第六章用有限單元法解

1、彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五第六章第六章 用有限單元法解用有限單元法解 平面問題平面問題概述概述1.1.有限元法有限元法(Finite Element Method，簡稱簡稱FEM) 是彈是彈力的一種近似解法。力的一種近似解法。首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再應(yīng)用結(jié)力方法或變分法進行求解。然后再應(yīng)用結(jié)力方法或變分法進行求解。（1）具有）具有通用性和靈活性通用性和靈活性。2. FEM的特點的特點（3）只要適當加密網(wǎng)格，就可以達到工程要求的精度。（2）對同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計算機進行計算。彈性力學

2、Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 3. FEM簡史簡史 FEM是上世紀中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。 1943年柯朗第一次在論文中提出了FEM的概念。 1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。1956年，特納等人提出了FEM。 20世紀50年代，平面問題的FEM建立，應(yīng)用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。 20世紀60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五4. FEM的兩種主要導出方法的兩種主要導出方法:

3、:應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學方法導出。應(yīng)用變分法導出。5. 本章介紹平面問題的FEM，僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五6-1 基本量和基本方程的 矩陣表示 采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題的公式。T()xyfffT( ( , ), ( , )u x yv x yd。T()xyxyT()xyxyT()iijjuvuvT()ixiyjxjyFFFFF基本物理量基本物理量：T()xyfff。體力面力位移函數(shù)應(yīng)變應(yīng)力結(jié)點位移列陣結(jié)點力列陣彈性力學Me

4、chanics of Elasticity2022年3月18日星期五物理方程)(b,D)(2100010112cE。DFEM中應(yīng)用的方程：中應(yīng)用的方程：T()( )uvuvaxyxy幾何方程其中D為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是對于平面應(yīng)變問題是21EE1彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 在FEM中，虛功方程代替平衡微分方程及應(yīng)力邊界條件。TT()()d dAx yt*F虛功方程其中* 結(jié)點虛位移， 對應(yīng)的虛應(yīng)變。*,iiyvF*,iixuFjjyvF ,*,jjxuFijxyO彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月1

5、8日星期五2. 再應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學方法進行求解。6-2 有限單元法的概念 FEM的概念的概念，可以簡述為：用結(jié)構(gòu)力學方法求解彈力問題用結(jié)構(gòu)力學方法求解彈力問題。1. 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)。以下來導出FEM。1. 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)； 結(jié)力研究的對象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系。FAB123456789彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈力研究的對象，是連續(xù)體。 深梁 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點處用

6、絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂離散化結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)。 深梁（離散化結(jié)構(gòu)） 例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。桁架的單元是桿件，而深梁的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五分析步驟如下：分析步驟如下：（1）取三角形單元的結(jié)點位移為基本未知量，它們是：TeijmTiijjmmuvuvuve 稱為單元的結(jié)點位移列陣（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點位移求出單元的位移函數(shù)，即求出關(guān)系式e , , u xyv xydN 插值公式表示單元中的位移分布形式，稱為位移模式，N 稱為形函數(shù)矩陣。a（

7、 ）ijmxyOivmvjviumuju彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五eS 。eB 。b（ ）ee( ijmFFFFk 。（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，求出單元的應(yīng)單元的應(yīng)變變。（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變 ，求出單元的應(yīng)力單元的應(yīng)力。c（ ）（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力 ，求出單元的結(jié)點力單元的結(jié)點力。d（ ）ijmxyOixFiyFjxFjyFmxFmyFivmvjviumujuiyFixFi 結(jié)點對單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點力，以正標向為正。T(ixiyFFiF彈性力學Mechanics of Elasticit

8、y2022年3月18日星期五ijmxyOixFiyFjxFjyFmxFmyFivmvjviumujuiyFixFi 單元對結(jié)點的作用力，與 數(shù)值相同,方向相反，作用于結(jié)點。T(ixiyFF iFiF（6）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結(jié)點上，化為結(jié)點荷載結(jié)點荷載。 eTL(LiLjLmFFFFe（ ） 求解聯(lián)立方程 ，得出各結(jié)點位移值，并從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。作用于結(jié)點i上的力有：1、各單元對i 結(jié)點的結(jié)點力 ；2、各單位移置到i 結(jié)點上的結(jié)點荷載,iFLiF ,Lee,(1,2,)iiiFF（7）對每一結(jié)點建立平衡方程對每一結(jié)點建立平衡方程。f（ ）彈性力學Mechan

