數(shù)值分析復(fù)習(xí)題

1、數(shù)值分析復(fù)習(xí)題復(fù)習(xí)題 1/16Ex1Ex1.證明方程證明方程 1 x sin x = 0 在區(qū)間在區(qū)間0，1上有一上有一根根。使用二分法求誤差不大于使用二分法求誤差不大于0.510-4的根需二分的根需二分多少次？多少次？ Ex2. .設(shè)設(shè)x* 是非線性方程是非線性方程 f(x) = 0 的單根的單根，證明在牛證明在牛頓迭代法中，有頓迭代法中，有 )(2)()(lim*2*1xfxfxxxxnnn Ex3.設(shè)設(shè)a為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)，試建立求試建立求( (1/a)的牛頓迭代公式的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法運(yùn)算，并考慮迭代公式要求在迭代公式中不含有除法運(yùn)算，并考慮迭代公式產(chǎn)生的數(shù)列產(chǎn)生的

2、數(shù)列 xn 的收斂性的收斂性 .Ex4. 分析下列方程分析下列方程，確定方程的全部隔根區(qū)間確定方程的全部隔根區(qū)間（1）x sin x = 1；（；（2）sin x e -x =0；（3）x = tan x；（；（4）x2 e-x =0。 Ex5. 對(duì)于二元方程對(duì)于二元方程G(x，y)=0，已知已知（x0，y0）滿滿足方程。如果，則根據(jù)隱函數(shù)存在定理足方程。如果，則根據(jù)隱函數(shù)存在定理，在點(diǎn)在點(diǎn)x0附附近有函數(shù)近有函數(shù)y =y(x)，對(duì)于接近于對(duì)于接近于x0的自變量的自變量x，試構(gòu)造試構(gòu)造牛頓迭代法計(jì)算隱函數(shù)值的迭代格式。牛頓迭代法計(jì)算隱函數(shù)值的迭代格式。 Ex6.6.設(shè)割線法迭代數(shù)列設(shè)割線法迭代

3、數(shù)列 xn 收斂到非線性方程收斂到非線性方程 f(x) = 0 的單根的單根x*。利用牛頓插值公式計(jì)算利用牛頓插值公式計(jì)算)()(lim*1*1xxxxxxnnnn 2/16Ex6.證明對(duì)任意的證明對(duì)任意的x00, 由迭代格式由迭代格式 ( n = 0, 1, )產(chǎn)生的迭代序列產(chǎn)生的迭代序列 xn, 均收斂于均收斂于 - 。nnnxxx121 2Ex7. .設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 xn 具有一階收斂速度具有一階收斂速度, ,其極限值為其極限值為x*，試?yán)媒脐P(guān)系試?yán)媒脐P(guān)系 *121xxxxxxxxnnnn 推導(dǎo)加速收斂公式推導(dǎo)加速收斂公式nnnnnnxxxxxxx 1221222)(*3/16Ex

4、8. .對(duì)于復(fù)變量對(duì)于復(fù)變量 z = x + i y 的復(fù)值函數(shù)的復(fù)值函數(shù) f(z)，應(yīng)用牛應(yīng)用牛頓迭代公式求方程頓迭代公式求方程f(z) = 0 的復(fù)根時(shí)的復(fù)根時(shí)，有迭代公式有迭代公式 )()(1nnnnzfzfzz 為了避開(kāi)復(fù)數(shù)運(yùn)算為了避開(kāi)復(fù)數(shù)運(yùn)算, ,令令 zn = xn + i yn, f(zn) = An+ iBn，f(zn) = Cn+iDn 試證明用于計(jì)算的公式試證明用于計(jì)算的公式 221DCDBCAxxnnnnnn 221DCCBDAyynnnnnn 4/16)()()()(111nnnnnnnxfxfxfxxxx Ex9.確定求解方程確定求解方程 f(x) = 0 的割線法計(jì)

