數(shù)理統(tǒng)計第十章 回歸分析

1、第十章第十章 回歸分析回歸分析 回歸分析的基本概念回歸分析的基本概念 一元線性回歸一元線性回歸 多元線性回歸多元線性回歸1、函數(shù)關系y=f (x)； 2、相關關系Y = f (x, )，其中為隨機變量。 常把上述關系表為: Y = f (x) + 確定性非確定性 相關關系式中最簡單、最常用的一種是相關關系式中最簡單、最常用的一種是線線性回歸性回歸, 即其中即其中f (x) =L(x) = ax + b 的的情形.10.1 10.1 回歸分析基本概念回歸分析基本概念一一. 相關關系相關關系二、一元線性回歸的數(shù)學模型二、一元線性回歸的數(shù)學模型1、一元線性理論回歸模型),(2100Nxy（10.1.

2、1）其中x10為確定性部分，0 、 1為未知參數(shù)2、一元線性回歸模型、一元線性回歸模型niNxyiiii, 1,), 0(210且且相相互互獨獨立立 對(x, y)作n次獨立觀察，得n組數(shù)據(jù)(xi, yi)，代入（ 10.1 ）得一元線性回歸模型（10.1.2）由(xi, yi)的值可作出0 、 1的估計10, 從而可得xy10 上述方程稱為一元線性經(jīng)驗回歸方程（簡稱回歸方程） 參數(shù)的參數(shù)的最小二乘估計最小二乘估計 模型線性模型線性性的檢驗性的檢驗 預測與控制預測與控制10102 2 一元線性回歸一元線性回歸一、參數(shù)的最小二乘估計參數(shù)的最小二乘估計考慮一元線性理論回歸模型),(2100Nxy(

3、10. 2. 1)代入（10. 2.1）可得一元線性回歸模型: 若我們對（x, y）做n次獨立的觀察, 可獲得n組相互獨立的觀測值).(,),;(22101niyxiiniNxyiiii,),(10210且且相相互互獨獨立立(10. 2. 3)1. 0, 1的最小二乘估計最小二乘估計 先討論問題: 如何由 (10. 2. 2)去估計(10. 2. 3)中的參數(shù)0, 1 與 2 。若已得到0, 1的估計10,則線性方程)4.2.10(,10 xy )5.2.10(, 1,10nixyii 稱為一元線性經(jīng)驗回歸方程一元線性經(jīng)驗回歸方程（簡稱回歸方程）。于于是對是對(10. 2. 2)的每一組觀測值

4、，由(10. 2. 4)均可求得一個相應的值iy 常稱為回歸值回歸值或預測值預測值、擬合值擬合值等。我們總希望由估計10, 所定出的回歸方程能使一切iiyy與與之間的偏差達到最小，根據(jù)最小二乘法最小二乘法的原理，即要求min)() (121012niiiniixyyy 必須滿足以下方程組（由微積分）niiixyQQ121010)(),(則10, 令niiiiniiixxyQxyQ110111000202,)(,)(用代替，經(jīng)整理即得n1i).(621012010iiiiiiyxxxyxn(10. 2. 6)稱為正規(guī)方程組正規(guī)方程組，在xi, i = 1, , n 不全相等時它有唯一解xyxnx

5、yxnyxiii10221(10. 2. 7)容易驗證, 上式中 的確能使Q達到最小, 因此他們是0 , 1的最小二乘估計最小二乘估計.10,)(xxyy1 可見可見, 回歸方程的圖形是通過點回歸方程的圖形是通過點( ), ( ), 斜率為斜率為 的直線的直線. . 稱此直線為稱此直線為回歸直線回歸直線. .(10. 2. 8)yx,12. 最小最小二乘估計的性質(zhì)及二乘估計的性質(zhì)及 2的估計的估計令令222222ynyyyLxnxxxLyxnyxyyxxLiiiyyixxiiiixy)()()(10. 2. 9)則(10. 2. 7)和(10. 2. 8) 可表為:xyLLxxxy101和和)

6、(xxLLyyxxxy1此時的殘差平方和此時的殘差平方和),(10Q最小最小, 記為記為Se, 稱為稱為剩余剩余平方和平方和. 即即niiieyyQS1210)(),(10. 2. 12)進一步分析進一步分析, 可得可得niiiexxyyS121)()()()(yyxxxxyyiiii122221xyyyxyxxyyeLLLLLS11212(10. 2. 13)由于xyxxLL1, 故很明顯,eS,10都是統(tǒng)計量, 在),(,210Niidn的假設下, 它們具如下性質(zhì)具如下性質(zhì): (設 x0為自變量 x 的值.);)( ,()(220011xxLxnN);)( ,()(220010010013

