第十一章 第2節(jié)

1、第2節(jié)直接證明與間接證明最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；2.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點.知 識 梳 理1.直接證明內容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實質由因導果執(zhí)果索因框圖表示文字語言因為所以或由得要證只需證即證2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法

2、.(1)反證法的定義：假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟：反設假設命題的結論不成立；歸謬根據(jù)假設進行推理，直到推出矛盾為止；結論斷言假設不成立，從而肯定原命題的結論成立.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內打“”或“×”)(1)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件.()(2)用反證法證明結論“a>b”時，應假設“a<b”.()(3)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾.()(4)在解決問題時，常用分析法尋找解題的思路與方法，

3、再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.()解析(1)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充分條件.(2)應假設“ab”.(3)反證法只否定結論.答案(1)×(2)×(3)×(4)2.若a，b，c為實數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是()A.ac2<bc2 B.a2>ab>b2C.< D.>解析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.又abb2b(ab)>0，ab>b2，由得a2>ab>b2.答案B3.要證a2b21a2b20，只要證明(

4、)A.2ab1a2b20 B.a2b210C.1a2b20 D.(a21)(b21)0解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D4.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù).用反證法證明時，下列假設正確的是()A.假設a，b，c都是偶數(shù)B.假設a，b，c都不是偶數(shù)C.假設a，b，c至多有一個偶數(shù)D.假設a，b，c至多有兩個偶數(shù)解析“至少有一個”的否定為“都不是”，故B正確.答案B5.(選修12P37例3改編)在ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為

5、_.解析由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形.答案等邊三角形考點一綜合法的應用【例1】 數(shù)列an滿足an1，a11.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)(一題多解)求數(shù)列的前n項和Sn，并證明>.(1)證明an1，化簡得2，即2，故數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知2n1，Snn2.法一>1.法二>1，又1>，>.規(guī)律方法1.綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題

6、設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導出所要求證結論的真實性.2.綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.【訓練1】 (2019·東北三省三校調研)已知a，b，c>0，abc1.求證：(1)；(2).證明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，.(2)a0，3a10，(3a1)24，當且僅當3a1，即a時取“”.33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，當且僅當abc時取“”.考點二分析法的應用【例2】 已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明要證明2a3b32ab2a2b成立，只需證

7、2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab>0，ab0，ab>0，2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.規(guī)律方法1.逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.2.證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證.【訓練2】 ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3

8、也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考點三反證法的應用【例3】 等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；(2)設bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.(1)解由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n).(2)證明由(1)得bnn.假設數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等

9、比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r).(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，q2pr，(pr)20.pr，與pr矛盾.數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.規(guī)律方法1.當一個命題的結論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，可用反證法來證，反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等.2.用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須否定結論；(2)必須從否定結論進行推理；(3)推導出的矛盾必須是明顯的.【訓練3】 (2019·鄭州一中月考)已知a1a2a3a4>100，求證：a1，a

10、2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.證明假設a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，則a1a2a3a425252525100，這與已知a1a2a3a4>100矛盾，故假設錯誤.所以a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.用反證法證明命題：“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設()A.三個內角都不大于60°B.三個內角都大于60°C.三個內角至多有一個大于60°D.三個內角至多有兩個大于60°解析“至少有一個”的否定是“一個都沒有”，故

11、可以理解為都大于60°.答案B2.已知m>1，a，b，則以下結論正確的是()A.a>b B.a<bC.ab D.a，b大小不定解析a，b.而>0(m1)，<，即a<b.答案B3.若a，bR，則下面四個式子中恒成立的是()A.lg(1a2)>0 B.a2b22(ab1)C.a23ab>2b2 D.<解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立.答案B4.分析法又稱“執(zhí)果索因法”，若用分析法證明：“設abc，且abc0，求證a”索的因應是()A.ab0 B.ac0C.(

12、ab)(ac)0 D.(ab)(ac)0解析由題意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5.已知p3q32，求證pq2，用反證法證明時，可假設pq2；已知a，bR，|a|b|<1，求證方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|1.以下正確的是()A.與的假設都錯誤B.與的假設都正確C.的假設正確；的假設錯誤D.的假設錯誤；的假設正確解析反證法的實質是否定結論，對于，其結論的反面是pq2，所以不正確；對于，其假設正確.答

13、案D二、填空題6.與2的大小關系為_.解析要比較與2的大小，只需比較()2與(2)2的大小，只需比較672與854的大小，只需比較與2的大小，只需比較42與40的大小，42>40，>2.答案>27.用反證法證明命題“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么假設的內容是_.解析“至少有一個能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.答案“a，b都不能被5整除”8.下列條件：ab>0，ab<0，a>0，b>0，a<0，b<0，其中能使2成立的條件的序號是_.解析要使2，只需>0成立，即a，b不為0且同號即可，故能使

14、2成立.答案三、解答題9.若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lglglglg alg blg c.證明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三個不等式中等號不能同時成立.··abc成立.上式兩邊同時取常用對數(shù)，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10.設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和.(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？(1)證明假設數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1·a1·(1qq2)，因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn

15、不是等比數(shù)列.(2)解當q1時，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當q1時，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾.綜上，當q1時，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當q1時，數(shù)列Sn不是等差數(shù)列.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2019·上饒開學考試)設x，y，z>0，則三個數(shù)，()A.都大于2 B.至少有一個大于2C.至少有一個不小于2 D.至少有一個不大于2解析因為6，當且僅當xyz時等號成立.所以三個數(shù)中至少有一個不小于2，故選C.答案C12.(2019·全國卷)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.

16、甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_.解析根據(jù)丙的說法及乙看了丙的卡片后的說法進行推理.由丙說“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，可推知丙的卡片上的數(shù)字是1和2或1和3.又根據(jù)乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的數(shù)字為2和3.再根據(jù)甲的說法“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”可知，甲的卡片上的數(shù)字是1和3.答案1和313.設a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件.證明(1)因為