9、ics of Elasticity2022年3月18日星期五建立結(jié)點平衡方程組，求解各結(jié)點的位移。1. 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)。歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要內(nèi)容分析的主要內(nèi)容：2.應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學方法求解離散化結(jié)構(gòu),對單元進行分析：求出（1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變和應(yīng)力列陣 （3）單元的結(jié)點力列陣（4）單元的結(jié)點荷載列陣 整體分析：彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 FEM是取結(jié)點位移 為基本未知數(shù)的。但其中每一個單元仍是連續(xù)體，所以按彈力公式求應(yīng)變、應(yīng)力時，必須首先解決：如何由單元的結(jié)點位移 來求出單元的位移函數(shù) eT(ijmiT( ( ,

10、)( , )u x yv x yd。6-3 單元的位移模式與 解答的收斂性 e 應(yīng)用插值公式，可由 求出位移d。這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式位移模式。 泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項是最重要的。三角形單元的位移模式，可取為。yxvyxu654321,a（ ）彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOivmvjviumuju123456iiiiiiuxyvxy 在i、j、m三個結(jié)點，位移函數(shù)等于該結(jié)點位移值123456jjjjjjuxyvxy123456mmmmmmuxyvxy1111iiijjjmmmiijjmmuxyu

11、xyuxyxyxyxyjmmjimiimjijjimjmmjmiimijjix yx yux yx yux yx y ux yx yx yx yx yx y彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五2111111iijjmmiijjmmuyuyuyxyxyxyjmimijijmjmmjmiimijjiyyuyy uyyux yx yx yx yx yx y123iiiuxy123jjjuxy123mmmuxy3111111iijjmmiijjmmxuxuxuxyxyxymjiimjjimjmmjmiimijjixxuxxuxx ux yx yx yx yx

12、 yx y彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOqpr 在三角形ijm三的面積為111222imimijijjmjmAxxyyxxyyxxyy12jmmjmiimijjix yx yx yx yx yx y 結(jié)點i、j、m的次序必須逆時針轉(zhuǎn)向 現(xiàn)引用記號ijmmjax yx yijmbyyimjcxx12iijjmmaua ua uA22iijjmmbub ub uA32iijjmmcuc uc uA 同理42iijjmmava va vA52iijjmmbvb vb vA62iijjmmcvc vc vA彈性力學Mechanics of

13、Elasticity2022年3月18日星期五 代入（a）式，整理后得：iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN vb（ ）其中),(,2)(mjiAycxbaNiiii111, , ,111jjmmiiijjmmxyxyxyNi j mxyxyxy或 （b）式也可表示如下：iijjmmiijjmmN uN uN uuN vN vN vv de N000000ijmijmNNNNNNN其中彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了二次以上的項，因而其誤差量級是 且其中只包含了x、y 的一次項，所以在單

14、元中Ni 如（a）所示，u、v的分布如圖（b）、（c）所示。 2Oxijm1（a）Ni 的分布圖ijmiujumu（b）u的分布圖ijmivjvmv（c）v的分布圖 Ni 、Nj 、Nm 是坐標的線性函數(shù)，反映了單元的位移形態(tài)，稱為位移的形態(tài)函數(shù)。簡稱為形函數(shù)。1,0,0iiiijmNNN彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 所以當單元趨于很小時，即 時，為了使FEM之解逼近于真解，即為了保證保證FEM收斂性收斂性, ,位移模式位移模式應(yīng)滿足下列條件：應(yīng)滿足下列條件： FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。0,yx （1）位移模式必須能反