7、xxLxxnxNxy);,()(xxLN2112.),(),()(相互獨立相互獨立且與且與102224nSe例例10.2.1 在硝酸鈉在硝酸鈉(NaNO3)的溶解度試驗中的溶解度試驗中, 測得在不同溫度測得在不同溫度x(0C)下下, 溶解于溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)份水中的硝酸鈉份數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表所示的數(shù)據(jù)如下表所示. 求求 0, 1的最小二乘估計的最小二乘估計 及及 2的無偏估計的無偏估計, 并寫出并寫出回歸方回歸方程程.xi 0 4 10 15 21 29 36 51 68yi66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.110,解解 編制計

8、算表如下:xi=234 yi=811.3 n=9xi2=10144 yi2=76218.17 xiyi=24628.6 Lxx=4060 Lyy=3084.0543 Lxy=3534.826x144490.y60842xn11566731342.yn821093.yxn故, 可算得;.,.50886787060101xyLLxxxy2的無偏估計為.949802212nLLnSxyyye所求的回歸方程為.xy87060508867二、模型線性性的檢驗二、模型線性性的檢驗 如果y與x之間不存在良好的線性關系，這樣得到的回歸方程是毫無意義的。因此，我們必須檢驗假設H0：1=0； H1：10 (10.

9、 2. 15)離差分解離差分解ReiiiiTSSyyyyyyS22 )()(10. 2. 17)其中ST稱為總離差平方和總離差平方和, 2)(iieyyS稱為剩余平方和剩余平方和. 由性質(zhì)(4)知, 它的分布僅依賴于n和2, 與x的分布無關，因此它反映了除去y與x之間的線性相關關系之外其他因素引起的數(shù)據(jù)yi間的波動xyxxiiRLLxxyyS121212)()(10. 2. 18)稱為回歸平方和回歸平方和. 它主要反映由變量x的變化引起的yi間的波動. 由性質(zhì)(4)知,)(2122nSe且與SR獨立；在H0真時, 由性質(zhì)(2)及(10.2.18)知)(1122212xxRLS 故, H0為真時

10、統(tǒng)計量),()/()/(/21221nFnSSnSSFeReR(10. 2. 19)從而, 給定水平, 假設H0 (10.2.15) 有拒絕域),(21nFF易知, 在ST一定時, 若回歸平方和SR越大, 則剩余回歸平方和Se越小, 此時F值就越大, 從而反映出y與x之間的線性相關程度就越高, 模型(10.2.1)就越好; 反之, 則相反. 以上方法稱為模型線性性檢驗(或回歸方程顯著性檢驗)的F檢驗法檢驗法. 這種檢驗也需要做方差分析方差分析. 模型線性性檢驗模型線性性檢驗方差分析表方差分析表離差來源平方和自由度F值顯著性回歸R剩余eSRSe1n 2總和STn 1)/(2nSSFeR 回歸模型

11、線性性不顯著的原因可能有如下幾種: (1) 影響y的除x外, 還可能有其他不可忽略的因素; (2) y與x的關系不是線性的, 而是存在其它的關系; (3) y與x無關.為此需要進一步查明原因, 視具體情況處理.模型線性性檢驗的模型線性性檢驗的 t 檢驗法檢驗法 事實上, 當H0真時,)()(22121ntLnSLFtxxexx于是, 給定水平, 假設H0 (10.2.15) 有拒絕域:).(2ntt例例10.2.2(續(xù)例續(xù)例10.2.1) 試判斷溫度試判斷溫度x和硝酸鈉溶解份數(shù)和硝酸鈉溶解份數(shù)y之間的之間的線性關系是否顯著線性關系是否顯著? 選用F檢驗法. 由例例10.2.1的計算結果(見P3

12、64), 并利用(10.2.13)式和(10.2.18)式得65742639688307711.,.xyyyexyRLLSLS建立方差分析表如下.表表10-4 方差分析表方差分析表離差來源平方和自由度F值顯著性回歸R剩余eSR=3077.39688Se=6.6574217F=3235.75 總和ST=3084.05488給定=0.01, 查表得 F0.01(1, 7)=12.23235.75=F, 故拒絕H0. 這表明溫度x和硝酸鈉溶解份數(shù)y之間的線性關系非常顯著. 也可選用 t 檢驗法檢驗法. 此時因為t(n 2)= t0.01(7)=3.00, 而統(tǒng)計量 t 的值0035236299484

