數(shù)字信號最佳接收

1、12n以二進(jìn)制為例研究接收電壓的統(tǒng)計特性。n假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，則有P(0) + P(1) = 1n若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。n設(shè)在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值：，則有k 2fHTs。1 數(shù)字信號的統(tǒng)計特性3n由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為式中，n 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差； n2 噪聲的方差，即噪聲平均

2、功率； i 1，2，k。n設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 222exp21)(nininnf),(21kknnnf4n由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為n當(dāng)k 很大時，在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為：或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdt

3、tnTs120221)(15n利用上式關(guān)系，并注意到 式中 n0 噪聲單邊功率譜密度則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為：式中 n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)噪聲的k個抽樣值。n需要注意，f(n)不是時間函數(shù)，雖然式中有時間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時間變量t無關(guān)。n是一個k維矢量，它可以看作是k 維空間中的一個點(diǎn)。 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n6n在碼元持續(xù)時間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼

4、元期間內(nèi)噪聲的能量：n由于噪聲的隨機(jī)性，每個碼元持續(xù)時間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會發(fā)生錯誤，而另一些則無錯。sTdttn02)(7n設(shè)接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t)則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中 r = s + n k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)接收電壓的k個抽 樣值； s k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)信號電壓的k個抽樣值。

5、dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r8n同理，當(dāng)發(fā)送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為n順便指出，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進(jìn)制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當(dāng)發(fā)送碼元是si時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為仍需記住，以上三式中的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時間t的函數(shù)，并且是一個標(biāo)量，而r 仍是k維空間中的一個點(diǎn)，是一個矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r9n“最佳”的準(zhǔn)則：錯誤概率最小n產(chǎn)生錯

6、誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。n判決規(guī)則設(shè)在一個二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于式中Pe1 = P(0/1) 發(fā)送“1”時，收到“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送“0”時，收到“1”的條件概率；上面這兩個條件概率稱為錯誤轉(zhuǎn)移概率。01)0() 1 (eeePPPPP2 數(shù)字信號的最佳接收10按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續(xù)時間內(nèi)的電壓可以用一個k 維矢量表示。接收設(shè)備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是“1”。由接收矢量決定的兩個

7、聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把r 當(dāng)作1維矢量畫出。）：可以將此空間劃分為兩個區(qū)域A0和A1，其邊界是r0 ，并將判決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”；若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)11顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個區(qū)域的邊界r0 確定后，錯誤概率也隨之確定了。這樣，總誤碼率可以寫為式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1”時，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0”時， 矢量r落在區(qū)域A1的條件概率這兩個條件概率

8、可以寫為：這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r12將上兩式代入得到參考上圖可知，上式可以寫為上式表示Pe是r0的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點(diǎn)r0，將上式對r0求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出最佳分界點(diǎn)r0的條件：)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfP

9、Pr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP13即當(dāng)先驗(yàn)概率相等時，即P(1) = P(0)時，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交點(diǎn)處的r 值上。在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區(qū)域A0應(yīng)判為收到的是“0”的判決準(zhǔn)則，這時有：若 則判為“0” ；反之，若則判為“1” 。在發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗(yàn)概率相等時，上兩式的條件簡化為：0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0(

10、) 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，則判為“0” 若f0(r) f1(r)，則判為“1”14這個判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。按照這個準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。p以上對于二進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則的分析，可以推廣到多進(jìn)制信號的場合。設(shè)在一個M 進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗(yàn)概率相等，能量相等。當(dāng)發(fā)送碼元是si時，接收電壓的k 維聯(lián)合概

11、率密度函數(shù)為于是，若 則判為si(t)，其中，dttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 115n確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預(yù)知的信號。n判決準(zhǔn)則當(dāng)發(fā)送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為當(dāng)發(fā)送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡化，得到：dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r 3 確知數(shù)字信號的最佳接收機(jī)16若則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若 則判為

12、發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數(shù)，得到若則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于已經(jīng)假設(shè)兩個碼元的能量相同，即所以上式還可以進(jìn)一步簡化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()(17若式中則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)

13、。W0和W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子。n最佳接收機(jī)u按照上式畫出的最佳接收機(jī)原理方框圖如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 18W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(19r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t = Ts若此二進(jìn)制信號的先驗(yàn)概率相等，則上式簡化為最佳接收機(jī)的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011

14、)()()()(20由上述討論不難推出M 進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) u上面的最佳接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。u由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器21n總誤碼率在最佳接收機(jī)中，若則判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為s1(t)時，若上式成立，則將發(fā)生錯誤判決。所以若將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率P(0 / 1)。此條件概率的計算結(jié)果如下 ssTTdttstrP

15、ndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(4 4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率22式中同理，可以求出發(fā)送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率式中axdxeaPP22221)() 1/0(sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)(bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln223因此，總誤碼率為n先驗(yàn)概率對誤碼率的影響當(dāng)先驗(yàn)概率P(0) = 0及

