課題：導數的應用--極值點

1、2022-3-1812022-3-182我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功開胃果（問題情境）開胃果（問題情境） 觀察下圖中觀察下圖中P點附近圖像從左到右的變化趨勢、點附近圖像從左到右的變化趨勢、P點的函數值以及點點的函數值以及點P位置的特點位置的特點o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2) 函數圖像在函數圖像在P點附近從左側到右側由點附近從左側到右側由“上升上升”變?yōu)樽優(yōu)椤跋陆迪陆怠保ê瘮涤蓡握{遞增變?yōu)閱握{遞減），在（函數由單調遞增變?yōu)閱握{遞減），在P點點附近附近，P點的位置最高，函數值最大點的位置最高，函數值最大2022-3-18

2、3 一般地，設函數一般地，設函數f(x)在在點點x0附近有定義附近有定義，如果對如果對x0附近的所有的點附近的所有的點,都有都有f(x)f (x0),我我們就說們就說f (x0)是函數是函數f(x)的一個極大值的一個極大值,記作記作y極大值極大值= f (x0)；如果對如果對x0附近的所有的點附近的所有的點,都有都有f(x)f (x0)，我們就說我們就說f (x0)是函數是函數f(x)的一的一個極小值，記作個極小值，記作y極小值極小值=f (x0). 極大值與極小值同稱為極值極大值與極小值同稱為極值.我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功函數極值的定義函數極值的定義 數學建構數

3、學建構2022-3-184 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 （1）極值是某一點附近的小區(qū)間而言極值是某一點附近的小區(qū)間而言 的的,是函數的局部性質是函數的局部性質,不是整體的最值不是整體的最值; （2）函數的極值不一定唯一函數的極值不一定唯一,在整個定在整個定義區(qū)間內可能有多個極大值和極小值；義區(qū)間內可能有多個極大值和極小值； （3）極大值與極小值沒有必然關系，極大值與極小值沒有必然關系，極大值可能比極小值還小極大值可能比極小值還小. 學生活動學生活動o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)2022-3-185 觀察圖像并類比于

4、函數的單調性與導數關系的研觀察圖像并類比于函數的單調性與導數關系的研究方法究方法,看極值與導數之間有什么關系看極值與導數之間有什么關系?我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功o a x0 b x y xx0 0左側左側 x0 x0 0右側右側 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左側左側 x0 x0 0右側右側 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0極大值極大值減減f (x) 0數學建構數學建構請問如何判斷請問如何判斷f (x0)是極大值或是極小值？是極大值或是極小值？左正右負為極大，右正左負為極小左正右負為極大，右正左負為極

5、小2022-3-186我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功函數函數y=f(x)的導數的導數y/與函數值和極值之間的關系為與函數值和極值之間的關系為( )A、導數、導數y/由負變正由負變正,則函數則函數y由減變?yōu)樵鲇蓽p變?yōu)樵?且有極大值且有極大值B、導數、導數y/由負變正由負變正,則函數則函數y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值C、導數、導數y/由正變負由正變負,則函數則函數y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極小值且有極小值D、導數、導數y/由正變負由正變負,則函數則函數y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值D學生活動學生活動2022-3-187小試牛刀篇小試牛刀篇(數

6、學運用數學運用)的的極極值值求求函函1 144313xxf(x)數：例 解解: : f (x)=x2- 4,由由f (x) =0解解得得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.當當x變化時變化時, , f (x) 、 f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表： f(x) f (x) x 當當x=2=2時時, ,y極小值極小值=28/3=28/3；當當x= =-2-2時時, , y極大值極大值=-4/3=-4/3. .(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 00 0- -+ +極大值極大值28/3極小值極小值- 4/3我行我行 我能我能 我要成

7、功我要成功 我能成功我能成功2022-3-188我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功小吃篇小吃篇求下列函數的極值求下列函數的極值xxy 11 ）（16128223 xxxy）（ 2022-3-189漸入佳境篇漸入佳境篇v探索探索: x =0是否為函數是否為函數f(x)=x3的極值點的極值點?x yOf ( (x) ) x3 3v 若尋找可導若尋找可導函數函數極值點極值點,可否可否只由只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ? f (x)=3=3x2 2 當當f (x)=0=0時，時，x =0=0，而而x =0=0不是不是該函數的極值點該函數的極值點. .f (x0) =0

