第二章 疑難規(guī)律方法

1、1要點解讀1直線的傾斜角在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角，當直線l和x軸平行時，它的傾斜角為0°.解讀(1)直線的傾斜角分兩種情況定義：第一種是與x軸相交的直線；第二種是與x軸平行或重合的直線這樣定義可以使平面內(nèi)任何一條直線都有唯一的傾斜角(2)從運動變化的觀點來看，當直線與x軸相交時，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)動到與直線重合時所轉(zhuǎn)過的角(3)不同的直線可以有相同的傾斜角(4)直線的傾斜角直觀地描述了直線相對x軸正方向的傾斜程度2直線的斜率我們把一條直線的傾斜角的正切值叫作這條直

2、線的斜率斜率常用小寫字母k表示，即ktan .經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.解讀(1)斜率坐標公式與兩點的順序無關(guān)，即兩點的縱坐標和橫坐標在公式中的前后順序可以同時顛倒(2)所有的直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率當傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，但并不是說該直線不存在，而此時直線垂直于x軸(3)斜率和傾斜角都是反映直線相對于x軸正向的傾斜程度的，通常情況下求斜率比求傾斜角方便(4)當x1x2，y1y2時直線沒有斜率3兩條直線平行的判定對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1l2k1k2.解讀(1)利

3、用上述公式判定兩條直線平行的前提條件有兩個：一是兩條直線不重合，二是兩條直線的斜率都存在(2)當兩條直線的斜率都不存在時，l1與l2的傾斜角都是90°，此時也有l(wèi)1l2.4兩條直線垂直的判定如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于1；反之，如果它們的斜率之積等于1，那么它們互相垂直，即l1l2k1·k21.解讀(1)利用上述公式判定兩條直線垂直的前提條件是兩條直線都有斜率(2)兩條直線中，若一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則這兩條直線也垂直2直線斜率的三種求法直線的斜率是用來衡量直線的傾斜程度的一個量，是確定直線方程的重要因素，還能為以

4、后直線與直線位置關(guān)系及直線與圓位置關(guān)系的進一步學(xué)習打好基礎(chǔ)一、根據(jù)傾斜角求斜率例1如圖，菱形ABCD的ADC120°，求兩條對角線AC與BD所在直線的斜率分析由于題目背景是幾何圖形，因此可根據(jù)菱形的邊角關(guān)系先確定AC與BD的傾斜角，再利用公式ktan .解在菱形ABCD中，ADC120°，BAD60°，ABC120°.又菱形的對角線互相平分，BAC30°，DBA60°.DBx180°DBA120°.kACtan 30°，kBDtan 120°.評注本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形中直線與其他直線的位

5、置關(guān)系(如平行、垂直、兩直線的夾角關(guān)系等)，確定出所求直線的傾斜角，進而確定直線的斜率二、利用兩點斜率公式例2直線l沿y軸正方向平移3個單位，再沿x軸的負方向平移4個單位，恰好與原直線l重合，求直線l的斜率k.分析由于直線是由點構(gòu)成的，因此直線的平移變化可以通過點的平移來體現(xiàn)因此，本題可以采取在直線上取一點P，經(jīng)過相應(yīng)的平移后得到一個新點Q，它也在直線上，則直線l的斜率即為PQ的斜率解設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點，按平移后，P點的坐標移動到Q(x4，y3)Q點也在直線l上，k.評注本題解法利用點的移動去認識線的移動，體現(xiàn)了“整體”與“局部”間辯證關(guān)系在解題中的相互利用，同時要注意：點(x，

6、y)沿x軸正方向平移a個單位，再沿y軸正方向移動b個單位，坐標由(x，y)變?yōu)?xa，yb)直線過兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2，y1y2，則傾斜角等于90°，不能利用兩點坐標的斜率公式，此時，斜率不存在三、利用待定系數(shù)法例3如果直線l沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來的位置，求直線l的斜率分析本題可以利用例2的解法進行求解，即考慮抓住點的變化求解除此之外，還可以考慮直線l的方程的變化，利用待定系數(shù)法，通過比較系數(shù)可得結(jié)果解設(shè)直線l的方程為ykxb.把直線左移3個單位，上移1個單位后直線方程為y1k(x3)b，即ykx3kb1.由條

