《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件之12

1、Ch3-13.5 3.5 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知r.v.( X ,Y )的概率分布 g(x, y) 為已知的二元函數(shù), 轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件問題方法求 Z = g( X ,Y )的概率分布Ch3-2當(dāng)( X ,Y )為離散r.v.時, Z 也離散),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2 , 1k當(dāng)( X ,Y )為連續(xù)r.v.時，)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz其中Ch3-3-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1

2、-0.500.51-1-0.500.51),(|),(:zyxgyxDz的幾何意義：DzCh3-4例例1 1 設(shè)二維設(shè)二維 r.v. ( X,Y )的概率分布為的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求求XYXYYXYX,的概率分布的概率分布離散型二維離散型二維 r.v.的函數(shù)的函數(shù)Ch3-5解解 根據(jù)( X,Y )的聯(lián)合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1

3、 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0Ch3-6故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181Ch3-7PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0h3-8q 設(shè) X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨立，具有可加性的兩個離散分布q 設(shè) X P (1), Y P (2), 且獨立，則 X + Y B ( n1+n2, p)則 X + Y P(1+ 2) Ch3-9X P(1), Y P(2), 則Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2

4、, , , ),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21!)(2121kek, 2 , 1 , 0k關(guān)于關(guān)于Poisson分布可加性的證明分布可加性的證明Ch3-10問題 已知隨機(jī)變量( X ,Y )的 d.f. g(x,y)為已知的二元函數(shù)，求求 Z= g( X ,Y ) 的 d.f.方法q 從求Z 的分布函數(shù)出發(fā),將Z 的分布函數(shù) 轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件q 建立新的二維r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其邊緣分布得Z 的 d.f.二維連續(xù)二維連續(xù)r.v.的分布的分布Ch3-11(1) 和的分布：和的分布：

5、Z = X + Y 設(shè)( X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x,y), 則 zzx +y= z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(zCh3-12特別地，若X ,Y 相互獨立，則dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX記作)()(zfzfYX記作) 1 (z) 2 (z) 4 (z稱之為函數(shù) f X ( z) 與 f Y ( z)的卷積 Ch3-13例例2 2 已知( X ,Y ) 的聯(lián)合d.f.為其他

6、, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一（圖形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY顯然X ,Y 相互獨立,且Ch3-14dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10)(dxxzfY, 20, 0zz或, 10,10zdxz, 21,111zdxzz-1 = xx21Ch3-1521,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 從分布函數(shù)出發(fā))()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z當(dāng)z 0 時，0)(zFZ1

7、yx1Ch3-16當(dāng)0 z 1 時，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzzCh3-17x+y = z當(dāng)1 z 2 時，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ 2)(z-11yx1zz) 1()( zzFZCh3-181yx1x+y = z22當(dāng)2 z 時，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或Ch3-19例例3 3 已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解解:dxxzxfzfZ),()(由公式（

8、1）Ch3-20zxz = xz = 2xx = 112當(dāng) z 2 , zzzz當(dāng) 0 z 1, 22/893)(zxdxzfzzZ當(dāng) 1 z 2, )41 (233)(212/zxdxzfzZf Z (z) = 0其他, 02, 10,3),(xzxxxxzxfCh3-21其他, 021),41 (2310,89)(22zzzzzfZ這比用分布函數(shù)做簡便Ch3-22 正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)論q 若X ,Y 相互獨立,),(),(222211NYNX則),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2 若nXXX,21相互獨立則),(1211niiniiniiNX推廣推廣Ch3-23(2)

9、 極值分布：即極大值，極小值的分布極值分布：即極大值，極小值的分布對于離散型隨機(jī)變量的極值分布可直接計算只討論相互獨立的隨機(jī)變量的極值分布Ch3-24maxX ,Y P1 00.75 0.25 例例6 6 X, Y 相互獨立, 都服從參數(shù)為 0.5 的0-1分布. 求 M = maxX ,Y 的概率分布解解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25Ch3-25設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X ,Y 相互獨立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函數(shù).),(max)(uYXPuFM),(uYuXP)()(uYPuX

10、P)()(uFuFYXCh3-26),(min)(vYXPvFN),(min1vYXP),(1vYvXP)()(1vYPvXP.)(1)(1 1vFvFYXCh3-27推廣推廣nXXX,21相互獨立，且相互獨立，且nixFXiii, 2 , 1),(設(shè)設(shè),min,max2121nnXXXNXXXM則則niiNniiMvFvFuFuF11)(1 (1)()()(Ch3-28例例7 7 系統(tǒng) L 由相互獨立的 n 個元件組成，其連接方式為 串聯(lián); 并聯(lián)；若 n 個元件壽命分別為nXXX,21niEXi, 2 , 1),(且求在以上 2 種組成方式下, 系統(tǒng) L 的壽命 X 的密度函數(shù).Ch3-29解解其它, 00,)(ixiXxexfii其它, 00,1)(i