13、04060870601.)(.(xxLt故拒絕H0.三、預測與控制三、預測與控制0100 xy 回歸方程的一個重要應用就是預測。 對于給定的點 x = x0, 我們常希望知道x0所對應的y0 =0+1x0+0的點預測和預測區(qū)間. 此處 y0與各 yi (i =1, 2, , n)相互獨立.1. 一元線性回歸預測一元線性回歸預測y0的點預測可由回歸方程(10.2.4)直接得到 求 y0 的預測區(qū)間的方法與求參數(shù)的置信區(qū)間的方法類似(因y0是隨機變量而非常數(shù), 故不稱置信區(qū)間而稱預測區(qū)間預測區(qū)間).顯然),(20100 xNy(10.2.20)由y0與 的獨立性及性質(zhì)(3), 可知0y )( ,(

14、22000110 xxLxxnNyy標準化后得),()(10112000NLxxnyyUxx又由性質(zhì)(4)及(10.2.14)式知:).(222nSe00yySe,與與因因獨立, 故U與2222/)(/nSe也獨立. 于是)()()(21122000ntLxxnyynUxx故y0的置信度為1的預測區(qū)間為xxLxxnnty202/0)(11)2( (10.2.21)若記xxLxxnntx202/0)(11)2()( 則y0的預測區(qū)間可記為).(),(0000 xyxy對于給定的樣本觀測值x, 可作兩條曲線),()(xxxyy101)()(xxxyy102這兩條曲線可形成一含回歸直線0100 xy

15、的帶域, 兩頭呈喇叭形, 在 x = 處最窄. x當n充分大時, 因,/)(/11120 xxLxxn而近似地有),(2000Nyy 可用u/2代替t/2(n 2), 從而y0的預測區(qū)間可近似表為,/2020uyuy(10.2.22) 2. 一元線性回歸控制一元線性回歸控制 控制是預測的反問題, 即問自變量 x 應控制在什么范圍內(nèi), 才能以一定的置信度保證因變量 y 落在某一給定的區(qū)間之內(nèi). 換句話說, 對于給定的置信度1及區(qū)間y1, y2 , 要尋找x1和x2, 使當x1 x x2時x 所對應的 y 落在y1, y2 內(nèi)的概率 1. 僅限于討論 n 較大的情形.一種簡便的方法是: 利用(10

16、.2.22)式, 從不等式組 中解出x來即可得到控制x的上、下限. 但要注意須有./2221uyy2102221021/uxuyyuxuyy(10.2.23) p元線性回歸模型元線性回歸模型 參數(shù)估計參數(shù)估計最小二乘估計最小二乘估計 假設檢驗與假設檢驗與回歸系數(shù)的區(qū)間估計回歸系數(shù)的區(qū)間估計 預測和變量控制預測和變量控制10.3 10.3 p(多多)元線性回歸元線性回歸一、p元線性回歸模型一般地有),(2pp1100Nxxy(10.3.1)其中x1,xp是可精確測量或可控制的一般變量，y是可觀測的r.v.， 1, p是未知參數(shù)未知參數(shù)。 若我們對(10. 3.1)獲得n個相互獨立的觀測值).(,

17、),;(2310211nixxyipii則由(10. 3.1)知：yi 具有數(shù)據(jù)結構式).(),(,33100211110Nxxyiidniippi這就是p元（多元）線性回歸模型元（多元）線性回歸模型。對對p元線性回歸模型我們將研究下面幾個元線性回歸模型我們將研究下面幾個問題問題 由樣本由樣本觀測值觀測值(10.3.2)去估計未知參數(shù)去估計未知參數(shù) 1, , p , 2，從而建立，從而建立y與與x1, , xp間的數(shù)量關系間的數(shù)量關系式（所謂的式（所謂的回歸方程回歸方程）；）； 對由此得到的數(shù)量關系式的可信度進行統(tǒng)計對由此得到的數(shù)量關系式的可信度進行統(tǒng)計檢驗檢驗； 檢驗各變量檢驗各變量x1,

