必修二第三章直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)(答案)

1、必修二第三章直線與方程1直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是|0 °<a< 180 °2直線的斜率定義：傾斜角不是 90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k tan 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)直線I與x軸平行或重合時(shí),a =0° , k = tan0 ° =0;當(dāng)直線I與x軸垂直時(shí)，a = 90 ° , k 不存在.當(dāng)0 ,90 時(shí)，k 0 ；當(dāng)90 ,180 時(shí)，k

2、 0 ；當(dāng)90時(shí)，k不存在。過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k奐_(% x2) P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 工x2注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)xiX2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°(2) k與Pl、P2的順序無關(guān)；(3) 以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4) 求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。3直線方程點(diǎn)斜式：y y1 k(x xj直線斜率k,且過點(diǎn) 冷 注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為 90。時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因I上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于 X

3、1,所以它的方程是 X=X1。斜截式：y kx b，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為 b兩點(diǎn)式： _土 土為 x2 ,y1 y2直線兩點(diǎn) 冷 , x2 ,y2 y2 y1 X2 人截矩式： 1其中直線1 a b與x軸交于點(diǎn)(a,0),與 y軸交于點(diǎn)(0,b),即1與x軸、y軸的截距分別為a,b。-般式：Ax By C 0a, b不全為0注意：各式的適用范圍特殊的方程如：圧行于X軸的直線：y b b為常數(shù)；平行于y軸的直線：x a a為常數(shù)；6兩直線平行與垂直當(dāng)i l1 : y k1x b1, l2 : y k2x b2時(shí)，l1 /12 k1 k2,b1 b2 ；11 12kt k?1注意：利

4、用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。 7兩條直線的交點(diǎn)l1 : A1x B y C1 0 I2 : A2X IB2 y C2 0相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 A1X B1y C1 0的一組解。A2X B2y C20方程組無解li /I2 ；方程組有無數(shù)解li與12重合8兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(xi,yj,(X2,y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),那么 |AB| J(X2 Xi)2® yi)29點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P x0,y0到直線li : Ax By C 0的距離d 冷。_ By。c| vA2 btio兩平行直線距離公式兩條平行線直線li和l2的一般式方程為li : Ax

5、By Ci 0，I2: Ax By C2 0,那么li與丨2的距離為d F C2Ja2 b2直線的方程i.設(shè)a，b，c是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)， 如果Aa，a3、B b,b3、Cc,c3在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明/ AB、C三點(diǎn)共線，.kAB=kAC,3. 3.abab33a c，化簡得 a2+ab+b2=a2+ac+c2,a c/ b2-c2+ab- ac=0， b-c a+b+c=0，/ a、b、c 互不相等，b-c工0，二 a+b+c=0.2.假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2) 2+y2=3,那么y的最大值為xB. 3C. 3答案 D3.求經(jīng)過點(diǎn)A-5，2且在x軸上的截距等于在

6、y軸上的截距的2倍的直線方程;解 當(dāng)直線l在x、y軸上的截距都為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為y=kx.將-5，2代入y=kx中，得k=-，此時(shí)，直線方程為52y=- x,5即 2x+5y=0.當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時(shí),設(shè)所求直線方程為2a2 =1,將-5 , 2代入所設(shè)方程，解得a=-丄,a2此時(shí)，直線方程為x+2y+仁0.綜上所述，所求直線方程為4.直線l經(jīng)過點(diǎn)P3, 2且與x , y軸的正半軸分別交于x+2y+1=0 或 2x+5y=0.A B兩點(diǎn)， OAB的面積為12,求直線l的方解 方法一 設(shè)直線l的方程為-上1 a> 0, b > 0a bA(a,0), B(0, b),a

7、b 24,32 解得1.a ba 6,b 4.所求的直線方程為6 1,即2x+3y-i2=°.方法二 設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3).令y=0,得直線I在x軸上的截距a=3- 2 ,令x=0,得直線I在y軸上的截距b=2-3 k. k32 (2-3 k)=24.解得 k=- 2.二所求直線方程為 y-2二-(x-3).即 2x+3y-12=0.k332，假設(shè)直線I : x+my+n=0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的與線段PQ有交點(diǎn)，所求m的取329.線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-1，1、 2, 取值范圍.值范圍是-2 w m .32方法二 過P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y-仁 (x+1),即

8、y = x + 4 ,代入x+my+n=0, 2 133整理，得x=- 7m .由-1 w- 7m w 2,解得-2 wmW .m 3m 332兩直線方程例 1 直線 L:ax+2y+6=0 和直線 l2:x+(a-1) y+a2-1=0, 1試判斷丨1與l 2是否平行;211丄I 2時(shí)，求a的值.解 1方法一 當(dāng) a=1 時(shí)，11： x+2y+6=0,1 2： x=0, I 1 不平行于 l 2： 當(dāng) a=0 時(shí)，11: y=-3, I 2: x- y-1=0, 11 不平行于 12;當(dāng)a工1且a工0時(shí)，兩直線可化為21 aa1I 1 / 1 221 a ，解得 a=-1,3(a 1)綜上可