15、映單元的剛體位移。（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。 因為當單元為無窮小時，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量剛體位移和常量位移。將式（a）寫成。xxyvyyxu22,22353564353521彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五與剛體位移相比,00 xvvyuu。xxyvyyxu22,22353564353521可見剛體位移項在式（a）中均已反映。5301042uv,5362xyyx常量應(yīng)變也已反映彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。 連續(xù)體的位移連續(xù)性。 在

16、三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)； ijmxyOp 在相鄰兩單元邊界ij 上，i 點及j點位移相同，公共邊界上位移分量也是線性變化，所以兩相鄰單元在具有相同的位移，也為連續(xù)。 為了保證FEM的收斂性，（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,),(2/ )(mjiAycxbaNiiii。其中，單元中的位移函數(shù)單元中的位移函數(shù)已用位移模式表示為 由幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：T0001()0002iiijmjijmjiij

17、jmmmmuvbbbuuvvucccvxyxyAcbcbcbuva（ ）eB 。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五(),(b)ijmBBBB010( , ,)(c)2iiiibci j mAcbiB。,(d)eeDDBSS稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B 稱為應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 對于線性位移模式，求導后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是 其精度比位移低一階，

18、且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。)(),(emjiSSSS)(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS),( xo 彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五6-5 單元的結(jié)點力列陣與 勁度矩陣 現(xiàn)在來考慮其中一個單元： 在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。ijmxyOixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFi（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系，只在結(jié)點i、j、m互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結(jié)點上去，化為等效結(jié)點荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載

19、。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五T() ;eijmFFFFT()xyxy。按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于應(yīng)力的虛功外力的虛功等于應(yīng)力的虛功。而其內(nèi)部有應(yīng)力作用， 考察已與結(jié)點切開后的單元ijm，則此單元上作用有外力結(jié)點力 ，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點力：eF)()(*e)(* 代入虛功方程：在單元中，外力（結(jié)點力 ）在虛位移（結(jié)點虛位移 ）上的虛功，等于應(yīng)力 在虛應(yīng)變 上的虛功，e() ,*e() ,*dN ,)(e*B 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移 則單元內(nèi)單元內(nèi)任一點（x,y）的虛位移為 則單元內(nèi)任一點（x,y）的虛應(yīng)變?yōu)閑 TeT()

20、)()d dAx yt*Fa（ ）即彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公式。TeTeTT()( () )() ),*B Be)(*eTeeTT() )() )d d Ax yt*FB eTd dAx ytFB 其中 與x、y無關(guān)，故式(a) 成為代入 (b)因為 是獨立的任意的虛位移e)(*得出e TeT() )()d dAx yt*F虛功方程彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五eTeed d (),(c)Ax yt*FB DBkTd d(d)Ax ytkB DB。元素)66

21、( 式（c）是由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式，k 稱為單元的勁度矩陣其中再將應(yīng)力公式代入上式，得eS 。對于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有）（eT,tAkB DB彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五）（e代入B、D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。T,tAkB DBiiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk（6-37）（6-38）21122114(1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtAc bb cc cb bk, ,; , ,ri j m si j m k是對稱矩陣，它與單元的大小無關(guān)，

22、放大縮小單元的尺寸，k值不變。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyixFiyFjxFjyFmxFmyFaa例：圖示在平面應(yīng)力情況下的等腰三角形單元。求形函數(shù)N、單元勁度矩陣K、應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S00ijmxaxx00ijmyyayijmmjax yx yijmbyyimjcxx200ijmaaaa0ijmccaca 212Aa() 2iiiiNabxc yA形函數(shù)N0ijmbabba 1002ixNaxyAa1002jyNxayAa2112mxyNaaxayAaa 00100001xyxyaaaaNxyxyaaaa 彈性力學Mechan

23、ics of Elasticity2022年3月18日星期五單元勁度矩陣K0ijmccaca 0ijmbabba 21122114(1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtAc bb cc cb bk2222012(1)02iiaEtaak222014(1)02ijaEtAak22222114(1)22imaaEtAaak2221024(1)0jjaEtAak2222211224(1)jmaaEtAaak2222222221122114(1)22mmaaaaEtAaaaak彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五單元勁度矩

