp, 2 , 1, 2 , 1, jpyYPpiijjj二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布分布分布:).2 , 1(), 2 , 1( jpipji jijiiipxXPp, 2 , 1, 2 , 1, jpyYPpiijjj二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布分布分布:).2 , 1(), 2 , 1( jpipji jijiiipxXPp, 2 , 1, 2 , 1, jpyYPpiijjj分別稱(chēng)分別稱(chēng)), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj為為),(YX關(guān)

16、于關(guān)于X和和Y的的邊緣概率分布邊緣概率分布. 注注： ip與與jp 分別等于聯(lián)合概率分布表的行分別等于聯(lián)合概率分布表的行和與列和和與列和.完完聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表與一維情形類(lèi)似，與一維情形類(lèi)似，有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形式來(lái)表示，式來(lái)表示， 并稱(chēng)為聯(lián)合概率分布表：并稱(chēng)為聯(lián)合概率分布表：聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表 ixXP YX1y2yjy1x2xix11P21P1iP2iP22P12PjP1jP2ijP ixXP iPi1 iPi2 iPij jjP1 jjP2 jPij聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表對(duì)離散型隨機(jī)變量而言，對(duì)離散型隨機(jī)變量而言，聯(lián)合概率分布

17、不僅比聯(lián)合聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合分布函數(shù)更加直觀，分布函數(shù)更加直觀， 而且能夠更加方便地確定而且能夠更加方便地確定),(YX取值于任何區(qū)域取值于任何區(qū)域D上的概率上的概率. 設(shè)二維離散型隨機(jī)變?cè)O(shè)二維離散型隨機(jī)變), 2 , 1,(, jipyYxXPijji量的概率分布為量的概率分布為則則 DyxijjipDYXP),(.),(特別地，特別地，由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù)由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù): yyxxijjipyYxXPyxF,.,),(聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表特別地，特別地，由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù)由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù): yyxxijjipy

18、YxXPyxF,.,),(聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表特別地，特別地，由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù)由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù): yyxxijjipyYxXPyxF,.,),(由由X和和Y的聯(lián)合概率分布，的聯(lián)合概率分布， 可求出可求出,X Y各自的概率各自的概率), 2 , 1(), 2 , 1( jpipji分布：分布：, 2 , 1, ipxXPpjijii, 2 , 1, jpyYPpiijjj分別稱(chēng)分別稱(chēng)), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj為為),(YX關(guān)于關(guān)于聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表由由X和和Y的聯(lián)合概率分布，的聯(lián)合概率分布， 可求出可求出,X Y

19、各自的概率各自的概率), 2 , 1(), 2 , 1( jpipji分布：分布：, 2 , 1, ipxXPpjijii, 2 , 1, jpyYPpiijjj分別稱(chēng)分別稱(chēng)), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj為為),(YX關(guān)于關(guān)于聯(lián)合概率分布表聯(lián)合概率分布表由由X和和Y的聯(lián)合概率分布，的聯(lián)合概率分布， 可求出可求出,X Y各自的概率各自的概率), 2 , 1(), 2 , 1( jpipji分布：分布：, 2 , 1, ipxXPpjijii, 2 , 1, jpyYPpiijjj分別稱(chēng)分別稱(chēng)), 2 , 1( ipi和和), 2 , 1( jpj為為),(YX關(guān)于關(guān)于X

20、和和Y的的邊緣概率分布邊緣概率分布.注注： ip和和jp 分別等于聯(lián)合概率分布表的行和與列和分別等于聯(lián)合概率分布表的行和與列和.完完例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值一個(gè)值, , 另一個(gè)隨機(jī)變量另一個(gè)隨機(jī)變量Y在在X1中等可能地取中等可能地取一整數(shù)值一整數(shù)值, , 試求試求),(YX的分布律的分布律. .解解 由乘法公式容易求得由乘法公式容易求得),(YX的分布律的分布律. .易知易知,jYiX 的取值情況是的取值情況是: :大于大于i的正整數(shù)的正整數(shù), , 且且|,iXPiXjYPjYiXP ,411 i, 4 , 3 , 2 ,