9、知，a=-1時(shí)，I1 / I 2，否那么I1與I 2不平行11: y =- x -3, 12： y= x -( a+1),方法二 由 A1B>AB=0，得 a a-1-1 X2=0，由 AG-AG 工 0,得 a(a2-1)-1 X 6 工 0,11 / I 2a(a 1) 1 202a(a2 1)1 602a2 a 202a=-1,a(a21)6故當(dāng)a=-1時(shí)，I" 12,否那么丨1與12不平行.2方法一 當(dāng)a=1時(shí)，I 1：x+2y+6=0, 12： x=0, 11與I 2不垂直，故a=1不成立.當(dāng) a工 1 時(shí)，11： y =- a x-3, 12： y = x -( a

10、+1), 由 21 a2丄=-11 aa=2.3方法二 由 AA+BB2=0，得 a+2(a-1)=0a=2 .3例3直線I過點(diǎn)P3, 1且被兩平行線I1：x+y+1=0, I2：x+y+6=0截得的線段長為5,求直線I的方程.解方法一假設(shè)直線I的斜率不存在，_那么直線I的方程為x=3，此時(shí)與l2的交點(diǎn)分別是A 3, -4，B3, -9丨，截得的線段長| AB=|-4+9|=5,符合題意.假設(shè)直線I的斜率存在時(shí)，那么設(shè)直線I的方程為y=k(x-3)+1,分別與直線li,丨2的方程聯(lián)立,由yk(x3)1 ,解得A3k2 14kxy 10k1 , k18分由yk(x3)1,解得B3k7 19kxy

11、 60k1 k1由兩點(diǎn)間的距離公式，得23k 2 3k 7 21 4k+k 1 k 1k 11 9kk 1=25,解得k=0,即所求直線方程為y=1.綜上可知，直線I的方程為x=3或y=1.方法二 設(shè)直線 I 與丨1,丨2分別相交于 A(x1, y1), B(x2, y2),那么 X1+y1+1=0, X2+y2+6=0,兩式相減，得(X1-X2)+( y1-y2)=56 分又(X1- X2) 2+( y1- y2) 2=25聯(lián)立可得X1 X2 5或X1 X2 0 ,10分y1y20 y1 y2 5由上可知，直線I的傾斜角分別為0°和90°,故所求的直線方程為x=3或y=1

12、.例4求直線11： y=2x+3關(guān)于直線I:y=x+1對稱的直線I 2的方程.解 方法一 由y 2x 3 知直線L與I的交點(diǎn)坐標(biāo)為-2，-1，y x 1設(shè)直線 I 2的方程為 y+1= k(x+2),即 kx- y+2k-1=0.在直線I上任取一點(diǎn)1，2，由題設(shè)知點(diǎn)1，2到直線丨1、丨2的距離相等, 由點(diǎn)到直線的距離公式得k 2 2k 1 _22 3|解得k= 1 ( k=2舍去)，二直線丨2的方程為x-2y=0.2方法二設(shè)所求直線上一點(diǎn) P x, y,那么在直線I 1 上必存在一點(diǎn)P1X0,y。與點(diǎn)P關(guān)于直線I對稱.由題設(shè)：直線PP與直線I垂直，且線段PP的中點(diǎn)3?11P2 U,2在直線I上

13、.x0 x，變形得X。 y 1,22y y。 x x。yo x 12 2代入直線I 1：y=2x+3,得x+1=2X (y-1)+3,整理得x-2 y=0.所以所求直線方程為 x-2y=0.直線與方程1. 設(shè)直線I與x軸的交點(diǎn)是P,且傾斜角為，假設(shè)將此直線繞點(diǎn) P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45° ,得到直線的傾斜角為 +45 °，那么 A.0 ° << 180°B.0 ° << 135°C.0°<< 135 °D 0°<< 135°答案D2.曲線y=x3-2

14、x+4 在點(diǎn)1，3處的切線的傾斜角為 A30 °B45 °C.60 °D120 °答案B3.過點(diǎn)M-2，m，N m, 4的直線的斜率等于1，那么m的值為()A.1B.4C1或3D.1 或 4答案A4.過點(diǎn)P-1，2且方向向量為a=-1 , 2的直線方程為 A2x+y=0B. x-2 y+5=0C. x-2 y=0D. x+2y-5=0答案A5. 一條直線經(jīng)過點(diǎn) A-2 , 2，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,那么此直線的方程為 .答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0f 典例剖析例 1 三點(diǎn) A 1，-1 丨，B 3, 3，C 4，5. 求證

15、：A B、C三點(diǎn)在同一條直線上.證明/ A 1，-1 丨，B 3，3，C4，5，/ kAB=2,3 1kBC= 54=2， kAE=kBC，3 A B、C三點(diǎn)共線.例 2 實(shí)數(shù) x, y 滿足 y=x2-2x+2 (-1 <x< 1).試求：-_3的最大值與最小值.x 2解 由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P -2，-3丨與曲線段AB上任一點(diǎn)x,y的直線的斜率k,x 2如圖可知：kpA< k< kpB,由可得：A 1，1，B-1，5， 4 < k< 8,故 心的最大值為8，最小值為4 .3x 23例3求適合以下條件的直線方程：1經(jīng)過點(diǎn)P3，2，且在兩坐標(biāo)軸上