24、陣K2222012(1)02iiaEtaak222014(1)02ijaEtAak22222114(1)22imaaEtAaak2221024(1)0jjaEtAak2222211224(1)jmaaEtAaak2222222221122114(1)22mmaaaaEtAaaaak22222222222222222222222200111100222211102222(1)011221122aaaaaaaaaaaEtaaaaaaaaaaaak彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五21001111100222211102222(1)01131221322

25、Etk10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5E01t 取 ，彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五0102iiiibcAcbiB應(yīng)變矩陣B010020iaBAa200ijmaaaa0ijmccaca 0ijmbabba 001020jBaAa0102maBaAaa000010000200aaaaAaaaaB應(yīng)力矩陣S22(1)1122iiiiiibcEbcAcbiiSDB2002(1)102iaESaAa2002(1)102jaESaAa彈性力學Mech

26、anics of Elasticity2022年3月18日星期五200ijmaaaa0ijmccaca 0ijmbabba 應(yīng)力矩陣S22(1)1122iiiiiibcEbcAcbiiSDB2002(1)102iaESaAa2002(1)102jaESaAa22(1)1122maaESaaAaa210010011(1)1111002222ESa彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五2,2i6,3j5,6mxyO例：試寫出圖示在平面應(yīng)力情況下的三角形單元的形函數(shù)N、應(yīng)變矩陣B。265ijmxxx236ijmyyy2126ijmaaa 134ijmccc

27、341ijmbbb ijmmjax yx yijmbyyimjcxx121131iijjmmxyAxyxy彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五() 2iiiiNabxc yA2126ijmaaa 134ijmccc 341ijmbbb 213A 1121 3213iiiiNabxc yxyA11243213jjjjNab xc yxyA 1164213mmmmNab xc yxyA 000000ijmijmNNNNNNN彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五0102iiiibcAcbiB134ijmccc 3

28、41ijmbbb 應(yīng)變矩陣B30101213iBA40103234jBA10104241mBA304010101030413133441B彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五eTLLLLTLLLLLL()()ixiyjxjymxmyFFFFFFijmFFFF66荷載向結(jié)點移置 單元的結(jié)點荷載列陣 在FEM中，與結(jié)力相似，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點移置，化為等效結(jié)點荷載等效結(jié)點荷載，（1）剛體靜力等效原則使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。1. 移置原則移置原則（2）變形體靜力等效原則在任意的虛位移上，使原荷載 與移置荷載的虛功相等

29、。彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOPyfPxfPfM 剛體靜力等效原則只從運動效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；在FEM中，采用變形體的靜力等效原則 變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。 2. 集中力的移置公式集中力的移置公式 LixFLiyFLmxFLmyFLjxFLjyF 原荷載 作用于單位厚度單元中任一點（x,y）上；TPPP xyfff 移置荷載 作用于結(jié)點i、j、m。TeLLLL ijmFFFF 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移 ，則（x,y）點的虛位移為 eT* iijj

30、mmuvuvuvTe* *uvdN 彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五TTeeTeTLPP()()()tt*FdfN f 。使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：即：eTLPtFN f (a) 應(yīng)用式(a)，將 fPt 代之為 并在邊界上積分，得3. 單元邊界單元邊界Su上面力上面力 的移置公式的移置公式fdf steTLd (b)uSf stFN4. 單元內(nèi)體力單元內(nèi)體力f 的移置公式的移置公式 應(yīng)用式(a)，將fPt代之為 并在邊界上積分，得d dx ytfeTLd d (c)Ax ytFN f彈性力學Mechanics of Elasticity

31、2022年3月18日星期五 當位移模式為線性函數(shù)時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點荷載相同。例：設(shè)有均質(zhì)等厚度的三角形單元受有重力荷載fP，作用在單元重心，求移置到各結(jié)點的荷載。ijmxyOPfMiyFB利用虛位移原理去除i點在垂直方向的約束，代以FiyPiyyyiM Ff3yyiM又P3iyfF 同理P3jyfF P3myfF 彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOPfMixFB去除i點在水平方向的約束，代以Fix0yM又0ixF 同理0jyF 0myFPixxyiM Ff例：設(shè)有均質(zhì)等厚度的三角形單元ij邊上受

