線性代數(shù)：矩陣2-4矩陣的分塊

1、第四節(jié)第四節(jié) 矩陣的分矩陣的分塊塊對(duì)于規(guī)模較大對(duì)于規(guī)模較大, ,零較多或局部比較特殊的矩零較多或局部比較特殊的矩陣陣, 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法分塊法，把大矩陣，把大矩陣分割成小矩陣分割成小矩陣. .在運(yùn)算時(shí)在運(yùn)算時(shí), , 把這些小矩陣當(dāng)作元把這些小矩陣當(dāng)作元素一樣來(lái)處理素一樣來(lái)處理. . 具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為A的的子塊子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣分塊矩陣. . bbaaA110101000001,321

2、 BBB例例 A001aba110000b110 1B2B3B即即 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即 bbaaA110101000001 bbaaA110101000001, BEOA ,4321AAAA aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則那那末末列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAA

3、A11111111,(1) 分塊矩陣分塊矩陣A與與B的行數(shù)相同的行數(shù)相同,列數(shù)相同列數(shù)相同, 采用相同采用相同的分塊法的分塊法, 有有 那末那末為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè), 21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 由于矩陣的加法與數(shù)乘比較簡(jiǎn)單，一般不需用由于矩陣的加法與數(shù)乘比較簡(jiǎn)單，一般不需用分塊計(jì)算。分塊計(jì)算。 分分塊塊成成矩矩陣陣為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè),3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行數(shù)數(shù)的的列列數(shù)數(shù)分分別別等等于于其其中中,2121j tjjt iiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBAC

4、kjtkikij 其其中中 ,411 srAAA設(shè)設(shè)rA11sA.11 TsrTTAAA則則TsA1TrA1(2).21sAAAA 準(zhǔn)三角矩陣有如下性質(zhì)準(zhǔn)三角矩陣有如下性質(zhì): :(1) 設(shè)設(shè)A、B兩個(gè)同類型的兩個(gè)同類型的準(zhǔn)三角矩陣，則準(zhǔn)三角矩陣，則ABABA, 均為同類型的均為同類型的準(zhǔn)三角矩陣。準(zhǔn)三角矩陣。 sAAAA21O 形如形如的分塊矩陣的分塊矩陣, ,稱為稱為準(zhǔn)上三角陣準(zhǔn)上三角陣, , ., 2 , 1都都是是方方陣陣其其中中siAi 類似有類似有準(zhǔn)下三角陣準(zhǔn)下三角陣. sAAAA21OO特別特別,稱為稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣準(zhǔn)對(duì)角矩陣. .準(zhǔn)對(duì)角矩陣除了具有準(zhǔn)三角陣的性質(zhì)以外準(zhǔn)對(duì)角矩陣除了具

5、有準(zhǔn)三角陣的性質(zhì)以外, ,還有還有: :(1) ssBBBAAA2121OOOO.2211 ssBABABAOO.21 kskkkAAAAOO ssBBBAAA2121OOOO.2211 ssBABABAOO特別，特別，.21sAAAA 則則，設(shè)設(shè) sAAAA21 OO且且有有均均可可逆逆可可逆逆當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng),), 2 , 1(siAAi (2).112111 sAAAAOO,1011012100100001 A例例1 設(shè)設(shè),0211140110210101 B.AB求求解解分分塊塊成成把把BA,1 EAOEA,222111 BBEBB則則 2221111BBEBEAOEAB.221211

6、1111 BABBAEB.2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 21111BBA ,1142 02141121221BA,1333 例例2 設(shè)設(shè),120130005 A.1 A求求解解 120130005A,21 AOOA;321112 A 12111AOOAA.3201100051 例例3 設(shè)設(shè),1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解,321 AA

7、AA 2322212AAAA,3800041100000950002514000009 例例3 設(shè)設(shè),1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解321AAAA 1312111AAAA,32000110000031000520000031 ,3 5A5A ,243 例例3 設(shè)設(shè),1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解 TTTTAAAA321.1100023000002500013000003 例例4解解,0都都是是可可逆逆方方陣陣和和其其中中設(shè)設(shè)BABCAP .,1 PP并并求求可可逆逆證證明明,可逆可逆由由BA,0 BAP有有.可逆可逆得得P,1 YWZXP設(shè)設(shè) YWZXBCAPP01于是于是 BYBWCYAZCWAX, EOOE .,EBYOBWOCYAZECWAX BYBWCYAZCWAX, EOOE,1 BY,OW ,1 AX,1 YWZXP,OCYAZ ,CYAZ ,11 CBAZ.111111