中考數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題解法

1、中考數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題解法在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問(wèn)題，稱為最值問(wèn)題。（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值;解決平面幾何最值問(wèn)題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值;（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法。應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值典型例題:例 1.如圖，/MON=90,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM , ON上，當(dāng)B在邊ON

2、上運(yùn)動(dòng)時(shí),D到點(diǎn)OA隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)的最大距離為【DA.我1D.例2.在銳角三角形 ABC中,BC= 4<2 , / ABC=45BD平分/ ABC , M、川 分別是 BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是例3.如圖，圓柱底面半徑為2cm,高為9 cm,點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B,求棉線最短為cm。練習(xí)題:1 .如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【A.13

3、cmB.12cmC.10cmD.8cm2 .如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm,AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且PC=2BC.3只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是1】3 .如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP,則BPG的周長(zhǎng)的最小值是.二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.（2012山東萊蕪4分）在ABC中，AB=AC=5,BC=6.若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是.例2.如圖，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°，點(diǎn)P,Q,K分別為線段B

4、C,CD,BD上的任意一點(diǎn),則PK+QK的最小值為【】A.1B.73C.2D.73+1例3.已知梯形ABCD,AD/BC,AB±BC,AD=1,AB=2,BC=3,問(wèn)題1:如圖1,P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ,DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？問(wèn)題2:如圖2,若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.問(wèn)題3:若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD至ijE,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)

5、求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.問(wèn)題4:如圖3,若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E,使AE=nPA（n為常數(shù)），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例4.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)B在直線yx上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【A. (0, 0)1一）2D.(五,例5.如圖，在4ABC中，/C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論:4DFE是等腰直

6、角三角形;四邊形CEDF不可能為正方形;四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化;點(diǎn)C到線段EF的最大距離為泥.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【A. 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D. 4個(gè)例6.如圖，長(zhǎng)方形紙片 ABCD中，AB=8cm,AD=6cm ,按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖:巳沿EB, EC剪下一個(gè)三角形紙片第一步：如圖，在線段AD上任意取一點(diǎn)EBC（余下部分不再使用）;第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M ,線段BC上任意取一點(diǎn)N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分;第三步：如圖，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,使線段G

7、B與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°,使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片.（注：裁剪和拼圖過(guò)程均無(wú)縫且不重疊）則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為上cm,最大值為cm.管卸例 8.如圖，4ABC 中，/BAC=60/ ABC=45D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AD為直徑畫OO分別交AB , AC于EF,連接EF,則線段EF長(zhǎng)度的最小值為 A例9.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4,/BAD=120°,4AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC.CD上滑動(dòng)，且E、F不與B.C.D重合.(1)證明不論E、F在BC.

8、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF;(2)當(dāng)點(diǎn)E、F在BC.CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和4CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大(或最小)值.例10.在銳角4ABC中，AB=4,BC=5，/ACB=45°,將4ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得至UAAiBCi.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)Ci在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求/CCiAi的度數(shù)；（2）如圖2,連接AAi,CCi.若ABAi的面積為4,求ACBCi的面積;（3）如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在4ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)Pi,求線段EPi長(zhǎng)度的最大值與最小

9、值.例11.如圖，在4ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE,且/1=/B=/C.（1）由題設(shè)條件，請(qǐng)寫出三個(gè)正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過(guò)程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）答：結(jié)論一：;結(jié)論二：;結(jié)論三：.（2）若/B=45°,BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），求CE的最大值；若4ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng).（注意：在第（2）的求解過(guò)程中，若有運(yùn)用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）練習(xí)題：1.如圖，OP平分/MON,PAXON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2,則PQ的最小值為【】A、1B、2

10、C、32如圖，等腰梯形ABCD中，AD/BC(1)求證：AMDC是等邊三角形;(2)將4MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E,F和點(diǎn)A構(gòu)成4AEF.o0D、4AD=AB=CD=2,/C=60M是BC的中點(diǎn).（即MD'）與AB交于一點(diǎn)E,MC（即MC'）試探究AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值.如果不存在,同時(shí)與AD交于請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出4AEF周長(zhǎng)的最小值.crDF3.如圖，OO的半徑為2,點(diǎn)O到直線的距離為3,點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ切。于點(diǎn)Q,則PQ的最小值為【A.錯(cuò)誤！未找到引用源。C.34.如圖，在四邊形ABCD中，/A=90,AD=4,連接BD,BD