7、件，知ykx3kb1與ykxb為同一條直線的方程比較系數(shù)，得b3kb1，解得k.評注本題通過利用平移前與平移后的兩個方程的同一性，進行相應(yīng)系數(shù)的比較求得結(jié)果3直線方程形式的相互轉(zhuǎn)化直線方程的五種形式之間密切相關(guān)，可以進行相互轉(zhuǎn)化一、一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程例1已知直線方程為3x4y60，求此直線的斜率與此直線在y軸上的截距分析只需把已知直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程，根據(jù)直線的斜截式方程可以直接判斷出對應(yīng)直線的斜率與在y軸上的截距解由3x4y60，可得4y3x6，即yx.根據(jù)直線的斜截式方程，可以得出此直線的斜率為，此直線在y軸上的截距為.評注在直線的斜截式方程ykxb中，非常直觀地

8、表示了該直線對應(yīng)的斜率為k，該直線在y軸上的截距為b.二、一般式方程轉(zhuǎn)化為截距式方程例2求直線axby10(a0，b0)與兩坐標軸所圍成的三角形的面積分析只需把已知直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為直線的截距式方程，根據(jù)直線的截距式方程可以直接判斷出對應(yīng)直線在相應(yīng)坐標軸上的截距，再求解對應(yīng)的三角形面積解由直線axby10(a0，b0)，可得1.根據(jù)直線的截距式方程，可以得出此直線在x軸，y軸上的截距分別為，.所以對應(yīng)的三角形面積為S··.評注在直線的截距式方程1(a0，b0)中，方程的左側(cè)為兩個分式的和，右側(cè)為常數(shù)1，其中的a，b分別為直線在x軸，y軸上的截距要正確理解截距的定義，但要

9、注意在x軸，y軸上的截距分別表示的是直線與x軸，y軸交點的橫、縱坐標三、斜截式方程轉(zhuǎn)化為點斜式方程例3直線ymx3m2(mR)必過的定點_分析只需把已知直線的斜截式方程轉(zhuǎn)化為直線的點斜式方程，根據(jù)直線的點斜式方程可以直接判斷出對應(yīng)直線所過的定點解析由ymx3m2，可得ym(x3)2，即y2m(x3)，根據(jù)直線的點斜式方程，可以得出此直線必過的定點為(3,2)答案(3,2)評注在直線的點斜式方程yy0k(xx0)中，表示恒過定點(x0，y0)的一系列直線在解答此類問題時，也可以通過參數(shù)的兩個不同取值，通過求解兩特殊直線的交點來達到確定定點的目的四、一般式方程轉(zhuǎn)化為點斜式方程例4已知直線l的方程為

10、(k1)x(k1)y2k0，求證：無論k取何實數(shù)時，直線l必過定點，并求出這個定點的坐標分析只需把已知直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為直線的點斜式方程，即可判斷出對應(yīng)的定點證明由直線l的方程(k1)x(k1)y2k0，可得(k1)x(k1)y2k，則(k1)xk(k1)yk，亦即(k1)x(k1)(k1)y(k1)當k1時，y1(x1)，根據(jù)直線的點斜式方程可得直線l必過定點(1，1)；當k1時，直線l的方程為x1，亦必過定點(1，1)綜上所述，無論k取何實數(shù)時，直線l必過定點(1，1)評注在解答有關(guān)直線過定點的問題中，經(jīng)常利用直線的點斜式方程來解決直線方程的五種表達式都有著各自的長處和不足，在求解有關(guān)

11、的直線方程時，一定要注意各自方程形式的局限之處4直線方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1已知直線方程為3xmy60，求此直線的斜率與此直線在y軸上的截距錯解由3xmy60，得my3x6，即直線的斜截式方程為yx，得出此直線的斜率為，在y軸上的截距為.剖析忘記討論當m0時，直線的斜率并不存在正解當m0時，直線可化為x2，此時直線的斜率不存在，在y軸上的截距也不存在；當m0時，可得my3x6，即直線的斜截式方程為yx，得出此直線的斜率為，在y軸上的截距為.評注在直線的斜截式方程ykxb中，非常直觀地表示了該直線的斜率為k，在y軸上的截距為b.研究直線的斜率與在y軸上的截距問題，需要將一般式

12、方程轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程來處理但要注意當y的系數(shù)含有參數(shù)時要分系數(shù)為0和系數(shù)不為0兩種情況進行討論二、兩點式中分式“缺陷”例2已知直線l過點A(1,2)，B(a,3)，求直線l的方程錯解由兩點式，得直線l的方程為.剖析忽視了a1，即直線與x軸垂直的情況，若a1，則不成立正解當a1時，直線l的方程為x1；當a1時，直線l的方程為.綜上所述，知直線l的方程為x(a1)(y2)10.評注一般地，過P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點的直線方程，不能寫成，而應(yīng)寫成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0.三、截距式中截距“缺陷”例3求過點(2,4)且在坐標軸上的截距之和為0的直線方程錯解設(shè)直