18、, xp 分別對指標分別對指標y是否有顯是否有顯著影響；著影響； 回歸系數(shù)的區(qū)間估計、預測和變量控制?；貧w系數(shù)的區(qū)間估計、預測和變量控制。二、參數(shù)估計二、參數(shù)估計 先討論第一個問題，即如何由 (10.3.2)去估計(10.3.1)中的參數(shù)0, p 與 2 。若已得到0, p的估計,p0則線性方程)4.3.10(,110ppxxy 稱為p元線性回歸方程元線性回歸方程。于是對(10.3.2)的每一組觀測值，由(10.3.4)均可求得一個相應的值)5 .3 .10(, 1,110nixxyippii iy 常稱為回歸值回歸值或預測值預測值、擬合值擬合值等。我們總希望由估計p ,0所定出的回歸方程能使

19、一切iiyy與與之間的偏差達到最小，根據(jù)最小二乘法最小二乘法的原理，即要求min)()(1211012niippiiniiixxyyy 必須滿足以下方程組（由微積分）n1i2ipp1i10ip10 xxyQ)(),(則,p0令pjxxxyQxxyQniijippiijniippii, 1, 0)(2, 0)(2111011100 用代替，經(jīng)整理即得n1i).(731021101112101110iippipiipipiipipiiiipipiyxxxxxyxxxxxyxxn(10.3.7)稱為正規(guī)方程組，其解稱為0 , 1, , p的最小二乘估計最小二乘估計，記為01,p則(10.3.3)可表

20、為 Y=X+ , N(0, 2In) (10.3.8)(10.3.7)可表為 正規(guī)方程組可用向量矩陣形式簡潔表出。正規(guī)方程組可用向量矩陣形式簡潔表出。令令npnnpnppyyyYxxxxxxX 2110211221111,111).(9310BAYXXX或或其中X為正規(guī)方程組的結構矩陣結構矩陣，A=XX為系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣，是一個p+1階方陣，B=XY為常數(shù)項矩陣。在回歸分析中通常A1存在，故)10. 3 .10(,)(11 XXAYXYXXXBA即即從而由最小二乘估計 可建立回歸方程(10.3.4)，并利用它對指標y進行預報和控制。例如給出任意一組變量x1,xp的值（x01,x0p ），由(1

21、0.3.4)可得y0的預測值：.), 1 (001001100 pppxxxxy定義定義 為了得到預測的精度及控制生產(chǎn)的需要，通常還要求得2的估計。實測值yi與回歸值的差iy iiyy叫殘差，2)(iieyyS稱為剩余平方和（或殘差平方和）。YYY叫殘差向量，一般地，有),(,1nyyYXY其中其中 . 1XYY).( )(113101YXXXXIn)()(. 2 XYXYYYSe推論推論)12. 3.10( 1YXXAIYYXYYn 定理定理10.1E(Se)=(np1)2, 從而)13. 3.10(12pnSe 是2的無偏估計。定理定理10.2 現(xiàn)在進一步研究最小二乘估計(least sq

22、uare estimation) 的性質(zhì)。 是 的無偏估計，其協(xié)方差陣為)15. 3 .10(.)()(21 XXD定理定理10.3)16. 3 .10(. 0),cov( Y定理定理10.4當YN(X, 2In)時， 與Se獨立，且),(),)( ,(2221qnSXXNe 其中q為矩陣X的秩。 的L.S.E與殘差向量的幾何意義np10p10RxxxLXUxxxX),()(),(令對于求 的L.S.E ，就是求一個 使得Y與 XY 的距離最短，這等價于在U(X)中找一向量 X使得.min| XYY這只能在)(XUY 才能辦到, 式(10.3.16)指出了這一點，可見 X是Y在U(X)上的投影

23、投影。三、假設檢驗三、假設檢驗M變量變量y與與x1, , xp之間是否確有線性關系之間是否確有線性關系即檢驗假設即檢驗假設 H0： 1= 2= p=0 (10.3.17)M若若y與與x1, , xp之間確有線性關系，那么之間確有線性關系，那么因子因子xj對對y作用是否顯著呢？這需要檢驗作用是否顯著呢？這需要檢驗假設假設 H0 ： j=0, (j=1, , p) (10.3.18)1. 假設假設 (10.3.17)的檢驗法的檢驗法總偏差平方和22)()(yyyyyySiiiiT)19.10()()(22ReiiiSSyyyy其中2)(iieyyS即剩余平方和，它反映除去y與x1,xp之間的線性關