11、77;CD,/ADB=/C.D.2若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為A.15.如圖，在RtABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B-C-A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).(1)求AC、BC的長(zhǎng)；(2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(秒)，4PBQ的面積為y(cm2),當(dāng)4PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQXAB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與4ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)當(dāng)

12、x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M,使4BCM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.三、應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm.例2.如圖，四邊形ABCD中，/BAD=120°,/B=/D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,>AAMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則ZAMN+/ANM的度數(shù)為【A. 130B. 120 ° C, 110 ° D, 100例3.點(diǎn)

13、A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.若P是x軸上使得|PAPB的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn),則OPOQ=A例4.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為例5.如圖，MN為。的直徑，A、B是。上的兩點(diǎn)，過(guò)A作ACLMN于點(diǎn)C,過(guò)B作BDLMN于點(diǎn)D, P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN=20,AC=8,BD=6,貝UPA+PB的最小值是例6.閱讀材料：例：說(shuō)明代數(shù)式7x217(x3)2+4的幾何意義，并求它的最小值.解：Jx21J(x3)24J(x0)212J(x3)222,如圖

14、，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P(x,0)是x軸上一點(diǎn)，則J(x0)212可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A(0,1)的距離，J(x3)222可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A',則PA=PA',因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值，而點(diǎn)A'、B間的直線段距離最短，所以PA'+PB的最小值為線段A'B的長(zhǎng)度.為此，構(gòu)造直角三角形A'CB,因?yàn)锳'C=3,CB=3，所以A'B=3J2,即原式的最小值為3灰。根據(jù)以上閱讀材

15、料，解答下列問(wèn)題：(1)代數(shù)式而1)21J(x2)29的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(1,1)、點(diǎn)B的距離之和.(填寫點(diǎn)B的坐標(biāo))(2)代數(shù)式&49Jx212x37的最小值為.例7.在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題。A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方,如圖（1）,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向可使所用的輸氣管線最短?你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法.他把管道l看成一條直線（圖（2）,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和

16、最小.他的做法是這樣的:作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'.連接AB'交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求.請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題.如圖在4ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P,使4PDE得周長(zhǎng)最小.（1）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請(qǐng)直接寫出4PDE周長(zhǎng)的最小值:練習(xí)題:1.如圖，已知點(diǎn)A(1,1)、B(3,2),且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則AABP的周長(zhǎng)的最小值為2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1,2),B(3,3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C(a,1),當(dāng)a=時(shí),AC十BC的值最小.3.去冬今春，濟(jì)寧市遭遇了20

17、0年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問(wèn)題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)。兩村的坐標(biāo)分別為A(2,3),B(12,7)。(1)若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在距離大橋。多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短?(2)水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方，可使它到張村、李村的距離相等?4.如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是4, /DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值【A、2B、4D、C、2V24.25.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC

18、=8,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)4AEF的周長(zhǎng)最小時(shí),則 DF的長(zhǎng)為【C. 3A. 1B. 2D. 46.如圖，在菱形 ABCD中，對(duì)角線AC=6,BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是A. 3B. 4C. 5D. 67.如圖，在梯形 ABCD 中，AB/CD, / BAD=90° , AB=6 ,對(duì)角線 AC平分/ BAD，點(diǎn)E在AB上,且AE=2(AEVAD),點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是A£四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值：典型例題:例1.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm,M

19、、N分別是BC.CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM±MN,當(dāng)BM二Acm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為cm2.例2.如圖，線段AB的長(zhǎng)為2,C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形4ACD和ABCE,那么DE長(zhǎng)的最小值是例3.在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)(P與B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)P作AP，PE,垂足為P,PE交CD于點(diǎn)E.(1)連接AE,當(dāng)4APE與4ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng);(2)若設(shè)BP為x,CE為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少?若PE/BD,試求出此時(shí)BP的長(zhǎng).例4.如圖

20、，在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,F為AD的中點(diǎn)，CELAB于E,設(shè)/ABC=a(60°<a<90°).(1)當(dāng)a=60°時(shí)，求CE的長(zhǎng);(2)當(dāng)60°va<90°時(shí),是否存在正整數(shù)k,使得/EFD=k/AEF?若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時(shí)，求tanZDCF的值.例5.等邊ABC的邊長(zhǎng)為2,P是BC邊上的任一點(diǎn)(與B、C不重合)，連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊4APD和等邊4APE,分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N(如圖1)。(1)求證：AM=AN;(2)設(shè)BP=