13、線的方程為1.因為直線過點(2,4)，所以1，解得a2.故所求的直線方程為1，即xy20.剖析直線的截距式方程只適用于截距不為0和不平行于坐標軸的情形，本題由截距式求解時沒有考慮截距為0的情形，導(dǎo)致漏解正解當直線的截距均不為0時，同錯解；當直線的截距均為0時，直線過原點，此時直線的斜率為k2，直線的方程為y2x，即2xy0.故所求的直線方程為2xy0或xy20.評注事實上，當題中出現(xiàn)“截距相等”、“截距的絕對值相等”、“截距互為相反數(shù)”、“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上的截距的m(m>0)倍”等條件時，若采用截距式求直線方程，都要考慮“截距為0”的情況四、一般式中系數(shù)“缺陷”例4如果直

14、線(m1)x(m24m3)y(m1)0的斜率不存在，求m的值錯解因為直線的斜率不存在，所以m24m30.解得m3或m1.所以當m3或m1時，直線的斜率不存在剖析由于方程AxByC0表示直線，本身隱含著(A，B不同時為0)這一條件當m1時，方程(m1)x(m24m3)y(m1)0即為0·x0·y00，它不表示直線，應(yīng)舍去正解因為直線的斜率不存在，所以m24m30，且m10，解得m3.所以當m3時，直線的斜率不存在評注方程AxByC0(A，B不同時為0)才叫作直線的一般式方程，才表示一條直線5突破兩條直線的位置關(guān)系在平面直角坐標系內(nèi)不同的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系，其中垂

15、直是相交的特殊情況，要想很好地掌握兩條直線的位置關(guān)系，只需把握以下三種題型下面舉例說明題型一根據(jù)直線平行、垂直求參數(shù)值的問題給出兩直線的方程(方程的系數(shù)中含有參數(shù))，利用直線平行或垂直的判定或性質(zhì)求解參數(shù)的取值例1已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.試求m為何值時，l1與l2：(1)平行？(2)垂直？分析(1)由“兩直線axbyc0與mxnyd0平行anbm0且cnbd”或“兩直線平行，一次項系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項之比”，通過解方程求出m的值；(2)由“兩直線axbyc0與mxnyd0垂直ambn0”即可求解解(1)若l1l2，則3m(m2)0且182 m2，解得m1.

16、所以當m1時，l1l2.(2)若l1l2，則m23m0.解得m.所以當m時，l1l2.評注如何用直線方程的系數(shù)來反映兩直線的位置關(guān)系是解題的切入點利用此法只需把直線方程化為一般式即可題型二有關(guān)直線相交的問題有關(guān)直線相交的問題一般有兩類：(1)有關(guān)直線交點的問題，主要是通過解兩直線方程組成的方程組，得到交點坐標，解決這種問題的關(guān)鍵是求出交點；(2)有關(guān)判斷兩直線是否相交的問題，只要用兩直線方程的一次項系數(shù)的關(guān)系判斷兩直線不平行，即可判斷相交例2若直線5x4y2m10與直線2x3ym0的交點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍分析可通過解兩直線方程組成的方程組求得兩直線的交點坐標由于交點在第四象限，所以

17、交點的橫坐標大于0，縱坐標小于0，進而可求出m的取值范圍解根據(jù)題意，由可得這兩條直線的交點坐標為.因為交點在第四象限，所以解得<m<2.所以實數(shù)m的取值范圍是.評注本題考查直線交點的求法，又由于交點在第四象限，因此又考查了解不等式的能力題型三有關(guān)距離的問題在平面直角坐標系中，與直線有關(guān)的距離問題主要有兩類：(1)點到直線的距離；(2)兩平行線間的距離這兩類距離可由相應(yīng)的距離公式求得：其中點P(x0，y0)到直線AxByC0的距離公式是d(應(yīng)用此公式時應(yīng)注意把直線方程化為一般式方程)；兩條平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20的距離為d(應(yīng)用此公式應(yīng)注意兩點：(1)把直線

18、方程化為一般式方程；(2)使x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等)例3求兩平行線l1：2x3y80，l2：4x6y10的距離分析用上述平行線距離公式時，首先需要把兩直線方程中的x，y的系數(shù)化為分別對應(yīng)相等，然后用公式可求出距離解把l1：2x3y80變形為l1：4x6y160.利用公式，可得l1與l2的距離為d.6直線系方程的類型及應(yīng)用在求直線方程的時候，要利用兩直線的斜率關(guān)系，或利用兩直線的交點坐標，通過解方程的途徑來獲解而在一些有關(guān)平行或垂直的問題，或是過有關(guān)兩已知直線交點的問題中，利用相應(yīng)的直線系方程，能簡化解題過程，提高解題效率一、直線系方程的類型1平行直線系：與直線AxByC0平行的直線系方程為A