24、系以外一切因素引起的數(shù)據(jù)yi間的波動。而22 )()( iuuiuuiRxxyyS uvuvvuiuvvivuiuvulxxxx )(pypyuuyulll 11稱為回歸平方和回歸平方和。反映由變量x1,xp的變化引起的數(shù)據(jù)yi間的波動。 在p元線性回歸模型(10.3.3)中，當假設 (10.3.17)真時，),(20, 1 Nyyiidn故) 1(122nST, 1)(pXRank由定理10.4知).1(122 pnSe由于SR是正態(tài)變量的平方和，其自由度為(n1)(np1)=p,故由定理6.3.2（柯赫倫）知，在(10.3.17)真時，Se與SR相互獨立，且),(122pSR 從而有),1

25、,() 1(pnpFpnSpSFeR2. 假設假設(10.3.18)的檢驗問題的檢驗問題最后，給定顯著性水平后，即可得到假設(10.3.17)的拒絕域).1,(pnpFF).1(1,1222pnSpnSee由定理10.4知),(2jjjjcN其中cjj為(XX)1中第j +1個對角元素，且2j與獨立，故)20. 3 .10() 1(0pntcctjjjjHjjjj真).1, 1 (02pnFtFHjj真這就是用來檢驗第j 個因子j 是否顯著為零的統(tǒng)計量。于是，給定顯著性水平，假設(10.3.18)的拒絕域為).1, 1 (),1(|pnFFpnttj 或或四四. 回歸系數(shù)的區(qū)間估計、預測和變量

26、控制回歸系數(shù)的區(qū)間估計、預測和變量控制1. 的線性函數(shù)的區(qū)間估計的線性函數(shù)的區(qū)間估計 若檢驗得知回歸因子xj對y的影響顯著，此時常要考慮j的區(qū)間估計問題。一般地說，在回歸分析中常要求考慮 的線性函數(shù)的區(qū)間估計問題。設 =(1,2,p)為實常向量，記,ii我們要求的是的置信度為1的置信區(qū)間。易證 的最小方差線性無偏估計為ii 它稱為 的高斯馬爾可夫估計。)( ,(12 XXN) 1, 0()( /)(1NXX 且與)(22pnSe 相互獨立?？蛇x擇)()( /)(21pnSXXTe )21. 3 .10()()( /)(1pntXX 為主元。由P|T| t/2(np)=1 ，解不等式，得 的置信

27、度為1的置信區(qū)間如下：)22. 3 .10()( )(12/ XXpnt特別，當jijiji , 0, 1時時置信度為1的置信區(qū)間為的則j,)23. 3 .10()(,)(2/2/jjjjjjcpntcpnt 2. y的預測區(qū)間的預測區(qū)間 設給定x =(x1,xp)的值x0=(x01,x0p) ，要求x0所對應y0的置信度為1的預測預測區(qū)間。設給定x0 ，則),1, 0(,0000Nxy y0的回歸值).)(,(0102000 xXXxxNxy 由于y0與y1,yn獨立，故0y 與y1,yn也獨立，),()(/)(10101000NxXXxyy且與)(pnS22e從而獨立，故)()(/)(pn

28、SxXXxyyTe2010001).()()(/)(24310101000pntxXXxyy 由P |T| t/2(np)=1 ，解不等式，即得y0的預測區(qū)間預測區(qū)間如下：).(.)()(/25310101020 xXXxpnty3. x的控制的控制當n充分大時，y0的預測區(qū)間預測區(qū)間可近似表為).().,(/263102020uyuy由不等式組).(/2731020222021uxuyyuxuyy即可解得控制控制 x 的上、下限的上、下限。五五. 可化為線性回歸的例子可化為線性回歸的例子1.模型 y=a+bsint+ ， N(0, 2) (10.3.28)其中其中a、b、 2為與為與t無關的

29、未知參數(shù)，只要令無關的未知參數(shù)，只要令x= sint，即可得一元線性回歸模型。，即可得一元線性回歸模型。2.模型 y=a+bt+ct2+ ， N(0, 2) (10.3.29)其中其中a、b、 c 、 2為與為與t無關的未知參數(shù)，只要無關的未知參數(shù)，只要令令x1= t， x2= t2 ，即可得二元線性回歸模型。，即可得二元線性回歸模型。可推廣到可推廣到y(tǒng)= gn(t)+ ， N(0, 2)的情形，其中的情形，其中 gn(t)=an+an 1t+ + a0t n ， 為為n次多項式。次多項式。3.模型 (y)=a+bx + ， N(0, 2) (10.3.30)其中其中 為已知函數(shù)，且具單值反函