16、P(1) = 1時，a = - 及b = ，因此由上式計算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222dxePdxePPPPPPbxaxe24u當(dāng)先驗(yàn)概率相等時：P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，上式可以化簡為式中上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也

17、越小。 u當(dāng)先驗(yàn)概率不等時：由計算表明，先驗(yàn)概率不等時的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(2125n先驗(yàn)概率相等時誤碼率的計算在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區(qū)別?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個參量，即碼元的相關(guān)系數(shù) ，其定義如下：式中E0、E1為信號碼元的能量。當(dāng)s0(t) = s1(t)時，1，為最大值；當(dāng)s0(t) = -s1(t)時，1，為最小值。所以 的取值范圍在-1 +1。 10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdt

18、tstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(26當(dāng)兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成并且將上式代入誤碼率公式，得到為了將上式變成實(shí)用的形式，作如下的代數(shù)變換：令則有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1(22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz 27于是上式變?yōu)槭街?利用下式中2和n0關(guān)系代入上式，得到誤碼率最終表示式：2)1 (121221112212/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerf

19、dzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe28式中 誤差函數(shù) 補(bǔ)誤差函數(shù) Eb 碼元能量； 碼元相關(guān)系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實(shí)際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc29n誤碼率曲線dB30n

20、最佳接收性能特點(diǎn)u誤碼率僅和Eb / n0以及相關(guān)系數(shù)有關(guān)，與信號波形及噪聲功率無直接關(guān)系。 u碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實(shí)際上相當(dāng)于信號噪聲功率比Ps/Pn。因?yàn)槿粝到y(tǒng)帶寬B等于1/Ts，則有按照能消除碼間串?dāng)_的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對于已調(diào)信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當(dāng)作信號噪聲功率比看待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (31u相關(guān)系數(shù) 對于誤碼率的影響很大。當(dāng)兩種碼元的波形相同，相關(guān)系數(shù)最大，

21、即 = 1時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe = 1/2。因?yàn)檫@時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當(dāng)兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即 = -1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于 例如，2PSK信號的相關(guān)系數(shù)就等于 -1。u當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) 等于0時，誤碼率等于u例如，2FSK信號的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe32u若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則誤碼率為u比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FS

22、K信號的性能又比2PSK信號的性能差3dB。sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe33n多進(jìn)制通信系統(tǒng)u若不同碼元的信號正交，且先驗(yàn)概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結(jié)果如下：式中，M 進(jìn)制數(shù)； E M 進(jìn)制碼元能量； n0 單邊噪聲功率譜密度。由于一個M 進(jìn)制碼元中含有的比特數(shù)k 等于log2M，故每個比特的能量等于并且每比特的信噪比為下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200log34u誤碼率曲線由此曲線看出，對于給定的誤碼率，當(dāng)k增大時，需要

23、的信噪比Eb/n0減小。當(dāng)k 增大到時，誤碼率曲線變成一條垂直線；這時只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n035n假設(shè)：u 2FSK信號的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)；u通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；u接收信號碼元相位的概率密度服從均勻分布。n因此，可以將此信號表示為：及將此信號隨機(jī)相位的概率密度表示為：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他處, 020,2/1)(00f其他處, 020,2/1)(11f5 隨相數(shù)字信號的最佳接收36n判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有在討論確知信號的最佳接收時，對

24、于先驗(yàn)概率相等的信號，按照下式條件作判決：若接收矢量r使f1(r) f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”，若接收矢量r使f0(r) f1(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為：上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r37 若接收矢量r 使M12 M02，則判為發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r 使M02 M12，則判為發(fā)送碼元是“1”。上面就是最終判決條件，

25、其中：按照上面判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)示于下圖中。 ,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(38n最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)相關(guān)器平 方cos0t相 加相關(guān)器平 方sin0t相關(guān)器平 方cos1t相 加相關(guān)器平 方sin1t比 較r(t)Y0X1Y1X039n誤碼率：隨相信號最佳接收機(jī)的誤碼率，用類似10.4節(jié)的分析方法，可以計算出來，結(jié)果如下：n最后指出，上述最佳接收機(jī)及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相干接收機(jī)和誤碼率。因?yàn)殡S相信號的相位帶有由信道引入的隨機(jī)變化

26、，所以在接收端不可能采用相干接收方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號。對于隨相信號而言，非相干接收已經(jīng)是最佳的接收方法了。)2/exp(210nEPbe40n仍以2FSK信號為例簡要地討論其最佳接收問題。n假設(shè)：u通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；u信號是互不相關(guān)的等能量、等先驗(yàn)概率的2FSK信號。u2FSK信號的表示式式中，A0和A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii6 起伏數(shù)字信號的最佳接收41式中，s2為信號的功率；而

