自動(dòng)控制-控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課件

1、一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件一、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式：傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式：(s)=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)nmC(s)=1sK0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)系統(tǒng)輸出拉系統(tǒng)輸出拉 氏變換：氏變換： 系統(tǒng)受外作系統(tǒng)受外作用力后用力后,其動(dòng)態(tài)過程的其動(dòng)態(tài)過程的振蕩傾向和系統(tǒng)恢復(fù)振蕩傾向和系統(tǒng)恢復(fù)平衡的能力。平衡的能力。r(t)t0c(t)穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定A0=ss-s1+A1Ans-sn+系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：c(t)=A0

2、+A1es1t+Anesnt 穩(wěn)定的系統(tǒng)其瞬態(tài)穩(wěn)定的系統(tǒng)其瞬態(tài) 分量應(yīng)均為零。分量應(yīng)均為零。 即：即： lim esit0t 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件： 系統(tǒng)所有特征根的實(shí)部小于零系統(tǒng)所有特征根的實(shí)部小于零,即特即特征方程的根位于征方程的根位于S左半平面。左半平面。二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)二、勞斯穩(wěn)定判據(jù) 根據(jù)穩(wěn)定的充分與必要條件根據(jù)穩(wěn)定的充分與必要條件,求得特求得特征方程的根征方程的根,就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.但對(duì)但對(duì)于高階系統(tǒng)求解方程的根比較困難。于高階系統(tǒng)求解方程的根比較困難。 勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各

3、項(xiàng)系數(shù)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù),按一定的規(guī)則排按一定的規(guī)則排列成勞斯表，根據(jù)表中第一列系數(shù)正負(fù)符列成勞斯表，根據(jù)表中第一列系數(shù)正負(fù)符號(hào)的變化情況來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。號(hào)的變化情況來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面具體介紹勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用。下面具體介紹勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用。 根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)排列成勞斯表：根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)排列成勞斯表：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為設(shè)系統(tǒng)的特征方程為a0sn +a1sn-1 + +an-1s+an=0 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b42 sn-3 s0 sn sn-1 sn-2 b31 b32 b33 b31= a1a2 -a0a3 a1 b41 b32= a1a4 -a

4、0a5 a1 b41= b31a3 -b32a1 b31 b42= b31a5 -b33a1 b31 b43 bn+1 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的條件： (1) 特征方程式各項(xiàng)特征方程式各項(xiàng) 系數(shù)都大于零。系數(shù)都大于零。 (2) 勞斯表中第一列勞斯表中第一列 元元 素均為正值。素均為正值。 第一列元素符號(hào)改變的次第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)等于不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。數(shù)等于不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。 例例 已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷該系統(tǒng)已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷該系統(tǒng) 的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。解：解： s4+2s3+3s2+4s+5=0勞斯表如下：勞斯表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32

5、 b41 b51 2 4 b31= 2*3 -1*4 2 =11 b32= 2*5 -1*0 2 = 55 b41= 1*4 -2*5 1 =-6-6 b51= -6*5 -1*0 -6 = 55有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。有兩個(gè)正實(shí)部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例例 系統(tǒng)如圖所示，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定放大倍系統(tǒng)如圖所示，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定放大倍數(shù)數(shù)K的取值范圍。的取值范圍。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解：解： 勞斯表勞斯表: 1 40 s3 s2 14 40K

6、s1 b31 b31= 14*40 -1*40K 14 s0 b41 40K 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件:0560-40K040K014K0 如果勞斯表中某行的第一個(gè)元素為零，如果勞斯表中某行的第一個(gè)元素為零，表示系統(tǒng)中有純虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示系統(tǒng)中有純虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面舉例說明下面舉例說明: 該行中其余各元素不等于零或沒有該行中其余各元素不等于零或沒有其他元素，將使得勞斯表無法排列。其他元素，將使得勞斯表無法排列。 此時(shí)，可用一個(gè)接近于零的很小的此時(shí)，可用一個(gè)接近于零的很小的正數(shù)正數(shù)來代替零，完成勞斯表的排列。來代替零，完成勞斯表的排列。例例 已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷系已知系統(tǒng)的特