30、數(shù)，為已知函數(shù)，且具單值反函數(shù)，a、b、 2為與為與x無關的未知參數(shù)，只要令無關的未知參數(shù)，只要令z= (y) 即可。即可。近代統(tǒng)計學的地位近代統(tǒng)計學的地位 統(tǒng)計學統(tǒng)計學是當今最重要的科學技術之一是當今最重要的科學技術之一 很多人不了解統(tǒng)計學很多人不了解統(tǒng)計學! !(1) 美國美國 “科學科學84年年”雜志選出雜志選出“20世紀對人類生活影響最大世紀對人類生活影響最大的的20項項 科技成果科技成果”；統(tǒng)計學統(tǒng)計學 入選其中入選其中(其它如：相對論、激其它如：相對論、激光、電視、塑料、光、電視、塑料、DNA等等) 。(2) 法國科學院近來向政府提交了一個報告；列舉了法國科學院近來向政府提交了一個

31、報告；列舉了10項應該項應該重點發(fā)展的科技領域。其中重點發(fā)展的科技領域。其中9項為信息、能源等高科技項目項為信息、能源等高科技項目,唯有一項唯有一項 統(tǒng)計學統(tǒng)計學 屬于基礎性學科屬于基礎性學科,報告認為報告認為 “法國統(tǒng)計學發(fā)法國統(tǒng)計學發(fā)展的滯后展的滯后對法國經(jīng)濟、社會的發(fā)展產(chǎn)生了很不利的影響對法國經(jīng)濟、社會的發(fā)展產(chǎn)生了很不利的影響”. (3) 日本戰(zhàn)后經(jīng)濟發(fā)展非?？烊毡緫?zhàn)后經(jīng)濟發(fā)展非?？?有人認為有人認為: 以以“統(tǒng)計質(zhì)量管理統(tǒng)計質(zhì)量管理” (田口方法、田口方法、TQC即全面質(zhì)量管理等即全面質(zhì)量管理等)為中心的為中心的 統(tǒng)計學統(tǒng)計學 方法方法的應用的應用,貢獻了貢獻了5 % 的份額。的份額。

32、(4) 美國美國2003年年“技術評論技術評論”雜志根據(jù)最新調(diào)查雜志根據(jù)最新調(diào)查,介紹了介紹了全球全球九大新興科技九大新興科技展望。其中第展望。其中第4項為項為貝葉斯統(tǒng)計技術貝葉斯統(tǒng)計技術 (其它如其它如: 個人基因學；合成生物學；納米導線；微射流光纖；等個人基因學；合成生物學；納米導線；微射流光纖；等). 調(diào)查報告指出調(diào)查報告指出: 貝葉斯統(tǒng)計技術貝葉斯統(tǒng)計技術 將是下一波軟件開發(fā)的基將是下一波軟件開發(fā)的基本工具本工具；可能使外語翻譯、微型芯片制造、藥物發(fā)現(xiàn)、基；可能使外語翻譯、微型芯片制造、藥物發(fā)現(xiàn)、基因技術等領域發(fā)生巨大進步；因技術等領域發(fā)生巨大進步；英特爾、微軟、英特爾、微軟、Goog

33、le等大等大公司都已擠入這一新領域的研發(fā)。微軟已進入市場公司都已擠入這一新領域的研發(fā)。微軟已進入市場,其其2003年版年版Outlook就包括了貝葉斯就包括了貝葉斯 辦公室助手軟件。辦公室助手軟件。(5) 美國統(tǒng)計學家把美國統(tǒng)計學家把 新的貝葉斯統(tǒng)計方法新的貝葉斯統(tǒng)計方法 應用于應用于MX導彈試導彈試驗。使導彈第一階段的試驗由驗。使導彈第一階段的試驗由36次減少到次減少到25次；可靠性由次；可靠性由72 % 提高到提高到93 %；可節(jié)省直接費用；可節(jié)省直接費用2.5億美元億美元 (美國美國David報告報告:“美國數(shù)學的現(xiàn)在與未來美國數(shù)學的現(xiàn)在與未來”) 。(6) 在美國，統(tǒng)計是最為熱門的職業(yè)