19、xByC10(CC1)2垂直直線系：與直線AxByC0垂直的直線系方程為BxAyC10.3交點直線系：若直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20交于點P，則過交點P的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直線l2)4過定點P(a，b)的直線系方程可設(shè)為m(xa)(yb)0(m為參數(shù))二、直線系方程的應(yīng)用1平行或垂直的直線系方程的應(yīng)用例1已知正方形的中心為G(1,0)，一邊所在的直線方程為x3y50，求其他三邊所在的直線方程解正方形的中心G到已知邊的距離為d.設(shè)正方形與已知直線平行的一邊所在的直線方程為x3yc0，則d，解得c7或c5(舍去)故所求一邊的直線

20、方程為x3y70.又由于正方形另兩邊所在的直線與已知直線垂直，故設(shè)另兩邊所在的直線方程為3xym0，則d，解得m19或m23.因此正方形另兩邊所在的直線方程為3xy90或3xy30.綜上所述，正方形其他三邊所在的直線方程分別為x3y70,3xy90,3xy30.評注利用平行或垂直的直線系，可免去求斜率的麻煩，直接套用公式即可在運用直線系方程時，要注意通過圖形的幾何性質(zhì)，得出所設(shè)方程的參數(shù)2過交點的直線系方程的應(yīng)用例2在平面直角坐標系中，ABC的頂點分別為A(0，a)，B(b，0)，C(c,0)，設(shè)P(0，p)在線段AO上(異于端點)，設(shè)a，b，c，p均為非零實數(shù)，直線BP，CP分別交AC，AB

21、于點E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確求得OE的方程為xy0，求直線OF的方程解由截距式可得直線AB：1，直線CP：1，點F為直線AB與直線CP的交點，故過F點的直線系方程可設(shè)為l：10.又直線l過原點(0,0)，代入方程得1，故所求直線OF的方程為xy0.評注本例通過設(shè)出過交點的直線系方程，簡化了求交點的煩瑣過程，大題小做，直觀簡潔3過定點的直線系方程的應(yīng)用例3已知直線(a2)y(3a1)x1，若直線不過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍解直線方程可化為(3xy)a(x2y1)0.由得即無論a為何實數(shù)，直線總過定點P.設(shè)直線的斜率為k，直線OP的斜率為kOP.由圖像可知，當直線的斜率k滿足kkOP時，直線與y軸

22、的交點不會在原點的上方，即直線不經(jīng)過第二象限故由kkOP，解得a(2，)又當a2時滿足題意，故實數(shù)a的取值范圍是2，)評注過定點的直線系的特征是直線方程中有一個參數(shù)本例通過直線過定點P，運用數(shù)形結(jié)合的思想，只考慮直線斜率滿足的條件將問題巧妙轉(zhuǎn)化解出7活用兩點間的距離公式已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則該兩點之間的距離可表示為|AB|.兩點間的距離公式是整個解析幾何中幾個最重要的公式之一，是平面解析幾何的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)學(xué)習與生產(chǎn)生活中都有著廣泛的應(yīng)用因此應(yīng)熟練掌握公式并且靈活運用一、判斷三角形的形狀例1已知ABC三個頂點的坐標分別為A(1，1)，B(1,3)，C(3,0)求證：ABC

23、是直角三角形分析求出每兩個點之間的距離，用勾股定理驗證證明|AB|2，|AB|220，同理|AC|25，|BC|225.|AB|2|AC|2|BC|2，ABC是以頂點A為直角頂點的直角三角形評注在頂點坐標已知的情況下欲判斷三角形是直角三角形，只需要求出邊長再用勾股定理驗證即可二、求點的坐標例2已知點A(3,4)，B(2，)，在x軸上找一點P使得|PA|PB|，并求出|PA|的值分析由于點P在x軸上，可設(shè)P(x,0)，再利用條件|PA|PB|即可解決解設(shè)P(x,0)，則有|PA|，|PB|.由|PA|PB|，可得，解得x，從而得P，且|PA|.評注應(yīng)熟練掌握在坐標軸上的點的坐標的設(shè)法三、證明三點

