第一章 章末復(fù)習(xí)

1、章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、深化所學(xué)知識(shí).2.會(huì)畫幾何體的直觀圖，并能計(jì)算幾何體的表面積和體積.3.熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關(guān)系1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截而成的這三種幾何體都是多面體(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它們都稱為旋轉(zhuǎn)體在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問題時(shí)，常需作它們的軸截面或截面(3)由柱、錐、臺(tái)、球組成的簡(jiǎn)單組合體，研究它們的結(jié)

2、構(gòu)特征實(shí)質(zhì)是將它們分解成多個(gè)基本幾何體2空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法為：主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法它的主要步驟：畫軸；畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x、y、z軸的線段；截線段：平行于x、z軸的線段的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算(1)常見幾何體的側(cè)面積和體積的計(jì)算公式面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)hh(rrr1r2)直棱柱S側(cè)chVSh正棱錐S側(cè)chVSh正棱臺(tái)S側(cè)(cc)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3(2)求幾何體體積常用技巧等體積法；割補(bǔ)法4平

3、行關(guān)系(1)基本性質(zhì)4平行于同一條直線的兩條直線平行即如果直線ab，cb，那么ac.(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理?xiàng)l件結(jié)論符號(hào)語言判定如果不在一個(gè)平面的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行這條直線和這個(gè)平面平行l(wèi)，m，lml性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交這條直線和兩平面的交線平行l(wèi)，l，mlm(3)平面與平面平行的判定文字語言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語言：a，b，abP，a，b.圖形語言：如圖所示(4)平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)語言：，a，bab.

4、圖形語言：如圖所示作用：證明兩直線平行5垂直關(guān)系(1)直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面(2)直線與平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)1：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直符號(hào)表示：ab.性質(zhì)2：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行(3)面面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直(4)面面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面6共面與異面直線(1)共面：空

5、間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線，如果都在同一平面內(nèi)，我們就說它們共面(2)異面直線：既不平行又不相交的直線1菱形的直觀圖仍是菱形(×)2簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差()3夾在兩平行平面的平行線段相等()類型一空間幾何體的表面積與體積例1如圖，從底面半徑為2a，高為a的圓柱中，挖去一個(gè)底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比解由題意知，S12×2a×a2×(2a)2(48)a2，S2S1aa2(49)a2，S1S2(48)(49)反思與感悟空間幾何體的體積與表面積的計(jì)算方法(1)等積變換法：三棱錐

6、也稱為四面體，它的每一個(gè)面都可作底面來處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問題的求解(2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體體積的一個(gè)重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個(gè)熟悉的柱、錐、臺(tái)體或它們的組合體；“補(bǔ)”就是通過補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決(3)展開法：把簡(jiǎn)單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡(jiǎn)單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點(diǎn)間的距離問題(4)構(gòu)造法：當(dāng)探究某些幾何體性質(zhì)較困難時(shí)，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對(duì)稱性比較好的幾何

7、體，以此來研究所求幾何體的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求三棱錐A1AB1D1的高解設(shè)三棱錐A1AB1D1的高為h，則h××(a)2.又a×a2，所以，所以ha.所以三棱錐A1AB1D1的高為a.類型二空間中的平行問題例2如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)求證：(1)GE平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.證明(1)取B1D1中點(diǎn)O，連接GO，OB，易證OG綊B1C1，BE綊B1C1，OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形OBGE.OB平面BB1D1D，

8、GE平面BB1D1D，GE平面BB1D1D.(2)由正方體性質(zhì)得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1平面BDF.連接HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.反思與感悟(1)判斷線線平行的方法利用定義：證明線線共面且無公共點(diǎn)利用平行公理：證明兩條直線同時(shí)平行于第三條直線利用線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab.利用面面平行的性質(zhì)定理：，a，bab.利用線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab.(2)判定線面平行的方法利用定義：證明直線a與平面沒有公共點(diǎn)，往往借助反證法利用直

9、線和平面平行的判定定理：a，b，aba.利用面面平行的性質(zhì)的推廣：，aa.(3)判定面面平行的方法利用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)利用面面平行的判定定理：a，b，abA，a，b.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即a，a.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即，.跟蹤訓(xùn)練2如圖，ABC為正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中點(diǎn)，N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMN平面ABC.證明M，N分別是EA與EC的中點(diǎn)，MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，N為EC中點(diǎn)，EC2BD，NC綊BD，四邊形BCND為矩形

