彎曲切應(yīng)力15

1、5.3 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力5.3.1 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力一、矩形截面梁一、矩形截面梁圖示一矩形截面梁受任圖示一矩形截面梁受任意橫向載荷作用。意橫向載荷作用。q(x)F1F21用橫截面用橫截面m-m, n-n從梁中截從梁中截取取dx微段微段 。兩橫截面上均有。兩橫截面上均有剪力和彎矩。剪力和彎矩。dxxmmnn彎矩產(chǎn)生彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力正應(yīng)力, 剪力產(chǎn)生剪力產(chǎn)生切應(yīng)力切應(yīng)力。FSM+dMMFSnmmn假設(shè)：假設(shè)： 橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處各點(diǎn)處切應(yīng)力切應(yīng)力大小相等。大小相等。 各點(diǎn)的切應(yīng)力方向均與各點(diǎn)的切應(yīng)力方向均與截截面?zhèn)冗吰叫忻鎮(zhèn)冗吰叫?。對于狹長矩形

2、截面對于狹長矩形截面, 橫截面上側(cè)橫截面上側(cè)邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行行, 在對稱彎曲情況下在對稱彎曲情況下, 對稱軸對稱軸y處的切應(yīng)力必沿處的切應(yīng)力必沿y方向方向, 且且狹長狹長矩形截面上切應(yīng)力沿截面寬度矩形截面上切應(yīng)力沿截面寬度的變化不可能大的變化不可能大。ybzh/2yFS兩橫截面上的彎矩不等兩橫截面上的彎矩不等 。所以兩截面上。所以兩截面上到中性軸距離相等的點(diǎn)到中性軸距離相等的點(diǎn)(用用y表示表示)的正應(yīng)的正應(yīng)力也不等。力也不等。zM yI正應(yīng)力正應(yīng)力( ( ) )分布圖分布圖nmmnyFSM+dMMFSnmmnmnnmohbdxyzmmyABA1B1n2假想

3、地從梁微段上假想地從梁微段上截出體積元素截出體積元素 mB1 xyzxomnmABA1B13 體積元素體積元素mB1在兩端在兩端面面 mA1, nB1上兩個上兩個法向內(nèi)力不等。法向內(nèi)力不等。F *N1F *N2yzxomnmABA1B1F *N1F *N2*1N11ddAAzMyFAAI*N221(d)ddAAzMMFAyAI式中式中 為面積為面積A*(圖圖b)對中性軸對中性軸z的靜的靜矩；矩； A*為橫截面上距中性軸為橫截面上距中性軸z為為y的橫線的橫線AA1以以下部分的面積。下部分的面積。*d1*AzAyS*1dAzMyAI*1ddAzMMyAI*zzMSI*dzzMMSI4在縱截面在縱截

4、面AB1上必有上必有沿沿x方向的切應(yīng)力方向的切應(yīng)力t t ,產(chǎn)生dFS。mnnmohbdxyzmmyABA1B1nxyzxomnmABA1B1F *N1F *N2t0 xF*N1*N2SdFFF*SddzzSIMF 即ddsFbxtbISFbISxMzzzz*S*ddt得*N1zzMFSI*N2dzzMMFSIyzxomnmABA1B1F *N1F *N2dFS由t在在AB1面上有切應(yīng)力面上有切應(yīng)力t t。根椐切應(yīng)力互等定理根椐切應(yīng)力互等定理, 在橫截面上在橫截面上也應(yīng)有也應(yīng)有切切應(yīng)力應(yīng)力t t。mnnmohbdxyzmmnxyzxomnmABA1B1F *N1F *N2dFSyABA1B1t