21、1 iij 于是于是),(YX的分布律為的分布律為, 4 , 3 , 2 , 1 ij取不取不例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值一個(gè)值, , 另一個(gè)隨機(jī)變量另一個(gè)隨機(jī)變量Y在在X1中等可能地取中等可能地取一整數(shù)值一整數(shù)值, , 試求試求),(YX的分布律的分布律. .解解|,iXPiXjYPjYiXP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 iij 于是于是),(YX的分布律為的分布律為例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值一個(gè)值, , 另一個(gè)隨機(jī)變量另一個(gè)隨機(jī)變量Y在在X1

22、中等可能地取中等可能地取一整數(shù)值一整數(shù)值, , 試求試求),(YX的分布律的分布律. .解解|,iXPiXjYPjYiXP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 iij 于是于是),(YX的分布律為的分布律為XY123412341/4 1/8 1/121/161/8 1/121/121/161/161/16000000. .完完例例3 把一枚均勻硬幣拋擲三次把一枚均勻硬幣拋擲三次, , 設(shè)設(shè)X為三次拋擲為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)中正面出現(xiàn)的次數(shù), ,Y而而為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值, , 求求),(YX的概率分布及的概率分布及關(guān)于關(guān)于

23、YX,的邊緣分布的邊緣分布. .解解),(YX可取值可取值 (0,3),(1,1),(2,1),(3,3), 8/1)2/1(3, 03 YXP, 8/3)2/1(31, 13 YXP, 8/31, 2 YXP, 8/13, 3 YXP故故),(YX的概率分布如右表的概率分布如右表. .YX1300 1/813/8023/80301/8例例3 把一枚均勻硬幣拋擲三次把一枚均勻硬幣拋擲三次, , 設(shè)設(shè)X為三次拋擲為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)中正面出現(xiàn)的次數(shù), ,Y而而為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值, , 求求),(YX的概率分布及的概率分布及關(guān)于關(guān)

24、于YX,的邊緣分布的邊緣分布. .解解例例3 把一枚均勻硬幣拋擲三次把一枚均勻硬幣拋擲三次, , 設(shè)設(shè)X為三次拋擲為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)中正面出現(xiàn)的次數(shù), ,Y而而為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值, , 求求),(YX的概率分布及的概率分布及關(guān)于關(guān)于YX,的邊緣分布的邊緣分布. .解解從概率分布表不難求得從概率分布表不難求得),(YX關(guān)于關(guān)于YX,的邊的邊緣分布緣分布. ., 8/10 XP, 8/31 XP, 8/32 XP, 8/13 XP, 8/68/38/31 YP, 8/28/18/13 YP從而得右表從而得右表YX13ixXP 0

25、123iyYP 03/83/806/81/8001/82/81/83/83/81/81完完例例4 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為XY-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求0, 1 YXP及及).0 , 0(F解解0, 1 YXP1, 10, 1 YXPYXP1, 10, 1 YXPYXP. 4 . 002 . 01 . 01 . 0 例例4 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為XY-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求0, 1 YXP及及).0 , 0(F解解0, 1 YXP.

26、 4 . 002 . 01 . 01 . 0 例例4 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為XY-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求0, 1 YXP及及).0 , 0(F解解0, 1 YXP. 4 . 002 . 01 . 01 . 0 0, 12, 1)0 , 0( YXPYXPF. 4 . 01 . 03 . 0 完完例例5 設(shè)設(shè)),(YX的概率分布由下表給出的概率分布由下表給出, ,求求XY-1020120.10.30.150.20.05000.10.1,0, 0 YXP,0, 0 YXP,0 XYP,YXP |,|YXP 解解0,