7、征方程，試判斷系 統(tǒng)的穩(wěn)定性。統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯表為勞斯表為:系統(tǒng)有一對(duì)純虛根系統(tǒng)有一對(duì)純虛根 s3+2s2+s+2=0解：解： 1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 =0 s0 b41 2 通過因式分解驗(yàn)證通過因式分解驗(yàn)證:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=j b31= 2*1 -2*1 2 ( ) =2 b41= -2*0 2* 不穩(wěn)定不穩(wěn)定 例例 已知系統(tǒng)的特征方程已知系統(tǒng)的特征方程,試用勞斯判據(jù)確定試用勞斯判據(jù)確定 方程的根在方程的根在s平面上的分布。平面上的分布。解：解：s3-3s+2=0方程中的系數(shù)有負(fù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。方程中的系數(shù)有負(fù)值，系統(tǒng)不

8、穩(wěn)定。勞斯表為勞斯表為: 1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31= s0 b41 2 通過因式分解驗(yàn)證通過因式分解驗(yàn)證:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2- -2-30 b31 - = - 第一列元素的符號(hào)變化了第一列元素的符號(hào)變化了 兩次兩次,有一對(duì)不穩(wěn)定根。有一對(duì)不穩(wěn)定根。 如果勞斯表中某一行的元素全為零，如果勞斯表中某一行的元素全為零，表示系統(tǒng)中含有不穩(wěn)定的實(shí)根或復(fù)數(shù)根。表示系統(tǒng)中含有不穩(wěn)定的實(shí)根或復(fù)數(shù)根。系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面舉例說明下面舉例說明: 此時(shí)，應(yīng)以上一行的元素為系數(shù)，構(gòu)此時(shí)，應(yīng)以上一行的元素為系數(shù)，構(gòu)成一輔助多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式對(duì)

9、成一輔助多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式對(duì)s求導(dǎo)后，求導(dǎo)后，所得多項(xiàng)式的系數(shù)即可用來取代全零行。所得多項(xiàng)式的系數(shù)即可用來取代全零行。同時(shí)由輔助方程可以求得這些根。同時(shí)由輔助方程可以求得這些根。例例 已知控制系統(tǒng)特征方程已知控制系統(tǒng)特征方程,判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由為零上一行的元素由為零上一行的元素 組成輔助多項(xiàng)式：組成輔助多項(xiàng)式：s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：解：勞斯表為勞斯表為: 1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)=2s4+12s2+16dP(s)ds=8s3+24s代入代入0824s2 1668/3s1 s0

10、16勞斯表中某行同乘以某正數(shù)，勞斯表中某行同乘以某正數(shù)，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷。不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷。系統(tǒng)有虛根系統(tǒng)有虛根,不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。三、結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定系統(tǒng)的改進(jìn)措施三、結(jié)構(gòu)性不穩(wěn)定系統(tǒng)的改進(jìn)措施 調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)無法使其穩(wěn)定，則稱調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)無法使其穩(wěn)定，則稱這類系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。這類系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。Ks2(Ts+1)-R(s)C(s)如：如：(s)=Ts3+s2+KK閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：Ts3+s2+K=0特征方程是式：特征方程是式： 由于特征方程中少了由于特征方程中少了s項(xiàng)，無論項(xiàng)，無論K取何值取何值系統(tǒng)總是不穩(wěn)定。系統(tǒng)總是不穩(wěn)定。 解決的方法有以下兩種：解決的方

11、法有以下兩種：1改變環(huán)節(jié)的積分性質(zhì)改變環(huán)節(jié)的積分性質(zhì)積分環(huán)節(jié)外加單位負(fù)反饋積分環(huán)節(jié)外加單位負(fù)反饋,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為:Ks(Ts+1)-R(s)1s-C(s)G(s)=s(Ts+1)(s+1)K1s+1=11+s1sC(s)R(s)=s(Ts+1)(s+1)+KK系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程式特征方程式:Ts3+(1+T)s2+s+K=0勞斯表勞斯表: T 1 s3 1+T K s2 s1 K s0 1+T-TK 1+T 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件1+T-TK0K0K0 1+T T 2加入比例微分環(huán)節(jié)加入比例微分環(huán)節(jié) 系統(tǒng)中加入比例微分環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)中加入比例微分環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):Ks