32、有圖示均布荷載P，求移置到各結(jié)點的荷載。ijmxyOqTeL210000233qltFTeLP111000333Ff彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五67結(jié)構(gòu)的整體分析 結(jié)點平衡方程組 在單元分析中，從單元的結(jié)點位移求位移分布求應(yīng)變求應(yīng)力求結(jié)點力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點荷載，為單元的外力分析。iFLiF 假設(shè)將結(jié)點i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點的每個單元，對i 結(jié)點有結(jié)點力( ）的作用, 也有外荷載移置的結(jié)點荷載（ ）的作用。下面考慮整體分析整體分析。i 結(jié)點的平衡條件結(jié)點的平衡條件為Lee,(1,2, ) (a)iiinFF對某一個

33、單元ijm其中 是對圍繞i 結(jié)點的單元求和e,mjinninikF彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五代入（a）式 ，可表示為Le, ,e()(1,2, ) (b)innin i j min k F。在（b）式中i、j、m是單元內(nèi)部的結(jié)點編號，稱為局部編號；i=1,2,n是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點編號，稱為整體編號 將式（b）按整體結(jié)點編號排列，得整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組L (c)KFT12 , , n整體結(jié)點位移列陣TLL1L2L , , nFFFF整體結(jié)點荷載列陣K整體勁度矩陣元素Krs是相同整體編號的單元勁度矩陣元素krs疊加而成彈性力學Mechanics

34、of Elasticity2022年3月18日星期五例 圖（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用， 試用有限單元法求解跨中的位移。若取0,1tF2 m1 mF1 m1 m1 m圖（a）圖（b）彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II 圖（c）中，只有兩個未知結(jié)點位移v1，v2 。其余的結(jié)點位移均為零。1 m1 mIII1234xy圖（c）圖（d）圖（e） 未知的結(jié)點位移列陣是T12vv對應(yīng)的結(jié)點荷載列陣是T02LFF 彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五1

35、 m1 mIII1234xy圖（c） 下面我們直接來建立對應(yīng)于未知結(jié)點位移的平衡方程式，111: = (a)2yL yeeFvFF222: =0 (b)yL yeevFF對于三角形單元，按照結(jié)點的局部編號（i、j、m ）， 結(jié)點力一般公式是Ii(2)j(3)m(4)TT= (c)ixiyjxjymxmyixiyjxjymxmyFFFFFFk彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II圖（d）圖（e）單元I、II的單元勁度矩陣均為21001111100222211102222(1)01131221322E

36、tk10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5Ek彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II圖（d）圖（e）單元I結(jié)點的局部編號與整體編號的關(guān)系是單元III局部編號整體編號整體編號i23j32m41單元 I234FFF234iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk單元 II321FFF321iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk彈性力學Mechanics of Elastici

37、ty2022年3月18日星期五 整體結(jié)點平衡方程 寫成LKF1112131411212223242231323334334142434444LLLLKKKKFKKKKFKKKKFKKKKF每個子塊是22的矩陣例如 的四個元素是結(jié)構(gòu)的結(jié)點3沿x或y方向有單位位移而在結(jié)點2沿x或y方向的引起的結(jié)點力。23K1 m1 mIII1234xy彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 整體剛度矩陣的形成11121314212223243132333441424344KKKKKKKKKKKKKKKKK1 m1 mIII1234xy單元 I234FFF234iiijim

38、jijjjmmimjmmkkkkkkkkk單元 II321FFF321iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIImmmjmijmiijjijjiimimjiijjjiijmmimjmmkkkkkkkkkkkkkkkkkk彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 整體剛度矩陣的形成IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIImmmjmijmiijjijjiimimjiijjjiijmmimjmmkkkkkkkkkkkkkkkkkk10001000.50.500.50.500.50.