27、 0 YXP0, 20, 1 YXPYXP,05. 0005. 0 0, 01, 0 YXPYXP0, 0 YXP, 3 . 02 . 01 . 0 )00(0 YXPXYP0, 00 YXPXP.35. 005. 002 . 01 . 0 2, 20, 0 YXPYXPYXP, 3 . 01 . 02 . 0 1, 10, 0| YXPYXPYXP1, 1 YXP. 6 . 01 . 03 . 02 . 0 完完例例6 一整數(shù)一整數(shù)N等可能地在等可能地在10, 3 , 2 , 1十個(gè)值中取十個(gè)值中取一個(gè)值一個(gè)值. . 設(shè)設(shè))(NDD 是能整除是能整除N的正整數(shù)的個(gè)數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù),)(NFF

28、 是能整除是能整除N的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)(注意注意1不是素不是素試寫(xiě)出試寫(xiě)出DF和和的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解 將試驗(yàn)的樣本空間及將試驗(yàn)的樣本空間及,D F取值的情況列表如下取值的情況列表如下:2111211110434242322110987654321FD數(shù)數(shù)),D所有可能取值為所有可能取值為1,2,3,4;F所有可能取值為所有可能取值為0,1,2. .容易得到容易得到),(FD),(ji取取, 4 , 3 , 2 , 1 i2 , 1 , 0 j的概的概率率, ,可得可得DF和和的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表:例例6 一整

29、數(shù)一整數(shù)N等可能地在等可能地在10, 3 , 2 , 1十個(gè)值中取十個(gè)值中取一個(gè)值一個(gè)值. . 設(shè)設(shè))(NDD 是能整除是能整除N的正整數(shù)的個(gè)數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù),)(NFF 是能整除是能整除N的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)(注意注意1不是素不是素試寫(xiě)出試寫(xiě)出DF和和的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解數(shù)數(shù)),可得可得DF和和的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表:例例6 一整數(shù)一整數(shù)N等可能地在等可能地在10, 3 , 2 , 1十個(gè)值中取十個(gè)值中取一個(gè)值一個(gè)值. . 設(shè)設(shè))(NDD 是能整除是能整除N的正整數(shù)的個(gè)數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù),)(NFF 是能整除是能整

30、除N的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)(注意注意1不是素不是素試寫(xiě)出試寫(xiě)出DF和和的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律, , 并求分布律并求分布律.解解數(shù)數(shù)),可得可得DF和和的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表:110/310/210/410/110/210/2000210/710/110/210/40110/100010/104321iDPjFP DF10/310/210/410/14321kpD10/210/710/1210kpF即有邊緣分布律即有邊緣分布律完完四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義定義 設(shè)設(shè)),(YX為二維隨機(jī)變量，為二維隨機(jī)變量，)

31、,(yxF為其分布函為其分布函數(shù)，數(shù)， 若存在一個(gè)非負(fù)可積的二元函數(shù)若存在一個(gè)非負(fù)可積的二元函數(shù)),(yxf任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)),(yx有有 xydsdttsfyxF,),(),(則稱(chēng)則稱(chēng)),(YX為為二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱(chēng)并稱(chēng)),(yxf為為),(YX的的概率密度概率密度(密度函數(shù)密度函數(shù))，密度密度(聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)).使得對(duì)使得對(duì)或或X與與Y的的聯(lián)合概率聯(lián)合概率概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)),(yxf的性質(zhì)：的性質(zhì)：; 0),( yxf(1)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)),(yxf的性質(zhì)：的性質(zhì)：; 0),( yxf(

32、1)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)),(yxf的性質(zhì)：的性質(zhì)：; 0),( yxf(1) ; 1),(),(Fdxdyyxf(3) 設(shè)設(shè)D是是xOy平面上的區(qū)域，平面上的區(qū)域， 點(diǎn)點(diǎn)),(YX落入落入 內(nèi)內(nèi)D的概率為的概率為 DdxdyyxfDyxP),(),(特別地，特別地， 邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)(2),)( YxXPxXPxFX連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度特別地，特別地， 邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù),)( YxXPxXPxFX連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度特別地，特別地， 邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)