10、，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，平面DMN平面ABC.類型三空間中的垂直關(guān)系例3如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，且AECD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn)，將ADE沿AE折起，使得DEEC.(1)求證：AE平面CDE；(2)求證：FG平面BCD；(3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR平面DCB，并說明理由(1)證明由已知得DEAE，AEEC.DEECE，DE，EC平面DCE，AE平面CDE.(2)證明取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，GHBD，F(xiàn)HBC.GH平面BCD，BD平面BCD，GH平面BCD.同理，F(xiàn)H平面BCD，又GHFHH

11、，平面FHG平面BCD，GF平面FHG，GF平面BCD.(3)解取線段AE的中點(diǎn)R，DC的中點(diǎn)M，DB的中點(diǎn)S，連接MS，RS，BR，DR，EM，則MS綊BC.又RE綊BC，MS綊RE，四邊形MERS是平行四邊形，RSME.在DEC中，EDEC，M是CD的中點(diǎn)，EMDC.由(1)知AE平面CDE，AEBC，BC平面CDE.EM平面CDE，EMBC.BCCDC，EM平面BCD.EMRS，RS平面BCD.RS平面BDR，平面BDR平面DCB.反思與感悟空間中垂直關(guān)系的判定方法(1)判定線線垂直的方法利用線面垂直的性質(zhì)(若a，b，則ab)(2)判定線面垂直的方法線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性)線面

12、垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(ab，ba)面面垂直的性質(zhì)(，l，a，ala)面面平行的性質(zhì)(a，a)(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理(a，a)跟蹤訓(xùn)練3如圖，在ABC中，ACBCAB，四邊形ABED是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面ABED平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)(1)求證：GF平面ABC；(2)求證：平面EBC平面ACD；(3)求幾何體ADEBC的體積V.(1)證明如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，所以HGBC，HFDE.又因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以DEAB，從而HFAB.所以HF平面

13、ABC，HG平面ABC.又因?yàn)镚HHFH，所以平面HGF平面ABC，又GF平面HGF，所以GF平面ABC.(2)證明因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形，所以EBAB.又因?yàn)槠矫鍭BED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以BE平面ABC，所以BEAC.又因?yàn)镃A2CB2AB2，所以ACBC.又因?yàn)锽EBCB，所以AC平面BCE.又因?yàn)锳C平面ACD，從而平面EBC平面ACD.(3)解取AB的中點(diǎn)N，連接CN，因?yàn)锳CBC，所以CNAB，且CNABa.又平面ABED平面ABC，平面ABED平面ABCAB，所以CN平面ABED.因?yàn)镃ABED是四棱錐，所以VCABEDSABED·CNa2&

14、#183;aa3.即幾何體ADEBC的體積Va3.1已知圓錐的母線長(zhǎng)為10 cm，側(cè)面積為60 cm2，則此圓錐的體積為()A96 cm3 B48 cm3C96 cm3 D48 cm3答案A解析圓錐的側(cè)面積為rl10r60，得r6.則h8，所以圓錐的體積為r2h×62×896.2若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn)l1，l2，l3共面答案B解析當(dāng)l1l2，l2l3時(shí)，l1也可能與l3相交或異面，故A錯(cuò)；l1l2，l2l3l1l3，B正確；

15、當(dāng)l1l2l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D錯(cuò)3設(shè)有不同的直線m，n和不同的平面，下列四個(gè)命題中，正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，m，n，則C若，m，則mD若，m，m，則m答案D解析選項(xiàng)A中當(dāng)m，n時(shí)，m與n可以平行、相交、異面；選項(xiàng)B中滿足條件的與可以平行，也可以相交；選項(xiàng)C中，當(dāng)，m時(shí)，m與可以垂直，也可以平行等故選項(xiàng)A、B、C均不正確4.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)

16、，AP，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.答案a解析MN平面AC，平面PMNQ平面ACPQ，MNPQ，易知DPDQ，故PQDP.5.如圖，在棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求證：(1)直線PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.證明(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA.又因?yàn)镻A平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因?yàn)镈F5，故DF2DE2EF2，所以DEF90

17、76;，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因?yàn)锳CEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.1研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時(shí)可以通過作截面把空間幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題來解決另外，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決2轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為一、選擇題1.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中

18、點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，則()AEF與GH互相平行BEF與GH異面CEF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上DEF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上答案D解析因?yàn)镕，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且，所以GFBD，并且GFBD，因?yàn)辄c(diǎn)E，H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，所以EHBD，并且EHBD，所以EHGF，并且EHGF，所以EF與GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M，所以M面ABC，同理M面ACD，又面ABC面DACAC，所以M在直線AC上故選D.2下列命題中假命題是()A垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直B若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行C若一個(gè)平面經(jīng)

