機(jī)械測試技術(shù)課件5

1、六、快速傅里葉變換（FFT） 離散傅里葉變換的計(jì)算公式為：式中 N個(gè)點(diǎn)的X(k)需做N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。而做一次復(fù)數(shù)乘法需要做四次實(shí)數(shù)相乘和兩次實(shí)數(shù)相加，做一次復(fù)數(shù)加法需要做兩次實(shí)數(shù)相加。 例：N=1024時(shí)，則需要總共1,048,576次復(fù)數(shù)乘，即4,194,304次實(shí)數(shù)乘法。 112:NonnkNNonnkNjWnxenxkXDFT 11211:NoknkNNoknkNjWkXNekXNnxIDFT1, 1 ,0Nk1, 1 ,0Nn（4.202）（4.203）NjNeW2快速傅里葉變換(FFT，F(xiàn)ast Fourier Transform)算法的本質(zhì):充分利用因子WN

2、的周期性和對稱性。n對稱性： n周期性：FFT算法的基本思想：避免運(yùn)算中的重復(fù)運(yùn)算，將長序列的DFT分割為短序列的DFT的線性組合，從而達(dá)到整體降低運(yùn)算量的目的。效果：使原來的N點(diǎn)DFT的乘法計(jì)算量從N2次降至為N/2log2N次，如N=1024，則計(jì)算量現(xiàn)在為5120次，僅為原計(jì)算量的4.88% 。nkNNnkNWW2nkNnkNNWW（4.204）（4.205）時(shí)間抽取基2算法 對式(4.202)，令N=2M,將x(n)序列分割成長度各為N/2的奇序列和偶序列，即令n=2r和n=2r+1,，r=0,1, ,N/2-1則式（4.202）重寫為式中 這是因?yàn)?12212212121221221

3、22NorrkNNorkNrkNNorNorrNrkNWrxWWrxkWrxWrxkX（4.206）NjNjNeeW4222222222NNjNjNWeeW令則式（4.206）可改寫為而 因此將式（4.209）完整地寫成 12212, 1 , 02NorrkNNkWrxkA 12212, 1 ,012NorrkNNkWrxkB（4.207）（4.208） 1, 1 ,0NkkBWkAkXkN（4.209） kBkNBkAkNA22 12,2, 1 ,022NkkBWkANkXkBWkAkXNkNkN（4.210）又因?yàn)?，因此最終可得 12NNW 12,2, 1 ,02NkkBWkANkXkB

4、WkAkXkNkN（2.211）圖4.98 分割一次后的A(k)、B(k)及X(k)之間的關(guān)系（N=8） 按照上述思路繼續(xù)對A(k)和B(k)作奇偶序列分解。令r=2l，r=2l+1，l=0,1, ,N/4-1，則有：令 則 14042120414012214022244244NllkNkNNllkNNlklNNllkNWlxWWlxWlxWlxkA 14, 1 , 04414NkWxkCkNNo（4.212） 14, 1 ,024414NkWxkDkNNo（4.213） 14, 1 , 02NkhDWkCkAkN（4.214） 14, 1 ,042NkkDWkCNkAkN（4.215）同樣，

5、令則有： 14, 1 , 014414NkWxkEkNNo 14, 1 ,034414NkWxkFkNNo（4.216）（4.217） 14, 1 ,02NkkFWkEkBkN（4.218） 14, 1 ,042NkkFWkENkBkN（4.219）對于一個(gè)N=8的序列，此時(shí)的C(k)、D(k)、E(k)和F(k)均已為兩點(diǎn)的序列，無需再分，此時(shí)有 圖4.99 FFT時(shí)間抽取算法信號流圖 （N=8）C(0)=x(0)+x(4)，E(0)=x(1)+x(5)C(1)=x(0)-x(4)，E(1)=x(1)-x(5)D(0)=x(2)+x(6)，F(xiàn)(0)=x(3)+x(7)D(1)=x(2)-x(