33、,)( YxXPxXPxFX,),(),(dsdttsfdsdttsfxx 上式表明，上式表明，X是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量， 且其密度函數(shù)為且其密度函數(shù)為: ,),()(dyyxfxfX同理，同理，Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量， 且其密度函數(shù)為：且其密度函數(shù)為： ,),()(dxyxfyfY分別稱(chēng)分別稱(chēng))(xfX和和)(yfY為為),(YX關(guān)于關(guān)于X和和 的的邊緣密邊緣密Y連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度分別稱(chēng)分別稱(chēng))(xfX和和)(yfY為為),(YX關(guān)于關(guān)于X和和 的的邊緣密邊緣密Y連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度分別稱(chēng)分別稱(chēng))(x

34、fX和和)(yfY為為),(YX關(guān)于關(guān)于X和和 的的邊緣密邊緣密Y度函數(shù)度函數(shù).(4) 若若),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx連續(xù)，連續(xù)，則有則有).,(),(2yxfyxyxF 進(jìn)一步，進(jìn)一步，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義， 可推得：可推得：當(dāng)當(dāng)yx ,很很有有,),(,yxyxfyyYyxxXxP 小時(shí)，小時(shí)，即，即，),(YX落在小區(qū)間落在小區(qū)間,(,(yyyxxx 上的上的概率概率.),(yxyxf 近似等于近似等于完完例例7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其其它它yxeyxfyx(1) 求分布函數(shù)求分布函數(shù));,(yx

35、F(2) 求概率求概率.XYP 解解 (1) xydxdyyxfyxF),(),( , 00, 0,20)2(0其其它它yxdxdyexyxy即有即有., 00, 0),1)(1(),(2 其它其它yxeeyxFyx例例7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其其它它yxeyxfyx(1) 求分布函數(shù)求分布函數(shù));,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解 (2)將將),(YX看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo), , 即有即有,),(GYXXY 其中其中為為GxOy平面上直線平面上直線xy 及其下方的部分及其下方的部分,

36、 , 如圖如圖. .于是于是xyOGGyxPXYP ),(例例7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其其它它yxeyxfyx(1) 求分布函數(shù)求分布函數(shù));,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解于是于是xyOGGyxPXYP ),(2) Gdxdyyxf),( yyxdxedy)2(2 yyxdxdye)2(02例例7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其其它它yxeyxfyx(1) 求分布函數(shù)求分布函數(shù));,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解于是于是xyOGG

37、yxPXYP ),(2) yyxdxedy)2(2例例7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX具有概率密度具有概率密度, 00, 0,2),()2( 其其它它yxeyxfyx(1) 求分布函數(shù)求分布函數(shù));,(yxF(2) 求概率求概率.XYP 解解于是于是xyOGGyxPXYP ),(2) yyxdxedy)2(2 dyeeyxy2.313 dyey完完例例8 設(shè)設(shè)),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度. .解解 (1) 由由1),( dxdyyxf確定確定. cdxdyxcy

38、x 010)2( 1022/ )2(dxxxc124/5 c. 5/24 cxy yxO1例例8 設(shè)設(shè)),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度. .解解 (2)例例8 設(shè)設(shè)),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度. .解解 (2),2(512)2(524)(20 xxdyxyxfxX 10 x,2223524)2(524)(21 yyydxxyyfyY10 y例例8 設(shè)設(shè))

39、,(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度. .解解 (2) 即即例例8 設(shè)設(shè)),(YX的概率密度是的概率密度是, 00, 10),2(),( xyxxcyyxf其它其它求求 (1)c的值的值; ;(2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度. .解解 (2) 即即 其其它它, 010),2(512)(2xxxxfX., 010,2223524)(2 其它其它yyyyyfY完完例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y具有聯(lián)合概率密度具有聯(lián)合概率密度, 0, 6),(2 其其它它xyxyxf求邊緣概率密度

