第二章 第1節(jié) 1.2 第2課時

1、第2課時余弦定理的變形及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握余弦定理及其變形形式.2.會用余弦定理解三角形.3.能利用正弦定理、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題知識點一余弦定理及其推論1a2b2c22bccos A，b2 c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.2cos A；cos B；cos C.3在ABC中，c2a2b2C為直角；c2>a2b2C為鈍角；c2<a2b2C為銳角知識點二余弦定理及其變形的使用思考在解題過程中我們會遇到各種各樣的條件，那么什么樣的條件適合用余弦定理去化簡變形呢？答案當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如a2b2，ab，ab，

2、cos A等，可以考慮使用余弦定理或變形形式對條件進(jìn)行化簡變形梳理對條件、解題目標(biāo)進(jìn)行變形的目的是借助正弦定理、余弦定理兩個橋梁，減少條件與目標(biāo)間的差異直至貫通1在ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素(×)2當(dāng)b2c2a2>0時，三角形ABC為銳角三角形(×)類型一利用余弦定理解已知兩邊及其中一邊的對角的三角形例1已知在ABC中，a8，b7，B60°，求c.考點用余弦定理解三角形題點已知兩邊及其中一邊的對角用余弦定理解三角形解由余弦定理b2a2c22accos B，得7282c22×8×ccos 60°，整理得c28

3、c150，解得c3或c5.引申探究本例條件不變，用正弦定理求c.解由正弦定理，得，sin A，cos A±±±.sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B·±·，sin C或sin C.當(dāng)sin C時，c·sin C5；當(dāng)sin C時，c·sin C3.反思與感悟相對于用正弦定理解此類題，用余弦定理不必考慮三角形解的個數(shù)，解出幾個是幾個跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A，a，b1，則c等于()A1 B2 C.1 D.考點用余弦定理解三角形題點已知兩邊

4、及其中一邊的對角用余弦定理解三角形答案B解析由余弦定理a2b2c22bccos A，得()212c22c·cos ，即c2c20，c2或c1(舍)類型二余弦定理的變形及應(yīng)用例2在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，則A .考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點余弦定理的變形應(yīng)用答案解析a2c2b2bc，b2c2a2bc，cos A，又A(0，)，故A.反思與感悟只有熟悉余弦定理及其變形，才能敏銳地抓住條件中與余弦定理及變形相似的地方，從而對條件進(jìn)行有目的地變形跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，sin2，則ABC的形狀為()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形考點判斷三角形形狀題點利用

5、正弦、余弦定理、三角變形判斷三角形形狀答案B解析sin2，cos A，a2b2c2，符合勾股定理ABC為直角三角形類型三利用正弦、余弦定理證明三角形中的恒等式例3在ABC中，有(1)abcos Cccos B；(2)bccos Aacos C；(3)cacos Bbcos A，這三個關(guān)系式也稱為射影定理，請給出證明考點正弦、余弦定理證明恒等式題點正弦、余弦定理證明恒等式證明方法一(1)由正弦定理，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，(R為ABC的外接圓半徑)，bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B2R(sin Bcos Ccos Bsin

6、C)2Rsin(BC)2Rsin Aa.即abcos Cccos B.同理可證(2)bccos Aacos C.(3)cacos Bbcos A.方法二(1)由余弦定理，得cos B，cos C，bcos Cccos Bb·c·a.abcos Cccos B.同理可證(2)bccos Aacos C.(3)cacos Bbcos A.反思與感悟證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式，可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，正弦借助正弦定理轉(zhuǎn)化，余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化；二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練3在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的

7、對邊，求證：.考點正弦、余弦定理證明恒等式題點正弦、余弦定理證明恒等式證明方法一左邊，右邊，等式成立方法二右邊左邊，等式成立.1在ABC中，若b2a2c2ac，則B等于()A60° B45°或135° C120° D30°考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點余弦定理的變形應(yīng)用答案C解析b2a2c22accos Ba2c2ac，ac2accos B，cos B，又0°<B<180°，B120°.2在ABC中，關(guān)于x的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0有兩個不等的實根，則A為()A銳角 B

8、直角C鈍角 D不存在考點判斷三角形形狀題點利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀答案A解析由方程可得(sin Asin C)x22xsin Bsin Asin C0. 方程有兩個不等的實根， 4sin2B4(sin2Asin2C)0.由正弦定理，代入不等式中得b2a2c20，再由余弦定理，有2bccos Ab2c2a20. 0°<A<90°.3如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 考點用余弦定理解三角形題點已知三邊解三角形答案45°解析依題意可得AD20 m，AC