6、6)，F(xiàn)(1)=x(3)-x(7)在FFT的整個(gè)運(yùn)算過程中，每兩個(gè)等式的運(yùn)算過程可以用一個(gè)形似蝴蝶結(jié)的“X”形結(jié)構(gòu)圖來表示，八個(gè)等式對應(yīng)于四個(gè)蝶形結(jié)構(gòu)，因此這種信號流程圖稱為FFT的蝶形運(yùn)算流程圖，將這種運(yùn)算的基本單元稱為蝶形運(yùn)算單元。圖4.100 蝶形運(yùn)算單元 時(shí)間抽取算法的規(guī)律：1.分級運(yùn)算：將N個(gè)點(diǎn)的序列逐次對分，直至分到N/2個(gè)兩個(gè)點(diǎn)的序列為止。圖4.101 8點(diǎn)FFT時(shí)間抽取算法信號流圖 2.蝶形運(yùn)算單元組 每一級上的N/2個(gè)蝶形單元可分為若干組，我們稱之為蝶形運(yùn)算單元組，每一組中的蝶形單元有著相同的結(jié)構(gòu)和Wr因子分布。3.Wr因子的分布 Wr因子分布的一般規(guī)律為：其中m為級次。12

7、, 1 ,0,12mrrWm4.數(shù)據(jù)排列順序 從圖4.101可見，變換后的輸出序列X(k)按正序排列，但在輸入端序列的排列次序不是原來的自然順序，而變成了0，4，2，6，1，5，3，7。 圖4.102 數(shù)據(jù)整序方法（a）奇偶分解整序 （b）碼位倒置整序 2.3 測試系統(tǒng)特性分析王伯雄2.3 測試系統(tǒng)特性分析 一、概述二、測量誤差三、測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性 四、測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 五、測試系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)精確測量的條件 六、測試系統(tǒng)的負(fù)載效應(yīng) 一、概述信號與系統(tǒng)緊密相關(guān)。被測的物理量亦即信號作用于一個(gè)測試系統(tǒng)，而該系統(tǒng)在輸入信號亦即激勵(lì)的驅(qū)動(dòng)下對它進(jìn)行“加工”，并將經(jīng)“加工”后的信號進(jìn)行輸出。輸出信號的質(zhì)量

8、必定差于輸入信號的質(zhì)量。n受測試系統(tǒng)的特性影響；n受信號傳輸過程中干擾的影響。 一個(gè)測試系統(tǒng)與其輸入、輸出之間的關(guān)系 ：1.若已知輸入量和系統(tǒng)的傳遞特性，則可求出系統(tǒng)的輸出量。2.已知系統(tǒng)的輸入和輸出量，求系統(tǒng)的傳遞特性。 3.已知系統(tǒng)的傳遞特性和輸出量，來推知系統(tǒng)的輸入量。 希望輸入與輸出之間是一種一一對應(yīng)的確定關(guān)系，因此要求系統(tǒng)的傳遞特性是線性的。n對于靜態(tài)測量，系統(tǒng)的線性特性要求并非是必須的，采取曲線校正和補(bǔ)償技術(shù)來作非線性校正較為容易。n對于動(dòng)態(tài)測量 ，對測試裝置或系統(tǒng)的線性特性關(guān)系的要求便是必須的。在動(dòng)態(tài)測量的條件下，非線性的校正和處理難于實(shí)現(xiàn)且十分昂貴。 圖2.52 測試系統(tǒng)框圖

9、二、測量誤差 定義：n誤差E是指示值與真值或準(zhǔn)確值的差： E=xm-x(2.142)xm指示值；x真值或準(zhǔn)確值。 n校正值或修正值B是與誤差E的數(shù)值相等但符號相反的值 ：B=x-xm(2.143)分類一（根據(jù)誤差的性質(zhì)）：n系統(tǒng)誤差：w定義：每次測量同一量時(shí)，呈現(xiàn)出相同的或確定性方式的那些測量誤差。w產(chǎn)生原因：由標(biāo)定誤差、持久發(fā)生的人為誤差、不良儀器造成的誤差、負(fù)載產(chǎn)生的誤差、系統(tǒng)分辨率局限產(chǎn)生的誤差等因素所產(chǎn)生。 n隨機(jī)誤差：w定義：每次測量同一量時(shí)，其數(shù)值均不一致、但卻具有零均值的那些測量誤差。 w產(chǎn)生的原因有：測量人員的隨機(jī)因素、設(shè)備受干擾、實(shí)驗(yàn)條件的波動(dòng)、測量儀器靈敏度不夠等。 n過失