34、之一。在美國，統(tǒng)計是最為熱門的職業(yè)之一。統(tǒng)計學家統(tǒng)計學家的工資水的工資水平也是非常高的。美國白宮人事局平也是非常高的。美國白宮人事局2003年的一份報告中指年的一份報告中指出出, 統(tǒng)計學家統(tǒng)計學家 的工資的工資名列第名列第6；高于經(jīng)濟學家、；高于經(jīng)濟學家、計算機科學計算機科學家家、化學家、電氣工程師、化學家、電氣工程師、建筑師建筑師 等行業(yè)。等行業(yè)。(7) 在英美等國，二三流大學在英美等國，二三流大學都有都有統(tǒng)計系、生物統(tǒng)計系統(tǒng)計系、生物統(tǒng)計系。美國。美國 統(tǒng)計學博士生統(tǒng)計學博士生 獲得資助率獲得資助率(32 %)、肯定就業(yè)率、肯定就業(yè)率(78 %)、到、到重點大學就業(yè)率重點大學就業(yè)率(43

35、%)都是都是最高的最高的；美國基礎數(shù)學畢業(yè)生；美國基礎數(shù)學畢業(yè)生找工作的平均等待時間為找工作的平均等待時間為14個月個月,而統(tǒng)計學畢業(yè)生為而統(tǒng)計學畢業(yè)生為2個月個月. (8) 統(tǒng)計學統(tǒng)計學對于對于 現(xiàn)代基因學說現(xiàn)代基因學說 的產(chǎn)生與發(fā)展起了非常重要的的產(chǎn)生與發(fā)展起了非常重要的作用。孟德爾作用。孟德爾1865年提出基因學說；在年提出基因學說；在1953 年年 Watson & Crick 在分子水平上發(fā)現(xiàn)在分子水平上發(fā)現(xiàn)DNA的雙螺旋分子結構的雙螺旋分子結構 之前之前,主要靠主要靠 統(tǒng)計學統(tǒng)計學 的支持的支持。(9) 美國美國Glimm報告報告“數(shù)學科學、技術、與經(jīng)濟競爭力數(shù)學科學、技術

36、、與經(jīng)濟競爭力”指指出出: 統(tǒng)計學已得到廣泛應用，在這個意義上它統(tǒng)計學已得到廣泛應用，在這個意義上它 處于數(shù)學各處于數(shù)學各分支分支領先地位領先地位；是用于分析數(shù)據(jù)的第一數(shù)學分支；是用于分析數(shù)據(jù)的第一數(shù)學分支,也是新科也是新科技中技中 涉及數(shù)學的涉及數(shù)學的第一分支第一分支，是把新科技進行量化的，是把新科技進行量化的 先驅先驅手段手段。(10) 1991-2001十年期間十年期間,全世界數(shù)學論文引用率最高的前全世界數(shù)學論文引用率最高的前25名數(shù)學家中有名數(shù)學家中有18名是名是統(tǒng)計學家統(tǒng)計學家, 占占2/3強。強。數(shù)學家成企業(yè)新寵數(shù)學家成企業(yè)新寵 數(shù)學系畢業(yè)生年薪可達數(shù)學系畢業(yè)生年薪可達6位數(shù)位數(shù)

37、在在“Google”或或“雅虎雅虎”這樣的公司，大學數(shù)學系畢業(yè)生這樣的公司，大學數(shù)學系畢業(yè)生的起始年薪可達的起始年薪可達6位數(shù)。就像不久以前，人們爭搶哈佛大學企位數(shù)。就像不久以前，人們爭搶哈佛大學企管碩士一樣，如今，企業(yè)已開始紛紛爭搶數(shù)學家。管碩士一樣，如今，企業(yè)已開始紛紛爭搶數(shù)學家。 本報華盛頓本報華盛頓1月月18日電日電 (記者記者 張孟軍張孟軍)人類社會正在向人類社會正在向“新數(shù)字時代新數(shù)字時代”邁進。數(shù)學家和計算機專家強強結合，正醞釀邁進。數(shù)學家和計算機專家強強結合，正醞釀催生出一個全新的業(yè)務范疇，從而提高了數(shù)學的效能。催生出一個全新的業(yè)務范疇，從而提高了數(shù)學的效能。 過去幾十年來，高