5、算公式的割線法計(jì)算公式(n = 0, 1, 2 , ) Ex10.證明矩陣證明矩陣A的譜半徑與的譜半徑與A的范數(shù)有如下關(guān)系的范數(shù)有如下關(guān)系(A) | A |其中其中，| A |為為A的任何一種算子范數(shù)的任何一種算子范數(shù)。的收斂階的收斂階5/16 3231532223522121A 7554544354324321BEx 11. 對(duì)下列矩陣做對(duì)下列矩陣做LU分解分解 3332112121Ex 12 求上三角求上三角(下三角下三角)矩陣的條件數(shù)矩陣的條件數(shù) 10111221216/16Ex13. .對(duì)任意對(duì)任意x，yRn，利用向量范數(shù)的三角形不利用向量范數(shù)的三角形不等式證明等式證明： |yxyx

6、Ex14. .設(shè)設(shè) XR , ,X = (x1，x2，xn )T，求證求證 |)|(lim/11XxpnipipFFAAAn|12 Ex15.設(shè)設(shè)X是是n維向量維向量,A是是nn階矩陣階矩陣.求證求證: 7/16Ex17. .有方程組有方程組Ax = b, ,其中其中A為對(duì)稱正定陣為對(duì)稱正定陣, ,且有且有迭代公式迭代公式)()()()1(kAXbXXkk 討論使迭代序列收斂的討論使迭代序列收斂的 的取值范圍的取值范圍.Ex16. .對(duì)對(duì)n 階矩陣階矩陣A, ,設(shè)設(shè)A的順序主子式都不為零的順序主子式都不為零, ,試試證明消元過(guò)程中出現(xiàn)的證明消元過(guò)程中出現(xiàn)的Frobenius矩陣有如下性質(zhì)矩陣有

7、如下性質(zhì) TTememIFF22111211 8/16Ex18. .設(shè)有方程組設(shè)有方程組 Ax = b，其系數(shù)矩陣主對(duì)角元其系數(shù)矩陣主對(duì)角元 aii 0 ( i = 1，2，n )證明解方程組的證明解方程組的Jacobi迭代法收斂的充要條件是迭代法收斂的充要條件是 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa的根滿足的根滿足| | | | 1。 9/16Ex 19. 設(shè)設(shè)A是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣，將將A分裂為分裂為A = D L U。Gauss-Seidel迭代格式的向前和向后兩種形式分別為迭代格式的向前和向后兩種形式分別為x(k+1) = x(k) + (D L )-1(b A

8、x(k) )x(k+1) = x(k) + (D U )-1(b A x(k) )如果將向前和向后迭代格式交替進(jìn)行，則有如果將向前和向后迭代格式交替進(jìn)行，則有x(k+2) = x(k) + M-1(b A x(k) )試證明試證明：M-1= (D U)-1D(D L)-1。 Ex 20 設(shè)設(shè)h = 1/(n+1)，分析分析n階矩陣的階矩陣的Jacobi迭代矩迭代矩陣特征值陣特征值 22222112112112hhhhA10/16Ex21. . 求經(jīng)過(guò)求經(jīng)過(guò)A( (0，1) )，B( (1，2) )，C( (2，3) )三個(gè)樣三個(gè)樣點(diǎn)的插值多項(xiàng)式點(diǎn)的插值多項(xiàng)式 Ex 22. 已知函數(shù)已知函數(shù)y

9、= f(x)的數(shù)據(jù)如下表的數(shù)據(jù)如下表x 1 01y-101 y 0 確定三次插值多項(xiàng)式確定三次插值多項(xiàng)式P3(x)及其插值誤差及其插值誤差R(x)210)4(3)(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR Ex23.求證求證:兩點(diǎn)兩點(diǎn)Hermite插值的誤差插值的誤差11/16Ex24已知函數(shù)已知函數(shù)f(x) 在三個(gè)相異結(jié)點(diǎn)在三個(gè)相異結(jié)點(diǎn) x0，x1，x2，處處的函數(shù)值的函數(shù)值 y0，y1，y2，且函數(shù)在點(diǎn)且函數(shù)在點(diǎn)x1處的導(dǎo)數(shù)值為處的導(dǎo)數(shù)值為m1，推導(dǎo)三次插值多項(xiàng)式推導(dǎo)三次插值多項(xiàng)式P(x)及其插值余項(xiàng)及其插值余項(xiàng)R(x)的表達(dá)式的表達(dá)式12/16Ex 25. .已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下已知實(shí)驗(yàn)