5、 tt tt tt t5橫截面上距中性軸為橫截面上距中性軸為y的任意點(diǎn)的任意點(diǎn), 其切應(yīng)力其切應(yīng)力t t 的計算公式的計算公式:*SzzFSbItmnnmohbdxyzmmyABA1B1nx5.3.1 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力*SzzFSbItIz 整個橫截面對中性軸的慣性矩整個橫截面對中性軸的慣性矩b 所求點(diǎn)矩形截面的寬度所求點(diǎn)矩形截面的寬度Sz* 過求切應(yīng)力的點(diǎn)作與中過求切應(yīng)力的點(diǎn)作與中性軸平行的直線性軸平行的直線, 該橫線以下部該橫線以下部分面積對中性軸的靜矩分面積對中性軸的靜矩t t 其方向與剪切力其方向與剪切力FS的方向一致的方向一致byzA*h/2對于矩形截面梁，對于矩

6、形截面梁，橫截面上的橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力t t 沿截面高度的變化情沿截面高度的變化情況由部分面積的靜矩況由部分面積的靜矩Sz*與坐標(biāo)與坐標(biāo)y之間的關(guān)系反映。之間的關(guān)系反映。*1dzCASy AAy()()/222hhbyy22S()24zFhyItybzA*h/2SF22S()24zFhyIt切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。當(dāng)當(dāng)y0時時, 即在中性軸上各點(diǎn)處即在中性軸上各點(diǎn)處, 切應(yīng)力達(dá)到切應(yīng)力達(dá)到最大值。最大值。當(dāng)當(dāng)yh/2時時, 即即在橫截面上距中在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處性軸最遠(yuǎn)處, 切應(yīng)切應(yīng)力力t t0。SF22S()24zFhyIt22SSSmax

7、3382812zFFFhhbhIbhtSmax32FAtAbh是矩形截面的面積。是矩形截面的面積。5.3.1 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力二、工字形截面梁橫截面上的切應(yīng)力二、工字形截面梁橫截面上的切應(yīng)力*SzzFSI dt假設(shè)腹板上求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離為假設(shè)腹板上求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離為y Sz* 距中性軸為距中性軸為y的橫的橫線以下部分截面的面積線以下部分截面的面積對中性軸的靜矩。對中性軸的靜矩。d 腹板的厚度腹板的厚度2222*00()()824zhbdhhyS2222S00()()824zFhbdhhyI dtzyOt tmaxt tmaxt tmin腹板上的切應(yīng)力沿腹板腹

8、板上的切應(yīng)力沿腹板高度按二次拋物線規(guī)律高度按二次拋物線規(guī)律變化。變化。2222S00()()824zFhbdhhyI dtzyOt tmaxt tmaxt tmin腹板上腹板上最大切應(yīng)力也在中性最大切應(yīng)力也在中性軸上。這也是整個橫截面上軸上。這也是整個橫截面上的最大切應(yīng)力。的最大切應(yīng)力。22S0max()88zFhbhbdI dt22Smin0()8zFbhhI dt腹板上腹板上最小切應(yīng)力發(fā)生在最小切應(yīng)力發(fā)生在腹腹板和翼緣的交點(diǎn)處板和翼緣的交點(diǎn)處。 t tmax與與t tmin實(shí)際上相差不大實(shí)際上相差不大, 所以所以, 可以可以認(rèn)為在腹板上切應(yīng)力大致是均勻分布的。認(rèn)為在腹板上切應(yīng)力大致是均勻分

9、布的。橫截面上的剪力橫截面上的剪力FS的絕大部分（的絕大部分（9095）為腹板所負(fù)擔(dān)。為腹板所負(fù)擔(dān)。5.3.1 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力S0Fdht 這樣這樣, 就可用腹板的就可用腹板的截面面積除剪力截面面積除剪力FS, 近似近似地得出腹板內(nèi)的切應(yīng)力。地得出腹板內(nèi)的切應(yīng)力。補(bǔ)充補(bǔ)充: 翼緣上的切應(yīng)力翼緣上的切應(yīng)力 翼緣橫截面上平行翼緣橫截面上平行于剪力于剪力FS的切應(yīng)力在其的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零上、下邊緣處為零(因?yàn)橐驗(yàn)橐砭壍纳?、下表面無切翼緣的上、下表面無切應(yīng)力應(yīng)力)，可見翼緣橫截面，可見翼緣橫截面上其它各處上其它各處平行于平行于FS的的切應(yīng)力不可能很大，故切應(yīng)力不可能很大