21、x。若，BM=3,求x的值；8記四邊形ADPE與4ABC重疊部分的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；連接DE,分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H(如圖2),當(dāng)x取何值時(shí)，/BAD=150?并判斷此時(shí)以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由。例6.如圖，已知半徑為2的。與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C,PC與。O交于點(diǎn)D,連接PA、PB,設(shè)PC的長(zhǎng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。,5當(dāng)x= 5錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度;當(dāng)x為何值時(shí)，PD的值最大？最大值是多少?例7.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的

22、正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.(1)求證：ZAPB=ZBPH;(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，4PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例8.如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3+J3.(1)如圖，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上.在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F&

23、#39;P'N',且使正方形E'F'P'N'的面積最大(不要求寫作法)；(2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的邊長(zhǎng)；(3)如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得D、EF在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值，并說(shuō)明理由.圖°例9.如圖，在4ABC中，Z C=90BC=5米，AC=12米.M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（1 ）當(dāng)t為何值時(shí),ZAMN=

24、 Z ANM ?（2）當(dāng)t為何值時(shí), AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值.C例10.如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8,0）、（0,6）,點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接 PQ ,若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0vtv電）秒.解答如下問(wèn)題:3（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ/BO?（2）設(shè)4AQP的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值;若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（X1, y1），（X2, y2）,則新坐標(biāo)（X2- X1, y2- y1）稱為“向量 PQ”的坐標(biāo).當(dāng)S取最

25、大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo).例14.在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與4POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B,(1)求證：MA=MB(2)連接AB,探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中，4AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。請(qǐng)說(shuō)明理由。例15.(2012江蘇南京8分)某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成，如圖，在eO1和扇形02cD中，e01與O2C、O2D分別相切于A、B,CO2D60,E、F事直線O1O2與e01、扇形O2CD的兩個(gè)交點(diǎn)，EF=24cm,設(shè)e01的半徑為xcm,用含x的代數(shù)

26、式表示扇形02cD的半徑；若eO1和扇形02cD兩個(gè)區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當(dāng)eO1的半徑為多少時(shí)，該玩具成本最?。縊iO2例16.(2012湖南婁底10分)如圖，在4ABC中，AB=AC,/B=30°,BC=8,D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4,ADEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點(diǎn)M,邊EF交邊AC于點(diǎn)N.(1)求證：ABMDscne;(2)當(dāng)BD為何值時(shí)，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切?圍)；當(dāng)x為何值時(shí),(3)設(shè)BD=x,五邊形ANEDM的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式(要求寫出自變量x的取值范練習(xí)題:1. (2011寧

27、夏自治區(qū)10分)在等腰ABC中，AB=AC=5,BC=6.動(dòng)點(diǎn)M、N分別在兩腰AB、AC上(M不與A、B重合，N不與A、C重合)，且MN/BC.將4AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P.(1)當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上?(2)當(dāng)MN=x,AMNP與等腰ABC重疊部分的面積為y,試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少?/ B=602. (2011福建龍巖14分)如圖，在直角梯形ABCD中，ZD=/BCD=90點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E不與D重合)，過(guò)點(diǎn)E作EF/AC,交AD于點(diǎn)F(當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合).把DEF沿EF對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G

28、,設(shè)DE=x,AGEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y。(1)求CD的長(zhǎng)及/1的度數(shù)；(2)若點(diǎn)G恰好在BC上，求此時(shí)x的值；(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？3. (2011浙江杭州12分)圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，又關(guān)于直線AC,BD對(duì)稱，AC=10,BD=6,已知點(diǎn)E,M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)。到EF,MN的距離分別為h1,h2,4OEF與OGH組成的圖形稱為蝶形。(1)求蝶形面積S的最大值；(2)當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時(shí)，求h1與卜2滿足的關(guān)系式，并求卜2的取值范圍。4. (2011江蘇宿遷12分)如圖，在邊長(zhǎng)為2

29、的正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，Q為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DQ=t(0WtW2),線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N,過(guò)Q作QELAB于點(diǎn)E,過(guò)M作MFBC于點(diǎn)F.(1)當(dāng)twi時(shí)，求證：PEQANFM;(2)順次連接P、M、Q、N,設(shè)四邊形PMQN的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值.a5. (2011江蘇淮安12分)如圖，在RtABC中，/C=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)P在AB上,AP=2。點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分另1J沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停