27、且0和1的概率密度服從均勻分布：此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關(guān)系為2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii2 , 1,20,2/1)(ifii222siAE42n接收矢量的概率密度:u由于接收矢量不但具有隨機(jī)相位，還具有隨機(jī)起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 20000000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r43經(jīng)過繁復(fù)的計算，上兩式的計算結(jié)果如下：式中n0 噪聲功率譜密度； n2 噪聲功率

28、。knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r44n誤碼率：實(shí)質(zhì)上，和隨相信號最佳接收時一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)和隨相信號最佳接收機(jī)的一樣。但是，這時的最佳誤碼率則不同于隨相信號的誤碼率。這時的誤碼率等于 式中， 接收碼元的統(tǒng)計平均能量。)/(210nEPeE45n誤碼率曲線由此圖看出，在有衰落時，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。當(dāng)誤碼率等于10-2時，衰落使性能下降約10 dB；當(dāng)誤

29、碼率等于10-3時，下降約20 dB。46相干2ASK信號非相干2ASK信號相干2FSK信號非相干2FSK信號相干2PSK信號差分相干2DPSK信號同步檢測2DPSK信號4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實(shí)際接收機(jī)的Pe最佳接收機(jī)的Pe7 實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較47n什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸

30、出信號噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。n假設(shè)條件：u接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時間為Ts，信號和噪聲之和r(t)為式中，s(t) 信號碼元， n(t) 高斯白噪聲；sTttntstr0),()()(8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法48u并設(shè)信號碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。 n輸出電壓u假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t

31、)兩部分，即式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(49n輸出噪聲功率由這時的輸出噪聲功率No等于n輸出信噪比在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為)()()()()(*)(2fPfHfPfHfHfPRRYdffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(050n匹配濾波器的傳輸特性：利用施瓦茲不等式求 r0的最大值若其中k為任意常數(shù)，則上式的等號成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令則有式中 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21x

32、kfxf0221)()(),()(ftjefSxffHxf0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdffSE2)(51而且當(dāng)時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。 02)(*)(ftjefkSfH52n匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)：由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時間軸上（向右）平移了t0。 )()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdtts

33、kdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj53000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)n圖解 54n實(shí)際的匹配濾波器一個實(shí)際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有：即要求滿足條件或滿足條件上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為0, 0)(tth當(dāng)0, 0)(0ttts當(dāng)0,

34、 0)(ttts當(dāng))()(tTksths55這時，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為：上式表明，匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個任意常數(shù)，它與r0的最大值無關(guān)；通常取k 1。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts56n【例10.1】設(shè)接收信號碼元s(t)的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形?！窘狻可鲜剿镜男盘柌ㄐ问且粋€矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為由令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為由令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為tTttss其他, 00, 1

35、)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()(tTss(t)102)(*)(ftjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)()()(0ttksthssTttTsth0),()(57此沖激響應(yīng)示于下圖。表面上看來，h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實(shí)際上，h(t)的形狀是s(t)的波形以t = Ts / 2為軸線反轉(zhuǎn)而來。由于s(t)的波形對稱于t = Ts / 2，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變。由式可以求出此匹配濾波器的輸出信號波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(t)58由其傳輸函數(shù)可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：

36、因?yàn)樯鲜街械?1/j2f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2fTs)是延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。 ssfTjfTjeefjfH22121)(延遲Ts理想積分器59n【例10.2】 設(shè)信號的表示式為試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形?！窘狻可鲜浇o出的信號波形是一段余弦振蕩，如右圖所示：其頻譜為tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftjTs60因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為上式中已令t0 = Ts。此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為：為了便于畫出波

37、形簡圖，令式中，n = 正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為h(t)的曲線示于下圖： )(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(00/ fnTssTttfth0,2cos)(061這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出：由于現(xiàn)在s(t)和h(t)在區(qū)間(0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計算：顯然，當(dāng)t 2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 (b) 沖激響應(yīng)Tsdthstso)()()(ssss

38、TtTtTTtt2,2,0, 062當(dāng)0 t d)是噪聲抽樣值大于d 的概率?，F(xiàn)在來計算上式中的P(| |d) 。設(shè)接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，則有dPMPe11dffHndffGnR22/10202)(2)(279上式中的積分值是一個實(shí)常數(shù)，我們假設(shè)其等于1，即假設(shè)故有這樣假設(shè)并不影響對誤碼率性能的分析。由于接收濾波器是一個線性濾波器，故其輸出噪聲的統(tǒng)計特性仍服從高斯分布。因此輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)等于對上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超過d 的概率：dffHndffGnR22/10202)(2)(21)(22/1dffH202n222exp21)(f80上式中已作了如下變量代換：將上式代入誤碼率公式，得到 2exp22exp2122/222derfcdzzd