8、=0 x0 是可導函數是可導函數f(x)的極值點的極值點 x0左右側導數異號左右側導數異號 x0 是函數是函數f(x)的極值點的極值點 f (x0) =0=0我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功注意：注意：f /(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件是函數取得極值的必要不充分條件2022-3-1810請思考求可導函數的極值的步驟請思考求可導函數的極值的步驟: 檢查檢查 在方程在方程 0的根的左右兩側的的根的左右兩側的 符號，確定極值點。符號，確定極值點。(最好通過列表法最好通過列表法) 確定函數的定義域；確定函數的定義域； 求導數求導數)(xf 求方程求方程)(xf =0

9、的根的根,這些根也稱為這些根也稱為可能可能極值點；極值點；)(xf )(xf 我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功一覽眾山小一覽眾山小v 強調強調:要想知道要想知道 x0是極大值點還是極小值是極大值點還是極小值點就必須判斷點就必須判斷 f (x0)=0=0左右側導數的符號左右側導數的符號.2022-3-1811 案例分析案例分析我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 函數函數 在在 時有極值時有極值1010，則，則a，b的值為（的值為（ ）( (選自選自高中數學中學教材全解高中數學中學教材全解薛金星主編）薛金星主編）A A、 或或 B B、 或或C C、 D

10、D、 以上都不對以上都不對 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 baC，解解:由題設條件得：由題設條件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或通過驗證，都合要求，故應選擇通過驗證，都合要求，故應選擇A。 注意：注意：f/(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件是函數取得極值的必要不充分條件注意代注意代入檢驗入檢驗 2022-3-1812我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功變式訓練變式訓練 函數函數f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既既有極大值，

11、又有極小值，則有極大值，又有極小值，則a的取值的取值范圍為范圍為 。12 aa或或注意：注意：導數與方程、不等式的結合應用導數與方程、不等式的結合應用2022-3-1813庖丁解牛篇庖丁解牛篇(感受高考感受高考）我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功 abxy)(xfyO abxy)(xfyO （2006年天津卷年天津卷)函數函數 的定義域為開區(qū)間的定義域為開區(qū)間)(xf導函數導函數 在在 內的圖像如圖所示，則函數內的圖像如圖所示，則函數在開區(qū)間在開區(qū)間 內有（內有（ ）個極小值點。）個極小值點。 A.1 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xf

12、Af (x) 0f (x) =0注意：注意：數形結合以及原函數與導函數圖像的區(qū)別數形結合以及原函數與導函數圖像的區(qū)別2022-3-1814我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功32( )f xaxbxcx2.(2.(2006年年北京卷北京卷) )已知函數已知函數在點在點 處取得極大值處取得極大值5,其導函數其導函數 的圖像的圖像(如圖如圖)過點（過點（1,0）,（2,0）, 求：求：（1） 的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；0 x( )yfx0 x2,9,12abc .10 x)0(23(2/ acbxaxxf）或或 23332acab庖丁解牛篇庖丁解牛篇(感受高考感受

13、高考）5)1( cbaf0412)2(023)1(/cbafcbaf 略解：略解：(1)由圖像可知：由圖像可知：(2)注意：注意：數形結合以及函數與方程思想的應用數形結合以及函數與方程思想的應用2022-3-1815一吐為快篇一吐為快篇（小結）（小結）本節(jié)課主要學習了哪些內容？本節(jié)課主要學習了哪些內容？請想一想？請想一想？我行我行 我能我能 我要成功我要成功 我能成功我能成功1、極值的判定方法、極值的判定方法2、極值的求法、極值的求法注意點：注意點：1、f /(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件是函數取得極值的必要不充分條件2、數形結合以及函數與方程思想的應用、數形結合以及函數與方程思想的應用3、要