39、500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5EkIi(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II1.50.50.5010.50.51.50.5100.50.50.51.5000.5100101.50.500.50.51000.51.500.50.520.50.50.5001.50110.50.501.50.500.50.510.51.5EK彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 整體剛度矩陣的形成IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIImmmjmijmiijjijjiimimjiijjjii

40、jmmimjmmkkkkkkkkkkkkkkkkkk10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5EkIi(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II1.50.50.5010.50.51.50.5100.50.50.51.5000.5100101.50.500.50.51000.51.500.50.520.50.50.5001.50110.50.501.50.500.50.510.51.5EK彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 由位移邊界條件u1=u2

41、=u3=v3=u4=v4=01.50.50.5010.50.51.50.5100.50.50.51.5000.5100101.50.500.50.51000.51.500.50.520.50.50.5001.50110.50.501.50.500.50.510.51.5E121.51211.502vFEv。EFvEFv54,56211 m1 mIII1234xy彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五2 m2 m2 m2 m2 N/m2 N/mxyO1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV 設(shè)有對角受壓的正方形薄板，荷載沿厚度均勻分布

42、，為2 N/m。取 ，01t 彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五單元剛度矩陣的建立單元剛度矩陣為10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5Ek單元 I312FFF312iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV Ii(3)j(1)m(2)單元 I524FFF524iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIIi(5)j(2)m(4)彈性力學Mechanics of Ela

43、sticity2022年3月18日星期五單元 I312FFF312iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV Ii(3)j(1)m(2)單元 II524FFF524iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIIi(5)j(2)m(4)m(3)i(2)j(5)III單元 III253FFF253iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIVi(6)j(3)m(5)單元 IV635FFF635iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk彈性力學Mechanics of Elasticity20

44、22年3月18日星期五111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK整體剛度矩陣的形成IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIVIIIIVIVIIIIIIIIIIIIIIIVIIIIIIIIVIVIVIVIVjjjmijmjmmjjiimiimjmjiijijimmiiimmjjmjjmjimjmmmiijjijmmjimiijjmmmiijimii kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

45、kkkkkkkkkk1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV 單元 I312FFF312iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk單元 III253FFF253iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五0.2500.250.2500.2500.500.5000.2501.50.2510.250.250.2500.250.250.50.251.50.250.500.50.2500010.251.50.250.50.2500.250.2500.250.50.251.50.25

46、1000.2500.750.250.50.250.50.250.75EK0.2500.2500.250.50.250.501.50.250.50.250.2500.2510.250.250.251.500.25000.500.2500.2500.250.2500.5彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五由位移邊界條件u1=u2=u4=v4=v5=v6=00.2500.250.2500.2500.500.5000.2501.50.2510.250.250.2500.250.250.50.251.50.250.500.50.2500010.251.50.2

47、50.50.2500.250.2500.250.50.251.50.251000.2500.750.250.50.250.50.250.75EK0.2500.2500.250.50.250.501.50.250.50.250.2500.2510.250.250.251.500.25000.500.2500.2500.250.2500.5彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五整體勁度矩陣簡化為0.50.500000.51.50.250.50.25000.251.50.250.5000.50.251.50.25000.250.50.251.50.50000

48、0.50.5EK1233560.50.5000010.51.50.250.50.250000.251.50.250.50000.50.251.50.250000.250.50.251.50.5000000.50.50vvuEvuu結(jié)構(gòu)的整體平衡方程為1233563.2531.2530.08810.3740.1760.176vvuvEuu得彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣：對于單元、IV為10001000010100.50.500.50.5ES對于單元III為10001000010100.50.500.50.5ES彈性力學Mech

49、anics of Elasticity2022年3月18日星期五各單元的應(yīng)力為331I21000100.08800001012.000 Pa00.50.500.50.50.4400 xyxyuvEvv 52II01000100253 Pa00.50.500.50.50.00000 xyxyuEv 彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五各單元的應(yīng)力為25III3301000100.0880001010.374 Pa000.50.500.50.50.308xyxyvuEuv 633IV501000100.0000001010.37

50、4 Pa00.50.500.50.50.1320 xyxyuuEvu 彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elastici

51、ty2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五彈性力學Mecha