40、求邊緣概率密度).(),(yfxfYX解解 dyyxfxfX),()(, 010),(6622 其其它它xxxdyxxOxyyx yx 211 dxyxfyfY),()(例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y具有聯(lián)合概率密度具有聯(lián)合概率密度, 0, 6),(2 其其它它xyxyxf求邊緣概率密度求邊緣概率密度).(),(yfxfYX解解Oxyyx yx 211 dxyxfyfY),()(例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y具有聯(lián)合概率密度具有聯(lián)合概率密度, 0, 6),(2 其其它它xyxyxf求邊緣概率密度求邊緣概率密度).(),(yfxfYX解解Oxyyx yx 211 dxyxfyfY),

41、()(., 010),(66 其它其它yyydxyy完完二維均勻分布二維均勻分布設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，是平面上的有界區(qū)域， 其面積為其面積為.A若二維隨機(jī)若二維隨機(jī)變量變量),(YX具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù) , 0,1),(AyxfGyx ),(其它其它則稱(chēng)則稱(chēng)),(YX在在G上服從上服從均勻分布均勻分布.注注：若若),(YX在在G上服從均勻分布上服從均勻分布,則其概率密度函則其概率密度函幾何上為定義在幾何上為定義在xOy面內(nèi)區(qū)域面內(nèi)區(qū)域G上的空間的一塊平上的空間的一塊平面面.應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例：OxyzzG),(yxf1A 二維均勻分布二維均勻分布應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例：OxyzzG),

42、(yxf1A 二維均勻分布二維均勻分布應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例：B的概率與小區(qū)域的的概率與小區(qū)域的則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)),(YX在在 上服從上服從G均勻均勻而與而與B的位置無(wú)關(guān)，的位置無(wú)關(guān)，向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域G內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域落在落在G上任投一質(zhì)點(diǎn)，上任投一質(zhì)點(diǎn)， 若質(zhì)點(diǎn)若質(zhì)點(diǎn)面積成正比面積成正比,分布分布.注注： 關(guān)于服從矩形域上的均勻分布的一個(gè)結(jié)論關(guān)于服從矩形域上的均勻分布的一個(gè)結(jié)論.完完OxyzzG),(yxf1A 矩形域上的均勻分布矩形域上的均勻分布容易得到服從矩形區(qū)域容易得到服從矩形區(qū)域dycbxa ,上的均勻上的均勻分布分布),(YX的兩個(gè)邊緣分布的兩個(gè)邊緣分布且

43、分別為且分別為 , 0,1)(abxfXbxa 其它其它 , 0,1)(cdyfYdyc 其它其它仍為均勻分布，仍為均勻分布，但對(duì)其它形狀的區(qū)域但對(duì)其它形狀的區(qū)域,G不一定有上述結(jié)論不一定有上述結(jié)論.完完例例10 設(shè)設(shè)),(YX服從單位圓域服從單位圓域122 yx上的均勻上的均勻分布分布, , 求求X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度. .解解, 01,/1),(22 其其它它時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yxyxf 當(dāng)當(dāng)1 x或或1 x時(shí)時(shí), , 0),( yxf從而從而. 0)( xfX當(dāng)當(dāng)11 x時(shí)時(shí), , dyyxfxfX),()(.12121122xdyxx 于是我們得到于是我們得到X的邊緣概率密度的邊緣

44、概率密度11 xy O例例10 設(shè)設(shè)),(YX服從單位圓域服從單位圓域122 yx上的均勻上的均勻分布分布, , 求求X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度. .解解于是我們得到于是我們得到X的邊緣概率密度的邊緣概率密度11 xy O例例10 設(shè)設(shè)),(YX服從單位圓域服從單位圓域122 yx上的均勻上的均勻分布分布, , 求求X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度. .解解 于是我們得到于是我們得到X的邊緣概率密度的邊緣概率密度11 xy O 其其它它, 011,12)(2xxxfX 由由X和和Y在問(wèn)題中地位的對(duì)稱(chēng)性在問(wèn)題中地位的對(duì)稱(chēng)性, , 將上式中的將上式中的x改改., 011,12)(2