30、止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH,使它與4ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t>0),正方形EFGH與4ABC重疊部分面積為S.(1)當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是;當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是;(2)當(dāng)0vtW2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？6. (2011內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰14分)如圖(圖1,圖2),四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在線段BC上，ZAEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,FN±B

31、C.(1)若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)(如圖1),AE與EF相等嗎？（2）點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2）,設(shè)BE=x,ECF的面積為y.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值.五、應(yīng)用其它知識(shí)求最值：典型例題：例 1. （2011山東濱州3分）如圖.在 4ABC 中，/ B=90 ° ,Z A = 30 ° , AC = 4cm ,將 ABC繞頂點(diǎn) C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至 A'B'C的位置，且 A、C、B'三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn) A所經(jīng)過(guò)的最短路線的長(zhǎng)為【A、4 J3Gm錯(cuò)誤!未找到引用源D、8 cm錯(cuò)誤！未找到引用源。3B、8cm 8c

32、mC、16cm錯(cuò)誤！未找到引用源。例2.（2012廣西來(lái)賓3分）如圖，已知線段OA交。O于點(diǎn)B,且OB=AB，點(diǎn)P是。O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么/OAP的最大值是【A. 30B. 45° C. 60° D. 90例3.（2011貴州貴陽(yáng)3分）如圖，4ABC中，ZC=90°,AC=3,/B=30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則AP長(zhǎng)不可能是【】A、3.5B、4.2C、5.8D、7例4.（2012河北省12分）如圖1和2,在4ABC中，AB=13,BC=14,cos/ABC=.13探究：如圖1,AH±BC于點(diǎn)H,則AH=,AC=,AABC的面積S*bc=;拓

33、展：如圖2,點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A,C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E,F,設(shè)BD=x,AE=m,CF=n（當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為Saabd=0）（1）用含x,m,n的代數(shù)式表示Saabd及Sacbd；（2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D,指出這樣的x的取值范圍.發(fā)現(xiàn)：請(qǐng)你確定一條直線，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^(guò)程），并寫出這個(gè)最小值.例5.（2011河北省10分）如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6,點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn).思考如圖1,圓心為0的半圓形紙片在

34、AB,CD之間（包括AB,CD）,其直徑MN在AB上，MN=8,點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)，設(shè)ZMOP=a.當(dāng)a=度時(shí),點(diǎn)P到CD的距離最小，最小值為.探究一在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB,CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動(dòng)為止，如圖2,得到最大旋轉(zhuǎn)角ZBMO=度,此時(shí)點(diǎn)N到CD的距離是.探究二將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對(duì)a的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點(diǎn)M在AB,CD之間順時(shí)針旋轉(zhuǎn).（1）如圖3,當(dāng)a=60°時(shí)，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P至ijCD的最小距離，并請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)角ZBMO的最大值；（2）如圖4,在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，要保證點(diǎn)P能落在直線CD上，請(qǐng)確定a的

35、取值范圍.（參考數(shù)楣：sin490=錯(cuò)誤！未找到引用源。，cos41。=錯(cuò)誤!未找到引用源。，tan370=錯(cuò)誤！未找到引用源。.）例6.（2011四川成都4分）在三角形紙片ABC中，已知ZABC=90。，AB=6,BC=8.過(guò)點(diǎn)A作直線l平行于BC,折疊三角形紙片ABC,使直角頂點(diǎn)B落在直線l上的T處，折痕為MN.當(dāng)點(diǎn)T在直線l上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)M、N也隨之移動(dòng).若限定端點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上移動(dòng)，則線段AT長(zhǎng)度的最大值與最小值之和為（計(jì)算結(jié)果不取近似值）.例7.（2011陜西省12分）如圖，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E,這時(shí)折痕與邊BC或者邊

36、CD（含端點(diǎn)）交于F,然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”(1)由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕4BEF”是一個(gè)三角形(2)如圖、在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,當(dāng)它的“折痕ABEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,該矩形是否存在面積最大的“折痕4BEF”?若存在,說(shuō)明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在，為什么?例8.(2011浙江金華、麗水3分)如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為【A、600mB、500mC、400mD、300m例9.(2011湖北宜昌10分)如圖1,RtABC兩直角邊的邊長(zhǎng)為AC=1,BC=2.(1)如圖2,。與RtABC的邊AB相切于點(diǎn)X,與邊CB相切于點(diǎn)Y.請(qǐng)你在圖2中作出并標(biāo)明OO的圓心(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)(2)P是這個(gè)RtAABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的OP與RtAABC