24、共線問題例3已知A(1，1)，B(3,3)，C(4,5)三點，求證：這三點在同一條直線上分析要證A，B，C三點在同一條直線上，可通過幾何方法進行證明而在直角坐標系中解決此類問題，可能會更簡單一些，只需證|AC|AB|BC|即可，要確定|AC|，|AB|，|BC|的長，只需利用兩點間的距離公式即可證明|AB|2，|BC|，|AC|3.|AB|BC|3，|AC|3，|AB|BC|AC|，即A，B，C三點共線評注在平面直角坐標系中證明幾何問題時，應(yīng)注意圖形的特點，充分運用兩點間的距離公式進行運算，從而解決問題四、證明平面幾何問題例4如果四邊形ABCD是長方形，則對任一點M，試用坐標法證明：|AM|2

25、|CM|2|BM|2|DM|2.分析要想用坐標法證明幾何問題，首先必須建立平面直角坐標系，確定各點的坐標，利用兩點間的距離公式進行計算在建立平面直角坐標系時，要注意圖形的特點，使建系后點的坐標表示盡量簡便證明建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)M(x，y)，C(x1，y1)，則A(0,0)，B(x1，0)，D(0，y1)，|AM|，|BM|，|CM|，|DM|.|AM|2|CM|2x2y2(xx1)2(yy1)2，|BM|2|DM|2x2y2(xx1)2(yy1)2，|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.即如果四邊形ABCD是長方形，則對任一點M，等式|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2都

26、成立評注用坐標法證明幾何問題時，首先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標表示有關(guān)量，然后用代數(shù)法進行運算，最后把代數(shù)運算“翻譯”成幾何關(guān)系8圓的兩種方程的區(qū)別與聯(lián)系圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2；而二次方程x2y2DxEyF0，當D2E24F>0時，表示圓心為，半徑r的圓，叫作圓的一般方程二者的相同點表現(xiàn)在：(1)二者的實質(zhì)相同，可以互相轉(zhuǎn)化；標準方程展開后就是一般方程，而一般方程經(jīng)過配方后就轉(zhuǎn)化為了標準方程掌握這一點對于更好地理解一般方程是很有幫助的(2)不論圓的標準方程還是一般方程，都有三個字母(a，b，r或D，E，F(xiàn))的值需要確定，因此需要三個獨立的

27、條件利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a，b，r(或D，E，F(xiàn))的三個方程組成的方程組，解之得到待定系數(shù)的值標準方程與一般方程的差別主要反映在以下兩點：一、二者確定圓的條件不同例1圓心P在直線yx上，且與直線x2y10相切的圓，截y軸所得的弦長|AB|2，求此圓的方程解圓心P在直線yx上，可設(shè)P的坐標為(k，k)，設(shè)圓的方程為(xk)2(yk)2r2(r>0)作PQAB于Q，連接AP，在RtAPQ中，AQ1，APr，PQk，r.又r，整理得2k23k20，解得k2或k.當k2時，圓的半徑為r，故圓的方程為(x2)2(y2)25.當k時，圓的半徑為r，故圓的方程為22.因此所求圓的方程為(x2)2(y

28、2)25或22.例2已知ABC的各頂點坐標為A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圓的方程分析可利用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)所列條件求得系數(shù)，進而得到方程解設(shè)過A、B、C三點的圓的方程是x2y2DxEyF0，將A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)代入可得解得D4，E2，F(xiàn)20，其外接圓的方程為x2y24x2y200.評注圓的標準方程側(cè)重于圓心坐標和半徑，因此在題目條件中涉及到圓心坐標時，多選用標準方程，而已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系時，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).需要指出的是，應(yīng)用待定系數(shù)法，要盡可能少設(shè)變量，從而簡化計算另外對于已知圓

29、上兩點或三點求圓的方程，通常情況下利用一般式更簡單二、二者的應(yīng)用方面不同例3若半徑為1的圓分別與y軸的正半軸和射線yx(x0)相切，求這個圓的方程分析利用“半徑為1的圓與y軸的正半軸相切”這一條件可以直接求得圓心的橫坐標，這是本題方程求解的一個突破口解由題意知圓心的橫坐標及半徑為1，設(shè)圓心縱坐標為b，則圓的方程為(x1)2(yb)21，圓與射線yx(x0)相切，1，解得b，圓的方程為(x1)2(y)21.評注圓的標準方程明顯帶有幾何的影子，圓心和半徑一目了然，因此結(jié)合初中平面幾何中的垂徑定理可以使問題的求解簡化；而圓的一般方程明顯表現(xiàn)出代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運用9探究圓的切線探究1

30、已知點M(x0，y0)是圓x2y2r2上一點，l是過點M的圓的切線，求直線l的方程解設(shè)點P(x，y)是切線l上的任意一點，則OMMP.kOM·kMP1，即·1.整理，得x0xy0yxy.xyr2，切線l的方程為x0xy0yr2.當點M在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用結(jié)論1過圓x2y2r2上一點M(x0，y0)的切線方程為x0xy0yr2.探究2求過圓C：(xa)2(yb)2r2上一點M(x0，y0)的切線l的方程解設(shè)點P(x，y)是切線l上的任意一點，則CMMP.kCM·kMP1，即·1.整理，得(x0a)(xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y