38、級數(shù)學和計算機模擬不斷改變過去幾十年來，高級數(shù)學和計算機模擬不斷改變著科學和社會的面貌。數(shù)學家正在幫助企業(yè)收集和挖著科學和社會的面貌。數(shù)學家正在幫助企業(yè)收集和挖掘消費者和企業(yè)數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)，并從這些數(shù)據(jù)中找掘消費者和企業(yè)數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)，并從這些數(shù)據(jù)中找出有用的出有用的“金礦金礦”。據(jù)新出版的美國。據(jù)新出版的美國商業(yè)周刊商業(yè)周刊報報道，數(shù)學家正在幫助企業(yè)擬定廣告宣傳戰(zhàn)略，他們也道，數(shù)學家正在幫助企業(yè)擬定廣告宣傳戰(zhàn)略，他們也在改變對新聞報道進行研究的切入角度和研究方法。在改變對新聞報道進行研究的切入角度和研究方法。數(shù)學家使市場營銷人員同客戶形成了一對一的關系，數(shù)學家使市場營銷人員同客戶形成了一對一

39、的關系，越來越多的經(jīng)濟活動進入越來越多的經(jīng)濟活動進入“數(shù)學王國數(shù)學王國”。 例如，在紐約華爾街工作的數(shù)學企業(yè)家尼爾例如，在紐約華爾街工作的數(shù)學企業(yè)家尼爾戈德戈德曼，就創(chuàng)建了曼，就創(chuàng)建了“Inform技術公司技術公司”。該公司每天搜索。該公司每天搜索成千上萬篇新聞報道和網(wǎng)上博客的文章進行成千上萬篇新聞報道和網(wǎng)上博客的文章進行“閱讀閱讀”，并能將這些文章分門別類地分成不同部分。并能將這些文章分門別類地分成不同部分。Inform公公司不是逐字逐句進行閱讀做出文摘，而是按語言和內(nèi)司不是逐字逐句進行閱讀做出文摘，而是按語言和內(nèi)容，采用數(shù)學計算及統(tǒng)計法來分析每篇文章容，采用數(shù)學計算及統(tǒng)計法來分析每篇文章。

40、然后按。然后按客戶需要，將對客戶有用的文章或段落發(fā)給客戶。客戶需要，將對客戶有用的文章或段落發(fā)給客戶。 美國國家安全局美國國家安全局(NSA)數(shù)學研究組的首席數(shù)學家沙茨說：數(shù)學研究組的首席數(shù)學家沙茨說：“數(shù)學家從未獲得過如此高的地位數(shù)學家從未獲得過如此高的地位。”冷戰(zhàn)時期，美國國家安冷戰(zhàn)時期，美國國家安全局雇用了大量數(shù)學家。該局的數(shù)學高手曾同前蘇聯(lián)的數(shù)學高全局雇用了大量數(shù)學家。該局的數(shù)學高手曾同前蘇聯(lián)的數(shù)學高手展開競賽：每邊的人都在千方百計保護自己的密碼不被對方手展開競賽：每邊的人都在千方百計保護自己的密碼不被對方破譯，而試圖破譯對方的密碼。如今，美國國家安全局的數(shù)學破譯，而試圖破譯對方的密碼

41、。如今，美國國家安全局的數(shù)學團隊已經(jīng)把工作重點轉移到新的領域團隊已經(jīng)把工作重點轉移到新的領域反恐。他們不斷分反恐。他們不斷分析恐怖分子在網(wǎng)上和電話中的各種信息，例如分析恐怖分子的析恐怖分子在網(wǎng)上和電話中的各種信息，例如分析恐怖分子的講話、主題和通話的頻率，以分析判斷未來可能出現(xiàn)的恐怖襲講話、主題和通話的頻率，以分析判斷未來可能出現(xiàn)的恐怖襲擊。擊。美國國家安全局正在和美國國家安全局正在和“Google”或雅虎等公司進行人才或雅虎等公司進行人才爭奪戰(zhàn)，以招聘到最好的數(shù)學家爭奪戰(zhàn)，以招聘到最好的數(shù)學家。該局招聘辦公室主任米勒。該局招聘辦公室主任米勒溫溫特說：特說：“我們必須尋找新的和創(chuàng)新的方法，以找到最有用的人我們必須尋找新的和創(chuàng)新的方法，以找到最有用的人才才.” 諸如諸如IBM及及Inform等許多公司，也都在讓數(shù)學家等許多公司，也