10、，故可不予考慮可不予考慮。 但是，如果從長為但是，如果從長為dx的的梁微段中用鉛垂的縱截面在梁微段中用鉛垂的縱截面在翼緣上截取如圖所示包含翼翼緣上截取如圖所示包含翼緣自由邊在內(nèi)的分離體就會緣自由邊在內(nèi)的分離體就會發(fā)現(xiàn)，鉛垂的縱截面上必有發(fā)現(xiàn)，鉛垂的縱截面上必有由切應(yīng)力由切應(yīng)力t t1構(gòu)成的合力。構(gòu)成的合力。*N1*N2SdFFFhdxA*自由邊1t1t*1NF*2NF根據(jù)根據(jù) 可得出可得出xFdd1St 從而由切應(yīng)力互等定理可從而由切應(yīng)力互等定理可知，翼緣橫截面上距自由邊為知，翼緣橫截面上距自由邊為h h 處有處有水平切應(yīng)力水平切應(yīng)力t t1，而且它，而且它是隨是隨h h 按線性規(guī)律變化的。按

11、線性規(guī)律變化的。hhthIFhIFISFzzzz2 22SS*S1hdxA*自由邊1t1t*1NF*2NF5.3.1 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力*三、圓截面梁三、圓截面梁*3SSSmax4/124(/64)3zzF SF dFI bddAt 對于圓截面梁對于圓截面梁, 由由切應(yīng)力互等定理可知切應(yīng)力互等定理可知, 在截面邊緣上各點(diǎn)處切在截面邊緣上各點(diǎn)處切應(yīng)力應(yīng)力t t的方向必與圓周的方向必與圓周相切。中性軸上各點(diǎn)處相切。中性軸上各點(diǎn)處切應(yīng)力最大。切應(yīng)力最大。SF*4. 薄壁圓環(huán)形截面梁薄壁圓環(huán)形截面梁 對于薄壁環(huán)形截面梁，對于薄壁環(huán)形截面梁，環(huán)壁厚度為環(huán)壁厚度為 ，環(huán)的平均半，環(huán)的平均

12、半徑為徑為r0，由于由于 r0 故可假設(shè)：故可假設(shè)：（a）橫截面上切應(yīng)力的大）橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化；小沿壁厚無變化；（b）切應(yīng)力的方向與圓周相切。）切應(yīng)力的方向與圓周相切。式中式中 A=2 r0 橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上，其值為橫截面上最大的切應(yīng)力發(fā)生中性軸上，其值為AFSmax2 t tzyr0SF5.3.2 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁除滿足正應(yīng)力強(qiáng)度外梁除滿足正應(yīng)力強(qiáng)度外, 還需滿足切還需滿足切應(yīng)力強(qiáng)度。應(yīng)力強(qiáng)度。 等直梁的最大切應(yīng)力一般在最大剪力等直梁的最大切應(yīng)力一般在最大剪力所在橫截面的中性軸上各點(diǎn)處所在橫截面的中性軸上各點(diǎn)處, 這些點(diǎn)的這些點(diǎn)的正應(yīng)力

13、正應(yīng)力 = 0, 略去縱截面上的擠壓應(yīng)力后略去縱截面上的擠壓應(yīng)力后, 最大切應(yīng)力所在的各點(diǎn)均可看作是處于最大切應(yīng)力所在的各點(diǎn)均可看作是處于純純剪切應(yīng)力狀態(tài)剪切應(yīng)力狀態(tài)。仿照純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件公式仿照純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件公式, 即即梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為式中式中: t t 為材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力。為材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力。max tt*Smaxmax zzFSI bt特殊情況特殊情況：在選擇梁的截面時：在選擇梁的截面時, 通常先按正應(yīng)通常先按正應(yīng)力 選 出 截 面力 選 出 截 面 , 再 按 切 應(yīng) 力 進(jìn) 行 強(qiáng) 度 校再 按 切 應(yīng) 力 進(jìn) 行