31、0b)2.(x0a)2(y0b)2r2，切線l的方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.當點M在直線xa和yb上時，可以驗證上述方程同樣適用結(jié)論2過圓(xa)2(yb)2r2上一點M(x0，y0)的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.探究3求過圓C：x2y2DxEyF0上一點M(x0，y0)的切線l的方程解把圓C：x2y2DxEyF0化為標準方程，得22(D2E24F)由結(jié)論2可知切線l的方程為(x)(y)(D2E24F)整理，得x0xy0yD·E·F0.切線l的方程為x0xy0yD·E·F0.結(jié)論3過圓x2y2DxEyF0上一點

32、M(x0，y0)的切線l的方程為x0xy0yD·E·F0.10圓弦長的求法一、利用兩點間的距離公式若直線與圓相交的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|.例1求過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2y24y0所截得的弦長解設(shè)直線與圓相交時的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知直線的方程為yx.解方程組得或|AB| 2.評注解由直線方程與圓方程聯(lián)立的方程組得弦的兩端點的坐標，再由兩點間的距離公式求解這是一種最基本的方法，當方程組比較容易解時常用此法二、利用勾股定理若弦心距為d，圓的半徑為r，則弦長|AB|2.例2求直線

33、x2y0被圓x2y26x2y150所截得的弦長|AB|.解把圓x2y26x2y150化為標準方程為(x3)2(y1)225，所以其圓心為(3,1)，半徑r5.因為圓心(3,1)到直線x2y0的距離d，所以弦長|AB|24.三、利用弦長公式若直線l的斜率為k，與圓相交時的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|x1x2|.例3求直線2xy20被圓(x3)2y29所截得的弦長|AB|.解設(shè)直線與圓相交時的兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，整理得5x214x40，則x1x2，x1x2.|AB|.評注通常設(shè)出弦的兩端點的坐標(不必求出，即設(shè)而不求)，聯(lián)立

34、直線方程與圓方程消去y(或x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得解11圓與圓相交的三巧用圓與圓的位置關(guān)系主要有五種，即相離、相交、外切、內(nèi)切、內(nèi)含，圓與圓相交時的簡單應(yīng)用一般是用于求相交圓的公共弦所在的直線方程、公共弦的垂直平分線方程和通過圓與圓相交時求公切線的條數(shù)一、圓與圓相交，求公共弦所在的直線方程例1已知兩圓x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B兩點，則直線AB的方程是_分析求兩個圓的相交弦所在的直線問題，如果先求出這兩個圓的交點，然后再求出AB的直線方程，則運算量大，而且易出錯，因此可通過將兩個圓方程的二次變量消去，得到二元一次方程即為所求解析兩

35、圓方程作差，得x3y0.答案x3y0評注求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需將兩圓作差即可二、圓與圓相交，求公共弦的垂直平分線方程例2圓x2y24x6y0和圓x2y26x0交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是_分析關(guān)于兩圓公共弦的垂直平分線方程問題，關(guān)鍵是要善于將AB的垂直平分線問題轉(zhuǎn)化為兩個圓的圓心連線所在的直線問題解析由平面幾何知識，知AB的垂直平分線就是兩圓的圓心連線，即求過(2，3)與(3,0)兩點的直線的方程可求得直線的方程為3xy90.答案3xy90評注通過將問題轉(zhuǎn)化，不但可簡化運算的程序，而且有利于更好地掌握兩個圓的位置關(guān)系三、求圓與圓相交時公切線的條數(shù)問題例3已知圓A：(x

36、1)2(y1)24，圓B：(x2)2(y2)29，則圓A和圓B的公切線有_條分析判斷兩個圓的公切線有多少條，關(guān)鍵是判斷兩個圓的位置關(guān)系，通過確定兩個圓的位置關(guān)系就可判斷兩個圓的公切線的條數(shù)解析因為圓心距|AB|，R3，r2，且Rr325，Rr321，所以有Rr<|AB|<Rr，即兩圓相交所以兩圓的公切線有兩條答案2評注判斷兩個圓的位置關(guān)系時，除了考慮兩個圓的半徑之和與兩個圓的圓心距外，還要考慮兩個圓的半徑之差與兩個圓的圓心距.12與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題大致分為兩類：一類是運用幾何特征及幾何手段先確定達到最值的位置，再計算；另一類是通過建立目標函數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問

