第1講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、第1講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【2013年高考會(huì)這樣考】1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程2考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算，尤其是簡(jiǎn)單的函數(shù)求導(dǎo)【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)充分利用具體實(shí)際情景，理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義，應(yīng)能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)求導(dǎo)基礎(chǔ)梳理1函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率為.若xx2x1，yf(x2)f(x1)，則平均變化率可表示為.2函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義稱函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率lili為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li.(2)幾何意義函

2、數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)處切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)3函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x)li為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)若f(x)c則f(x)0若f(x)xn則f(x)nxn1，n為自然數(shù)若f(x)x(x0，0)則f(x)x1，為有理數(shù)若f(x)sin x則f(x)cos x若f(x)cos x則f(x)sin x若f(x)ax(a>0，且a1)則f(x)axln_a若f(x)ex則f(x)ex若f(x)logax(a>0，且a1)則f(x

3、)若f(x)ln x則f(x)5.導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)6復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyu·ux. 一個(gè)區(qū)別曲線yf(x)“在”點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與“過(guò)”點(diǎn)P(x0，y0)的切線的區(qū)別：曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，若切線斜率存在時(shí)，切線斜率為kf(x0)，是唯一的一條切線；曲線yf(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，點(diǎn)P可以

4、是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條兩種法則(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三個(gè)防范1利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆2要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)別3正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，做到不重不漏雙基自測(cè)1下列求導(dǎo)過(guò)程中；()；(logax)；(ax)(eln ax)(exln a)exln aln aaxln a其中正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案D2(人教B版教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)(x2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析

5、f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)答案C3(2011·湖南)曲線y在點(diǎn)M處的切線的斜率為()AB.CD.解析本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力y，把x代入得導(dǎo)數(shù)值為.答案B4(2011·江西)若f(x)x22x4ln x，則f(x)0的解集為()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析令f(x)2x20，利用數(shù)軸標(biāo)根法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.故選C.答案C5如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0)_；li_(用數(shù)字作答)答案22

6、考向一導(dǎo)數(shù)的定義【例1】利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x3在xx0處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線f(x)x3在xx0處切線與曲線f(x)x3的交點(diǎn)審題視點(diǎn) 正確理解導(dǎo)數(shù)的定義是求解的關(guān)鍵解f(x0) (x2xx0x)3x.曲線f(x)x3在xx0處的切線方程為yx3x·(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，則交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0) 利用定義求導(dǎo)數(shù)的一般過(guò)程是：(1)求函數(shù)的增量y；(2)求平均變化率；(3)求極限li.【訓(xùn)練1】 利用導(dǎo)數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)證明

7、法一設(shè)yf(x)是奇函數(shù)，即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)f(x)f(x)li則f(x)lilif(x)因此f(x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)法二設(shè)yf(x)是奇函數(shù)，即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)f(x)，即f(x)f(x)因此f(x)f(x) f(x)f(x)則f(x)為偶函數(shù)同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)考向二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例2】求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin；(4)y；審題視點(diǎn) 先把式子化為最簡(jiǎn)式再進(jìn)行求導(dǎo)解(1)yxx3，y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)法一y(x23x2)(x3)x3

8、6x211x6，y3x212x11.法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)·(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(3)ysinsin x，y(sin x)cos x.(4)y，y. (1)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則是正確求導(dǎo)的基礎(chǔ)(2)必要時(shí)對(duì)于某些求導(dǎo)問(wèn)題可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式再求導(dǎo)【訓(xùn)練2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(x1)2(x1)解(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)

9、yexln xex·ex.(4)y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1，y3x22x1.考向三求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例3】求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y(2x3)5；(2)y；(3)ysin2；(4)yln(2x5)審題視點(diǎn) 正確分解函數(shù)的復(fù)合層次，逐層求導(dǎo)解(1)設(shè)u2x3，則y(2x3)5，由yu5與u2x3復(fù)合而成，yf(u)·u(x)(u5)(2x3)5u4·210u410(2x3)4.(2)設(shè)u3x，則y.由yu與u3x復(fù)合而成yf(u)·u(x)(u)(3x)u(1)u.(3)設(shè)yu2，usin v，v2x，則yxyu·uv&

10、#183;vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(4)設(shè)yln u，u2x5，則yxyu·uxy·(2x5). 由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程【訓(xùn)練3】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)ysin22x；(3)yexsin 2x; (4)yln.解(1)y·2x，(2)y(2sin 2x)(cos 2x)×22sin 4x(3)y(ex)sin 2

11、xex(cos 2x)×2ex(2cos 2xsin 2x)(4) y··2x.規(guī)范解答6如何求曲線上某一點(diǎn)的切線方程【問(wèn)題研究】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點(diǎn)的坐標(biāo)或某一點(diǎn)處的切線方程是高考常常涉及的問(wèn)題這類問(wèn)題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是分不清楚所求切線所過(guò)的點(diǎn)是不是切線而導(dǎo)致錯(cuò)誤【解決方案】解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是抓住切點(diǎn)看準(zhǔn)題目所求的是“在曲線上某點(diǎn)處的切線方程”還是“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，然后求某點(diǎn)處的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程【示例】(本題滿分12分)(2010·山東)已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2

12、)處的切線方程；(2)當(dāng)a時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性(1)求出在點(diǎn)(2，f(2)處的斜率及f(2)，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；(2)求f(x)，再對(duì)a分類討論解答示范 (1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln xx1，x(0，)所以f(x)，x(0，)，(1分)因此f(2)1，即曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為1.又f(2)ln 22，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(ln 22)x2，即xyln 20.(3分)(2)因?yàn)閒(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)(4分)令g(x)ax2x1a，x(0，)當(dāng)a0時(shí)，g(x)x1，x(0，)，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；(6分)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.a當(dāng)a時(shí)，x1x2，g(x)0恒成立，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；(7分)b當(dāng)0a時(shí)，110.x(0,1)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；x時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；(9分)c當(dāng)a0時(shí)，由于10，x(0,1)時(shí)，g(x)0，此時(shí)f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；