19、過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直D若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面相互平行答案A解析垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，A錯(cuò)誤；選A.3如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法：有水的部分始終呈棱柱狀；水面四邊形EFGH的面積不改變；棱A1D1始終與水面EFGH平行；當(dāng)EAA1時(shí)，AEBF是定值其中正確的說法是()A BC D答案C解析有水的部分始終呈棱柱狀：從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判斷正確；水面

20、四邊形EFGH的面積不改變：EF是可以變化的，EH不變的，所以面積是改變的，不正確；棱A1D1始終與水面EFGH平行：由直線與平面平行的判定定理及A1D1EH，可判斷正確；當(dāng)EAA1時(shí)，AEBF是定值：水的體積是定值，底面面積不變，所以正確故選C.4已知m，n是兩條不重合的直線，是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，m，則；若m，n，mn，則；若，則；若m，n是異面直線，m，m，n，n，則.其中真命題是()A BC D答案D解析對(duì)于，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，正確；對(duì)于，不滿足平面與平面平行的判斷定理，錯(cuò)誤；對(duì)于，平面，可能相交，錯(cuò)誤；對(duì)于，滿足平面與平面平行，正確5湖面上浮著

21、一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)冰面直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則這個(gè)球的半徑為()A13 cm B26 cmC13 cm D2 cm答案A解析冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設(shè)球心為O，冰面圓的圓心為O1，球半徑為R，由圖知OBR，O1BAB12，OO1OCO1CR8，在RtOO1B中，由勾股定理R2(R8)2122，解得R13(cm)6過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比值為()A. B. C. D.答案A解析如圖所示是過球心的截面圖，r R，.7.如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，則一質(zhì)點(diǎn)從A出

22、發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)為()A10 B9C8 D7答案A解析如圖所示，將兩個(gè)三棱柱的側(cè)面沿側(cè)棱AA1展開并拼接，則最短路徑為l10.8如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()AAECEBBEDECDE平面CEBD平面ADE平面BCE答案C解析由AB是底面圓的直徑，則AEB90°，即AEEB.四邊形ABCD是圓柱的軸截面，AD底面AEB，BC底面AEB.BEAD，ADAEA，因此BE平面ADE.同理可得：AECE，平面BCE平面ADE.可得A，B，D正確而DE平面CEB不正確故選C.二、填空題9一個(gè)正四面

23、體木塊如圖所示，點(diǎn)P是棱VA的中點(diǎn)，過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，若木塊的棱長(zhǎng)為a，則截面面積為_答案解析在平面VAC內(nèi)作直線PDAC，交VC于D，在平面VBA內(nèi)作直線PFVB，交AB于F，過點(diǎn)D作直線DEVB，交BC于E，連接EF.PFDE，P，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且面PDEF與VB和AC都平行，則四邊形PDEF為邊長(zhǎng)為的正方形，故其面積為.10.一個(gè)水平放置的圓柱形儲(chǔ)油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長(zhǎng)的，則當(dāng)油桶直立時(shí)，油的高度與桶的高度的比值是_答案解析設(shè)圓柱桶的底面半徑為R，高為h，油桶直立時(shí)油面的高度為x，由題意知，油部分所在圓弧對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為，則

24、hR2x，所以.11已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為_考點(diǎn)球的表面積題點(diǎn)與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問題答案144解析如圖所示，設(shè)球的半徑為R，AOB90°，SAOBR2.V三棱錐OABCV三棱錐CAOB，而AOB的面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，三棱錐OABC的體積最大，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，三棱錐OABC的體積最大，此時(shí)V三棱錐OABCV三棱錐CAOB×R2×RR336，解得R6，則球O的表面積為S4R2144.三、解答題12已

25、知三棱錐OABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，AOB120°，當(dāng)AOC與BOC的面積之和最大時(shí)，求三棱錐OABC的體積解設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾AOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以當(dāng)AOCBOC90°時(shí)，SAOCSBOC取得最大值，此時(shí)OAOC.OBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB，所以O(shè)C平面AOB，所以V三棱錐OABCV三棱錐COABOC·OA·OBsinAOBR3sinAOB.13如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，A1B1BC，BC1，AA1AC2，E，F(xiàn)分別為A1C1，BC的中點(diǎn)(1)求證：C1F平面EAB；(2)求三棱錐ABCE的體積(1)證明方法一取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.G，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)GAC，且FGAC.又ACA1C1，且ACA1C1，E為A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)GEC1，且FGEC1，四邊形FGEC1為平行四邊形，C1FEG.又EG平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE.方法二取AC中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H，則C1EAH，且C1EAH，四邊形C1EAH為平行四邊形，C1HEA.又EA平面ABE，C1H平面ABE，C1H平面ABE，H、F分