9、30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.4在ABC中，若B30°，AB2，AC2，則滿足條件的三角形有幾個？解設(shè)BCa，ACb，ABc，由余弦定理b2a2c22accos B，得22a2(2)22a×2cos 30°，即a26a80，解得a2或a4.當(dāng)a2時，三邊長為2,2,2，可組成三角形；當(dāng)a4時，三邊長為4,2,2，也可組成三角形滿足條件的三角形有兩個1已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，一般情況下

10、，利用正弦定理求出另一邊所對的角，再求其他的邊或角，要注意進(jìn)行討論如果采用余弦定理來解，只需解一個一元二次方程，即可求出邊來，比較兩種方法，采用余弦定理較簡單2對所給條件進(jìn)行變形，主要有兩種途徑：(1)化邊為角(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理進(jìn)行邊、角轉(zhuǎn)換一、選擇題1若三條線段的長分別為5,6,7，則用這三條線段()A能組成直角三角形B能組成銳角三角形C能組成鈍角三角形D不能組成三角形考點判斷三角形形狀題點利用余弦定理判斷三角形形狀答案B解析因為三角形最大邊對應(yīng)的角的余弦值cos >0，所以能組成銳角三角形2在ABC中，若c2，b2a，且cos C，則a等于()A2 B. C1 D

11、.考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點余弦定理的變形應(yīng)用答案C解析由cos C，得a1.3如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D由增加的長度確定考點判斷三角形形狀題點利用余弦定理判斷三角形形狀答案A解析設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c且a2b2c2，則(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx2>0，此時新三角形的最大角為銳角故新三角形是銳角三角形4在ABC中，sin Asin Bsin C323，則cos C的值為()A. BC. D考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點已知三邊之比或三角正弦之比，

12、求角答案A解析由sin Asin Bsin C323，可得abc323.不妨設(shè)a3k，b2k，c3k(k0)，則cos C.5在ABC中，若a2bc，則角A是()A銳角 B鈍角C直角 D不確定考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點用余弦定理求邊或角的取值范圍答案A解析cos A>0，0°<A<90°，即角A是銳角6已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b22a2ac2c2，則sin B等于()A. B.C. D.考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點余弦定理的變形應(yīng)用答案A解析由2b22a2ac2c2，得2(a2c2b2)ac0.由余弦定理，得a2c2b2

13、2accos B，4accos Bac0.ac0，4cos B10，cos B，又B(0，)，sin B.7已知a，b，c為ABC的三邊，B120°，則a2c2acb2等于()A0 B1 C1 D2考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點余弦定理的變形應(yīng)用答案A解析b2a2c22accos Ba2c22accos 120°a2c2ac，原式等于0.8已知ABC的三邊長為a3，b4，c，則ABC的最大內(nèi)角為()A120° B90°C150° D60°考點用余弦定理解三角形題點已知三邊解三角形答案A解析c>a，c>b，角C最大由余弦定理，

14、得c2a2b22abcos C，即3791624cos C，cos C.0°<C<180°，C120°，故選A.二、填空題9在ABC中，a2b2bc，sin C2sin B，則A .考點用正弦、余弦定理解三角形題點用正弦、余弦定理解三角形答案30°解析由sin C2sin B及正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc中，得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cos A，又0°<A<180°，故A30°.10ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsi

15、n B，則角B .考點用正弦、余弦定理解三角形題點用正弦、余弦定理解三角形答案45°解析由正弦定理，得a2c2acb2，由余弦定理，得b2a2c22accos B，故cos B.又因為B為三角形的內(nèi)角，所以B45°.11在ABC中，若a2，bc7，cos B，則b .考點余弦定理及其變形應(yīng)用題點用余弦定理求邊或角的取值范圍答案4解析在ABC中，由b2a2c22accos B及bc7，知b24(7b)22×2×(7b)×，整理得15b600，所以b4.三、解答題12在ABC中，求證：.考點正弦、余弦定理證明恒等式題點正弦、余弦定理證明恒等式證明因

16、為右邊×cos B×cos A××左邊所以.13ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，求角B.考點用正弦、余弦定理解三角形題點用正弦、余弦定理解三角形解由及正弦定理知，整理得b2a2acc2，即b2a2c2ac，根據(jù)余弦定理可知cos B，又B(0，)，所以B.四、探究與拓展14已知三角形三邊長為a，b， (a>0，b>0)，則最大角為 考點用余弦定理解三角形題點已知三邊解三角形答案120°解析易知>a，>b，設(shè)最大角為，則cos ，又0°<<180°，120°.15在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大?。?2)若sin Bsin C，試判斷ABC的形狀考點判斷三角形形狀題點利用正弦、余弦定理、三角變形判斷三角形形狀解(1)2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A.0°<A<180°，A60