16、的截距相等；2經(jīng)過點(diǎn)A-1，-3丨，傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍. 解 1方法一 設(shè)直線I在x, y軸上的截距均為a,假設(shè)a=0，即I過點(diǎn)0， 0和3，2， I的方程為y=-x，即2x-3y=0.3假設(shè)a工0，那么設(shè)l的方程為-ya b1，V l 過點(diǎn)3，2， 3a1， a=5，.l 的方程為 x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3 y=0或x+y-5=0.方法二由題意知，所求直線的斜率k存在且k工0,2設(shè)直線方程為 y-2=k(x-3),令 y=0,得 x=3- 2 ,令 x=0,得 y=2-3k,k由 3- 2 =2-3 k，解得 k=-1 或 k=2, 直線 I 的方程

17、為：y-2=- x-3 丨或 y-2= _?(x-3), k33即 x+y-5=0 或 2x_3y=0.2由：設(shè)直線y=3x的傾斜角為，那么所求直線的傾斜角為 2/ tan =3, tan2 = 一 =- 3 .又直線經(jīng)過點(diǎn) A -1 , -3，、 1 tan24因此所求直線方程為 y+3二3 (x+1),即3x+4y+15=0.4例4 12分過點(diǎn)P2, 1的直線I交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使:1 AOE面積最小時(shí)l的方程；2| PA | PE|最小時(shí)I的方程.方法一設(shè)直線的方程為-y 1 ( a>2, b> 1),由可得2a11211 =1，. ab?8 二 SAaoe=

18、 ab a 4. ab2當(dāng)且僅當(dāng)2 = 1=1,即a=4, b=2時(shí)，Saob取最小值4,此時(shí)直線I的方程為彳a b 24=1,即 x+2y-4=0. 6 分2(2)由 2+丄=1,得 ab- a-2b=0, 變形得(a-2)( b-1)=2, a bI PA| I PE|=J(2a)2(10)2 (20)2 (1b)2=J(2a)21【(1 b)24 a2(a2) 4(b 1)當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1, b-1=2,即a=3, b=3時(shí)，| PA | PE|取最小值4.此時(shí)直線I的方程為x+y-3=0. 方法二 設(shè)直線I的方程為y-1=k(x-2) ( k< 0),1那么I與x軸、y軸正半軸

19、分別交于 A 2 -,0、B0，1-2k k '1111-2 k= 一 X 4 ( 4k)() a 4+4=4.2k2當(dāng)且僅當(dāng)-4 k=- 1 ,即k=- 1時(shí)取最小值，此時(shí)直線k2I 的方程為 y-1=- 1 ( x-2),即 x+2y-4=0.2當(dāng)且僅當(dāng) ±=4k2,即k=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)直線I的方程為y-1=-( x-2),即x+y-3=0.k2活頁作業(yè)一、選擇題1. 過點(diǎn)1，3作直線I，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)a, 0和0, b，且a N , b N,那么可作出的I的條數(shù)為A.1E.2C.3D.4答案 E2. 經(jīng)過點(diǎn)P 1, 4的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正的，且截距之和最小

20、，那么直線的方程為E.2 x+y-6=0D. x-2 y-7=0A. x+2y-6=0C. x-2y+7=0答案 B3. 假設(shè)點(diǎn)A2, -3是直線aix+biy+1=0和a2X+b2y+1=0的公共點(diǎn)，那么相異兩點(diǎn)a , b和a?, b2所確定的直線方程是A.2 x-3 y+1=0B3x-2y+1=0C.2 x-3y-1=0D3x-2y-仁0答案 A二、填空題4. a > 0,假設(shè)平面內(nèi)三點(diǎn)A 1,-a，B 2,a2，C 3,a3共線，_那么a= .答案 1+ 25. 兩點(diǎn) A-1，-5丨，B 3，-2，假設(shè)直線I的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，那么I的斜率是三、解答題6. 線段PQ兩端

21、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-1， 1、 2，2，假設(shè)直線I : x+my+n=0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的 取值范圍.解 方法一 直線x+my+n=0恒過A 0，-1丨點(diǎn).1 112313121kAP=-2， kAc= ，那么- > 或-< -2，: -一 < me _ 且 0.0 1022m 2 m32又t m=0時(shí)直線x+my+mFO與線段PQ有交點(diǎn)，二所求 m的取值范圍是-2 e me 1 .32方法二 過P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y-1= _ (x+1),即 y=x+4,代入 x+my+T=0,整理，得 x=- 7m .2 133m 37m21由-1 e -上工e 2,解得-2 e me丄.m 3327. 直線I與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足以下條件的直線I的方程:1過定點(diǎn)A-3，4； 2斜率為 丄.6解 1設(shè)直線I的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是-«-3，3k+4,k由，得3k+4 4 +3=± 6,k解得匕=-2或k2=- 8 .3 3直線I的方程為2x+3y-6