37、題例1圓x2y24x4y100上的點到直線xy140的最大距離與最小距離的差為_分析利用數(shù)形結(jié)合法求出最大距離與最小距離后再作差解析由x2y24x4y100配方得(x2)2(y2)218，即圓心為C(2,2)，半徑r3，則圓心到直線的距離d5，所以圓上的點到直線的最大距離為dr8，最小距離為dr2，則圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差為826.答案6評注一般地，設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r(r<d)，則圓上的點到直線的距離的最大值、最小值分別為dr和dr.例2在RtABC中，C90°，AC8，BC6，P是ABC內(nèi)切圓上的動點，試求點P到ABC的三個頂點的距離的平方和

38、的最大值與最小值分析可以C點為坐標原點建立坐標系，設(shè)出定點和動點坐標，建立函數(shù)關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理解以點C為原點，使A，B分別位于x軸、y軸的正半軸上，建立平面直角坐標系如圖所示，則ABC各頂點是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，內(nèi)切圓半徑r2.內(nèi)切圓圓心坐標為(2,2)，內(nèi)切圓方程為(x2)2(y2)24.設(shè)P(x，y)是圓上的動點，則S|PA|2|PB|2|PC|2(x8)2y2x2(y6)2x2y23x23y216x12y1003(x2)2(y2)24x763×44x76884x.點P在內(nèi)切圓上，0x4，Smax88，Smin72.評注本題通過坐標法將問

39、題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了最值問題的一般解決思路，值得注意的是，求最值問題一定要結(jié)合函數(shù)的定義域來進行13妙用對策簡解“圓”的問題在學(xué)習圓的知識時，往往會遇到一些綜合性強、運算量大的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是避開復(fù)雜運算，減少運算量現(xiàn)舉例介紹求解圓問題的三條簡解對策一、合理選用方程要學(xué)會選擇合適的“圓的方程”，如果方程選擇得當，運算量就會減少，解法就簡捷如果問題中給出圓心坐標關(guān)系，或圓心的特殊位置或半徑大小時，選用標準方程；否則，選用一般方程例1求圓心在直線2xy30上，且過點A(5,2)，B(3，2)的圓的方程解設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)因為圓過點A(5,2

40、)，B(3，2)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上易得線段AB的垂直平分線方程為y(x4)又因為圓心在直線2xy30上，所以由解得即圓心為(2,1)又圓的半徑r.所以圓的方程為(x2)2(y1)210.二、數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)求解直線與圓的位置關(guān)系問題時，為避免計算量過大，可以數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)求解比如，圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上；計算弦長時，可用半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形，涉及圓的切線時，要考慮過切點與切線垂直的半徑等例2已知直線l：ykx1，圓C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；(2)求直線l被圓

41、C截得的最短弦長方法一(1)證明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因為(24k)228(k21)>0，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(2)解設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則直線l被圓C截得的弦長|AB|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當t0時，k，當t0時，因為kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時|AB|最小為2.方法二(1)證明圓心C(1，1)到直線l的距離d，圓C的半徑R2，R2d212，而在方程11k24k80中，(4)24×11×8<0，故11k24k8&g

42、t;0對kR恒成立，所以R2d2>0，即d<R，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知識，知|AB|22 ，下同方法一方法三(1)證明因為不論k為何實數(shù)，直線l總過點P(0，1)，而|PC|<2R，所以點P(0,1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點P.所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(2)解由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點P(0,1)的弦，只有和AC (C為圓心)垂直時才最短，而此時點P(0,1)為弦AB的中點，由勾股定理，知|AB|22，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.評注在直線與圓的位置關(guān)系中，直線與圓相交時研究

43、與弦長有關(guān)的問題是一個重點內(nèi)容解決這類弦長問題時，注意運用由半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形三、設(shè)而不求，整體代入對于圓的一些綜合問題，比如弦的中點問題，常運用整體思想整體思想就是在處理問題時，利用問題中整體與部分的關(guān)系靈活運用整體代入、整體運算、整體消元(設(shè)而不求)、整體合并等方法，?？梢院喕\算過程，提高解題速度，并從中感受到整體思維的和諧美例3已知圓C：x2(y1)25，直線l：mxy1m0，設(shè)l與圓C交于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)當直線l不垂直于x軸時，依題意，得x(y11)25，x(y21)25.由，可得(x1x2)