45、其其它它yyyfY 就得到就得到Y(jié)的邊緣概率密度的邊緣概率密度, y成成完完二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布221121 222221121122)1(21 yyxxe若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量),(YX具有概率具有概率 密度密度),(yxf其中其中 ,2121均為常數(shù)均為常數(shù) ，, 1 則稱(chēng)則稱(chēng)),(YX服從參數(shù)為服從參數(shù)為 ,2121, 0, 021 且且的的二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布. 記為記為).,(),(2121 NYX注注： (1)如右圖如右圖.服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布注注： (1)如右圖如右圖.服從二維正態(tài)分布的概率

46、密度函數(shù)的典型服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布注注： (1)如右圖如右圖.服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型(2),2)(1212121)( xxXexf .,2)(2222221)( yyYexf 二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣即即密度仍是正態(tài)分布，密度仍是正態(tài)分布，完完Oxyz推導(dǎo)推導(dǎo) 二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布事實(shí)上，事實(shí)上， 因?yàn)橐驗(yàn)?,),()(dyyxfxfX而且而且21212222)(2)( yxy,)(2121221122 xxy于是于是221121

47、 .21122)21(2121212)(dyexyex )(xfX令令,1111222 xyt則有則有令令,1111222 xyt則有則有令令,1111222 xyt則有則有dteexftxX 22)(12212121)( ,2121212)(1 xex 同理同理.,21)(22222)(2 yeyfyY 注注：上述結(jié)果表明，上述結(jié)果表明， 二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣分布都是一維正態(tài)分布，分布都是一維正態(tài)分布， 且都不依賴(lài)于參數(shù)且都不依賴(lài)于參數(shù), 亦即亦即注注：上述結(jié)果表明，上述結(jié)果表明， 二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣分布都是一維正態(tài)分

48、布，分布都是一維正態(tài)分布， 且都不依賴(lài)于參數(shù)且都不依賴(lài)于參數(shù), 亦即亦即注注：上述結(jié)果表明，上述結(jié)果表明， 二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣分布都是一維正態(tài)分布，分布都是一維正態(tài)分布， 且都不依賴(lài)于參數(shù)且都不依賴(lài)于參數(shù), 亦即亦即對(duì)給定的對(duì)給定的,2121 不同的不同的 對(duì)應(yīng)不同的二維正對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，態(tài)分布， 但它們的邊緣分布都是相同的但它們的邊緣分布都是相同的,X和關(guān)于和關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布, 一般來(lái)說(shuō)是不能確定二維隨一般來(lái)說(shuō)是不能確定二維隨因此僅由關(guān)于因此僅由關(guān)于機(jī)變量機(jī)變量),(YX的聯(lián)合分布的的聯(lián)合分布的.完完例例11 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變

49、量),(YX的概率密度的概率密度),sinsin1(21),()(2122yxeyxfyx 試求關(guān)于試求關(guān)于YX,的邊緣概率密度函數(shù)的邊緣概率密度函數(shù). .解解 利用利用 函數(shù)及奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)得函數(shù)及奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)得,21),()(2/2xXedyyxfxf ,21),()(2/2yYedxyxfyf 注注: : 此例說(shuō)明此例說(shuō)明, , 邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機(jī)邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量變量, , 其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布. .完完課堂練習(xí)課堂練習(xí)1. 將兩封信隨意地投入將兩封信隨意地投入3個(gè)郵筒個(gè)郵筒, ,設(shè)設(shè)YX,分別表示分別表示投入第投入第1, ,2號(hào)郵筒中信的數(shù)目號(hào)郵筒中信的數(shù)目, ,求求X和和Y的聯(lián)合概率的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布分布及邊緣概率分布. .2. 設(shè)向量設(shè)向量),(YX的密度函數(shù)的密度函數(shù)),(yxf為為 , 0,),(kxyyxf10 , 10 yx其它其它, ,求求(1)參數(shù)參數(shù)k的值的值; ; (2),(YX的邊緣密度的邊緣密度. .完完練習(xí)解答練習(xí)解答1. 將兩封信隨意地投入將兩封信隨意地投入3個(gè)郵筒個(gè)郵筒, ,設(shè)設(shè)YX,分別表示分別表示投入第投入第1, ,2號(hào)郵筒中信的數(shù)目號(hào)