14、 強(qiáng) 度 校核！核！5.3.2 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況三、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況u梁的跨度較短，梁的跨度較短，M 較小，而較小，而FS較大時，要較大時，要校核切應(yīng)力；校核切應(yīng)力；u鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核切高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核切應(yīng)力；應(yīng)力；u膠合縫的抗剪能力較差，膠合縫的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。要校核切應(yīng)力。P例例1 一一吊車梁吊車梁設(shè)備如圖設(shè)備如圖所示。起重量所示。起重量(包含電包含電葫蘆自重葫蘆自重)P = 30 kN?？玳L跨長l5 m。吊

15、車大梁。吊車大梁AB由由20a工字鋼制成。工字鋼制成。其許用彎曲正應(yīng)力其許用彎曲正應(yīng)力 170 MPa, 許用彎曲許用彎曲切應(yīng)力切應(yīng)力t t 100 MPa , 試校核梁的強(qiáng)度。試校核梁的強(qiáng)度。解解:吊車梁可簡化為簡支梁。吊車梁可簡化為簡支梁。 5 mABPx由型鋼表查得由型鋼表查得20a工字鋼的工字鋼的所以梁的最大正應(yīng)力為所以梁的最大正應(yīng)力為3237 cmzW 3maxmax637.5 10237 10158 MPazMW 170 MPa, t t100 MPa所以梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度足夠。所以梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度足夠。因載荷是移動的因載荷是移動的, 力力P在在何處時彎矩最大何處時彎矩最大?一一

16、 正應(yīng)力強(qiáng)度校核正應(yīng)力強(qiáng)度校核PM圖圖37.5 kNm中點(diǎn)中點(diǎn)5 mABPx二二 切應(yīng)力強(qiáng)度校核切應(yīng)力強(qiáng)度校核在計算最大切應(yīng)力時在計算最大切應(yīng)力時, 何時最何時最危險？危險？P5 mABPFS圖圖FS maxFBFA查型鋼表中查型鋼表中20a號工字號工字鋼鋼, 有有d = 7 mmSmax30 kNAFFP*max17.2 cmzzIS 170 MPa, t t100 MPa載荷載荷P在緊靠任一支座在緊靠任一支座, 例如例如支座支座A處處, 因?yàn)榇藭r該支座的因?yàn)榇藭r該支座的支反力最大支反力最大, 而梁的剪力也就而梁的剪力也就最大。最大。以上兩方面的強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁是安全的。以上兩方面的

17、強(qiáng)度條件都滿足，所以此梁是安全的。據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度據(jù)此校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度P5 mABPFS圖圖FS maxFBFA*SmaxmaxSmaxmax*maxzzzzFSFI dIdSt32330 1017.2 107 10 624.9 10 Pa24.9 MPa t 170 MPa, t t100 MPa所以梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度足夠。所以梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度足夠。例例2 懸臂梁由三塊木板粘接而成，懸臂梁由三塊木板粘接而成，l=1 m。膠合面的許可切應(yīng)力為膠合面的許可切應(yīng)力為0.34 MPa，木材，木材的的 10 MPa, t t =1 MPa，求許可載荷。，求許可載荷。Fl100505050z許

18、可切應(yīng)力為許可切應(yīng)力為0.34 MPa，木材的，木材的 10 MPa, t t =1 MPa 21maxmax6bhlFWMz2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計算許按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計算許可載荷可載荷 SF FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF Fl100505050z解：解：1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖SF FM Fl maxS23232F /AF /bhtttt3.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計算許按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計算許可載荷可載荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhFt tFl100505050z 10 MPa, t t =1