10、數(shù)據(jù)如下： x 1 2 3 4 y 10 30 50 80求二次多項(xiàng)式擬合函數(shù)求二次多項(xiàng)式擬合函數(shù)P(x) = a + b x2 Ex 26 利用數(shù)據(jù)表利用數(shù)據(jù)表 t2 1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2求線性擬合函數(shù)求線性擬合函數(shù)P(t) = a0 + a1t 的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)a0。 Ex27.推導(dǎo)左矩形求積公式推導(dǎo)左矩形求積公式 2)(2)()()()(abfafabdxxfba Ex28. 求復(fù)合中矩形公式求復(fù)合中矩形公式的截?cái)嗾`差的截?cái)嗾`差 10)5 . 0()(njbahjafhdxxf13/16Ex29.取取h=(b a)/3，令令x0= a，xj= a + j

11、h （j =0，1，2，3）。）。利用兩點(diǎn)插值公式求下面開(kāi)型數(shù)值求積利用兩點(diǎn)插值公式求下面開(kāi)型數(shù)值求積公式的系數(shù)公式的系數(shù)A1、A2 )()()(2211xfAxfAdxxfba Ex30.給定積分給定積分當(dāng)要求誤差小于當(dāng)要求誤差小于10-3時(shí)用復(fù)合梯形公式計(jì)算時(shí)時(shí)用復(fù)合梯形公式計(jì)算時(shí), 需要需要計(jì)算多少次函數(shù)值？計(jì)算多少次函數(shù)值？ dxxex 31sinEx31. 驗(yàn)證驗(yàn)證，復(fù)合梯形公式與復(fù)合復(fù)合梯形公式與復(fù)合Simpson 公式之公式之間有如下關(guān)系間有如下關(guān)系43122mmmTTS Ex32.試推導(dǎo)數(shù)值微分公式試推導(dǎo)數(shù)值微分公式 )2()(8)(8)2(121)(00000hxfhxfhx

12、fhxfhxf 的截?cái)嗾`差的截?cái)嗾`差。 14/16Ex34.證明改進(jìn)的歐拉公式能精確地解微分方程證明改進(jìn)的歐拉公式能精確地解微分方程y=2a x試從歐拉公式的階與精確解的解析解來(lái)說(shuō)明試從歐拉公式的階與精確解的解析解來(lái)說(shuō)明15/16Ex33. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上具有五階連續(xù)導(dǎo)函上具有五階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)數(shù)。取取h=(b a)/n，令令x0= a，xj= a + jh。求證，下面求證，下面數(shù)值二階導(dǎo)數(shù)的差分格式具有數(shù)值二階導(dǎo)數(shù)的差分格式具有4 4階精度階精度 21111)()(2)()()(10)(121hxfxfxfxfxfxfjjjjjj Ex 35. Adamas公式求一階常微分方程公式求一階常微分方程，兩步顯格式兩步顯格式和隱格式和隱格式y(tǒng)n+2 = yn+1 + h3f(xn+1，yn+1) f(xn，yn)/2；yn+2=yn+1+h5f(xn+2, yn+2)+8f(xn+1, yn+1) f(xn, yn)/12Ex35.初值問(wèn)題有解初值問(wèn)題有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取若取 xn = nh，yn為歐拉方法得到的數(shù)值解，試證明為歐拉方法得到的數(shù)值解，試證明y(xn) yn = 0.