10、誤差或非法誤差：w意想不到而存在的誤差。w如實(shí)驗(yàn)中因過失或錯(cuò)誤引起的誤差，實(shí)驗(yàn)之后的計(jì)算誤差等。 隨機(jī)誤差具有明顯的統(tǒng)計(jì)分布特性。常常采用統(tǒng)計(jì)分析來估計(jì)該誤差的或然率大小。 系統(tǒng)誤差則不可以用統(tǒng)計(jì)方法來處理，因?yàn)橄到y(tǒng)誤差是一個(gè)固定的值，它并不呈現(xiàn)一種分布的特征。 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差常常同時(shí)發(fā)生。 圖2.53 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差 (a)系統(tǒng)誤差大于隨機(jī)誤差 (b)隨機(jī)誤差大于系統(tǒng)誤差 分類二（根據(jù)測量的類型 ）：n靜態(tài)誤差：w定義：用來確定時(shí)不變測量值的線性測量儀器，其傳遞特性為一常數(shù)。而相應(yīng)的非線性測量儀器的輸入輸出關(guān)系是用代數(shù)方程或超越方程來描述的。因而所產(chǎn)生的誤差一般僅取決于測量值大小而其

11、本身不是時(shí)間的函數(shù)。這種誤差稱靜態(tài)誤差。 n動(dòng)態(tài)誤差：w定義：在測量時(shí)變物理量時(shí)，要用微分方程來描述輸入輸出關(guān)系。此時(shí)產(chǎn)生的誤差不僅取決于測量值的大小，而且還取決于測量值的時(shí)間過程。將這種誤差稱動(dòng)態(tài)誤差。 三、測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性當(dāng)被測量是恒定的、或是慢變的物理量時(shí) ，涉及到系統(tǒng)的靜態(tài)特性。 靜態(tài)特性包括：1.重復(fù)性；2.漂移；3.誤差；4.精確度；5.分辨率；6.線性度；7.非線性。 1.重復(fù)性（亦稱精度）：表示由同一觀察者采用相同的測量條件、方法及儀器對同一被測量所做的一組測量之間的接近程度。表征測量儀器隨機(jī)誤差接近于零的程度。 2.漂移：儀器的輸入未產(chǎn)生變化時(shí)其輸出所發(fā)生的變化。由儀器的內(nèi)

12、部溫度變化和元件的不穩(wěn)定性引起。3.誤差：儀器的誤差有兩種表達(dá)方式：絕對誤差：用專門的測量單位來表示；相對誤差：表達(dá)為被測量的一個(gè)百分比值，或表達(dá)為某個(gè)專門值比如滿量程指示值的一個(gè)百分比。 4.精確度：測量儀器的指示值和被測量真值的符合程度，通過所宣稱的概率界限將儀器輸出與被測量的真值關(guān)聯(lián)起來。精確度是由諸如非線性、遲滯、溫度變化、漂移等一系列因素所導(dǎo)致的不確定度之和。5.靈敏度：n單位被測量引起的儀器輸出值的變化。n靈敏度有時(shí)亦稱增益或標(biāo)度因子。 6.分辨率： n當(dāng)一個(gè)被測量從一個(gè)相對于零值的任意值開始連續(xù)增加時(shí)，使指示值產(chǎn)生一定變化量所需的輸入量的變化量 。n如果指示值不是連續(xù)的，將指示的不連續(xù)步距值稱作分辨率 。w數(shù)顯式儀器的分辨率是指顯示值最后一位數(shù)的數(shù)距。 圖2.54 分辨率概念不同意義的例子 7.線性度 第一種定義：用理論刻度的端點(diǎn)值來確定參考直線。一個(gè)無抑零范圍的測量儀器的這條直線規(guī)定為穿過零點(diǎn)和最大值的終點(diǎn)。線性度按誤差限的概念定義為最大的偏離量并以示值范圍的百分比給出 。第二種定義：用定標(biāo)測量點(diǎn)來描述參考直線。采用線性回歸技術(shù)來求出該直線，使得測量值偏