19、MPa gZZSbhFbbhhbFbISFt tt t 341233323*g4.按膠合面強(qiáng)度條件計算許可載荷按膠合面強(qiáng)度條件計算許可載荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhFt t5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzSF F習(xí)題分析 5-22例例4 一簡支梁受四個集中載荷一簡支梁受四個集中載荷F1120 kN, F230 kN, F340 kN, F412 kN。此梁由兩根槽。此梁由兩根槽鋼組成鋼組成, 已知梁的許用應(yīng)力已知梁的許用應(yīng)力 170 MPa

20、, t t 100 MPa。試選擇槽鋼型號。試選擇槽鋼型號。zyOBA400F1F4F2F3400700300600解解: : 支座反力為支座反力為FA = 138 kN, FB = 64 kN FAFBBA400F1F4F2F340070030060013818125264FAFB作剪力和彎矩圖作剪力和彎矩圖FS max = 138 kNMmax = 62.4 kNmFS圖圖62.455.25438.4M圖圖由正應(yīng)力強(qiáng)度條由正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號件選擇槽鋼型號此梁所需要的抗此梁所需要的抗彎截面系數(shù)為彎截面系數(shù)為3max66362.4 10 170 10367 10mZMWF1120 kN

21、, F230 kN, F340 kN, F412 kNFA = 138 kN, FB = 64 kN 每一槽鋼所需要的抗彎截面系數(shù)為每一槽鋼所需要的抗彎截面系數(shù)為從型鋼表中選用從型鋼表中選用20a號槽鋼號槽鋼, 其抗彎截面系數(shù)為其抗彎截面系數(shù)為小于所需小于所需Wz。但當(dāng)此梁選用兩根。但當(dāng)此梁選用兩根20a號槽鋼時號槽鋼時, 梁的最大正應(yīng)力為梁的最大正應(yīng)力為6633367 10183.5 10m183.5cm2ZW3178cmZW 超過許用正應(yīng)力約超過許用正應(yīng)力約3% , 在工程上是允許的。在工程上是允許的。 6max662400175 10 Pa170MPa2 178 10zyOMmax =

22、62.4 kNm校核最大切應(yīng)力校核最大切應(yīng)力Smax138 kNF*max373 100 50100 11100 11 737104000 mm2z查得查得20a號槽鋼的號槽鋼的Iz=1780 cm4。 每一根槽鋼分擔(dān)的最大剪力為每一根槽鋼分擔(dān)的最大剪力為3Smax/2138000/269 10 NF *44Smaxmaxmax56.9 101.04 101.78 100.00757.6 MPa100 MPazzFSI dtt所以所以20a號槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。號槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。 170 MPa, t t 100 MPa例例5 對于圖中的吊車大對于圖中的吊車大梁，現(xiàn)因移動載荷梁，現(xiàn)因移動載荷F增增加到加到50 kN，故在，故在20a號號工字鋼梁的中段用兩塊工字鋼梁的中段用兩塊橫截面為橫截面為120 mm 10 mm而長度而長度2.2 m的鋼板的鋼板加強(qiáng)，橫截面尺寸如圖加強(qiáng)，橫截面尺寸如圖所示。已知許用彎曲正所示。已知許用彎曲正應(yīng)力應(yīng)力 152 MPa, 許許用切應(yīng)力用切應(yīng)力t t95 MPa。試校核此梁的強(qiáng)度。試校核此梁的強(qiáng)度。200z220120102.2mF解：加強(qiáng)后的梁是階解：加強(qiáng)后的梁是階梯狀變截面梁。所以梯狀變截面梁。所以要校核要校核F移至未加強(qiáng)的梁段在截移至未加強(qiáng)的梁段在截面突變處的正應(yīng)力面突變處的正應(yīng)力F靠近支座時靠