44、(x1x2)(y1y22)(y1y2)所以.而直線恒過點(1,1)，所以.所以，即x2x(y1)20，即2(y1)2.當直線l垂直于x軸時，點M(1,1)也適合方程2(y1)2.綜上所述，點M的軌跡方程是2(y1)2.評注本題中設(shè)出A，B兩點的坐標，但求解過程中并不需要求出來，只是起到了中介橋梁的作用，簡化了解題過程這種設(shè)而不求，整體處理的技巧，常能起到減少運算量、提高運算效率的作用14“三注意”避免“三種錯”有關(guān)圓方程的求解一直是高考考查的重點和熱點，而其錯解問題一直困擾著同學(xué)們，常見的錯解主要有：“忽視隱含條件致錯”、“忽視多解過程致錯”、“忽視檢驗結(jié)論致錯”三種下面就如何從三個角度避免錯

45、解進行例說，以助同學(xué)們一臂之力一、注意條件，避免忽視隱含條件致錯圓方程問題的破解關(guān)鍵是“圓心”和“半徑”，特別是對于圓的一般方程，一定要注意其隱含條件，即r，r>0，否則，易造成增解或漏解例1若過點A(4,2)可以作兩條直線與圓C：(x3m)2(y4m)225(m4)2相切，則點A在圓C的_(填“外部”、“內(nèi)部”、“上面”)，m的取值范圍是_錯解因為過點A與圓有兩條切線，可見點A必在圓的外部因為點A在圓的外部，則有(43m)2(24m)2>25(m4)2，因此有240m<380，解得m<.故填外部，m<.剖析此題的錯解在于忽視了圓方程的半徑一定要大于0的隱含條件應(yīng)

46、注意條件25(m4)2>0.正解因為過點A與圓有兩條切線，可見點A必在圓的外部因為點A在圓的外部，則有(43m)2(24m)2>25(m4)2，因此有240m<380，解得m<.再結(jié)合圓的條件中半徑必須大于0，即有25(m4)2>0，所以m4，因此m的取值范圍是m<且m4.答案外部m<且m4二、注意過程，避免忽視多解過程致錯有關(guān)圓方程的問題在求解的過程中要特別注意增解的情況，因為決定圓方程的條件一般是兩個：“圓心”、“半徑”，但符合條件的圓往往不止一個，因此要特別注意多解的產(chǎn)生例2圓心在x軸上，半徑等于5，且經(jīng)過原點的圓的方程是_錯解因為圓心在x軸上，

47、半徑等于5，且經(jīng)過原點，所以圓心為(5,0)因此圓的方程為(x5)2y225.剖析造成以上錯解的原因是在解題過程中忽視了多種情況的存在性正解因為圓心在x軸上，半徑等于5，且經(jīng)過原點，所以圓心為(5,0)或(5,0)因此圓的方程有兩個，即(x5)2y225或(x5)2y225.答案(x5)2y225或(x5)2y225三、注意結(jié)論，避免忽視檢驗結(jié)論致錯圓方程的求解，對于求得的結(jié)論要注意檢驗，檢驗時要以事實為依據(jù)，對于題中的條件至結(jié)論要進行充分的挖掘，避免結(jié)論不嚴謹而出錯例3已知RtABC的斜邊為AB，點A(2,0)，B(4,0)，求點C滿足的方程錯解設(shè)C(x，y)，由于直角三角形斜邊上的中線長是

48、斜邊長的一半，如圖，這樣直角三角形斜邊上的中點為M(1,0)，則半徑為3，即得所求圓的方程為(x1)2y29.剖析因為忽視結(jié)論的檢驗，沒有注意到點C是直角三角形的頂點，即C點不能在直線AB上，因此造成錯解正解設(shè)C(x，y)，由于直角三角形斜邊上的中點為M(1,0)，如圖所示，則半徑為3，即得圓的方程為(x1)2y29.但是頂點C不能在直線AB上，因此y0，也就是要除去兩個點，即(2,0)，(4,0)，因此C點滿足的方程為(x1)2y29(除去點(2,0)，(4,0)以上三種錯解均錯于細節(jié)之處，但造成的后果卻是嚴重的，因此對于圓方程的破解既要掌握一般的常規(guī)方法，又要注意圓方程求解時的三個重要方面：一是注意隱含條件；二是注意多種情況；三是注意對個別點、線等特殊位置的檢驗只有掌握好這些細節(jié)問題才能順利破解有關(guān)圓方程的綜合問題15解析幾何中數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用一、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，實現(xiàn)代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化例1已知點P(x，y)在圓O：x2y21上，求(x2)2(y3)2的最小值分析從(x2)2(y3)2的幾何意義展開思維，通過數(shù)形結(jié)合，輔之以臨界點來求解解如圖，設(shè)點M(2,3)，則(x2)2(y3)2表示|PM|2.因為|MO|2(2)23213>1，所以點M在圓O