2009年高考江蘇數(shù)學(xué)試題含答案

1、絕密啟用前 2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷） 數(shù)學(xué)試題注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）。本卷滿分160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本卷和答題卡一并交回。2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與您本人是否相符。4.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照晤順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效。作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆。請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚

2、。5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。6.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。參考公式： 樣本數(shù)據(jù)的方差 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上. 1.若復(fù)數(shù)其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為 ?！窘馕觥靠疾閺?fù)數(shù)的減法、乘法運(yùn)算，以及實(shí)部的概念。 -202.已知向量和向量的夾角為，則向量和向量的數(shù)量積= ?！窘馕觥?考查數(shù)量積的運(yùn)算。 3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。，由得單調(diào)減區(qū)間為。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。4.函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的

3、圖象如圖所示，則= . 【解析】 考查三角函數(shù)的周期知識(shí)。 ，所以， 5.現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為 . 【解析】 考查等可能事件的概率知識(shí)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的可能的事件總數(shù)為10，它們的長度恰好相差0.3m的事件數(shù)為2，分別是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率為0.2。6.某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表： 學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班67787乙

4、班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為= . 【解析】 考查統(tǒng)計(jì)中的平均值與方差的運(yùn)算。甲班的方差較小，數(shù)據(jù)的平均值為7，故方差 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的 . 【解析】 考查讀懂算法的流程圖的能力。228.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)

5、P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 . 【解析】 考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計(jì)算能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，又點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，15）10.已知，函數(shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則、的大小關(guān)系為 . 【解析】考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，函數(shù)在R上遞減。由得：m<n11.已知集合，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 考查集合的子集的概念及利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)解不等式。 由得，；由知，所以4。12.設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： （1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行

6、于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號(hào) （寫出所有真命題的序號(hào)）. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號(hào)是(1)(2)13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 . 【解析】 考查橢圓的基本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的計(jì)算等。以及直線的方程。直線的方程為：；直線的方程為：。二者聯(lián)立

7、解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則在橢圓上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得：14設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= . 【解析】 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -9二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟. 15（本小題滿分14分） 設(shè)向量 （1）若與垂直，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求的最大值; （3）若，求證：. w.w.w.k.s.5.u.c.o

8、.m 【解析】 本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力。滿分14分。16（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。 求證：（1）EF平面ABC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）平面平面.【解析】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。17（本小題滿分14分） 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)

9、。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2) （方法一）=,設(shè)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。18（本小題滿分16分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直

10、線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：，即：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故有：，化簡得：關(guān)于的方程有無窮多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.

11、m 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。19.(本小題滿分16分) 按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為. 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=； (2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為

12、多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說明理由。 【解析】 本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力。滿分16分。(1) 當(dāng)時(shí)，, =（2）當(dāng)時(shí)，由，故當(dāng)即時(shí)，甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為。（3）（方法一）由（2）知：=由得：，令則，即：。同理，由得：另一方面，當(dāng)且僅當(dāng)，即=時(shí)，取等號(hào)。所以不能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立。20(本小題滿分16分) 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值； (3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算

13、步驟)不等式的解集.【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分（1）若，則（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上（3）時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，>0,得：討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為.數(shù)學(xué)（附加題）參考公式：21.選做題在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A.選修4 - 1：幾何證明選講如圖，在四邊形ABCD中，ABCBAD.求證：ABCD.【解析】 本小題主要考查四邊形、

14、全等三角形的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力。滿分10分。證明：由ABCBAD得ACB=BDA，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而CBA=CDB。再由ABCBAD得CAB=DBA。因此DBA=CDB，所以ABCD。B. 選修4 - 2：矩陣與變換求矩陣的逆矩陣.【解析】 本小題主要考查逆矩陣的求法，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為則即故解得：，從而A的逆矩陣為.C. 選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.求曲線C的普通方程。【解析】本小題主要考查參數(shù)方程和普通方程的基本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。解：因?yàn)樗怨是€C的普通方程為：.D. 選修4 - 5：不等式選講 設(shè)0,求證：.【解析】 本小題主要考查比較法證明不等式的常見方法，考查代數(shù)式的變形能力。滿分10分。證明：因?yàn)?,所以0，0，從而0，即.必做題第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22.（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（2，2），其焦點(diǎn)F在軸上。（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