概率論與數(shù)理統(tǒng)計：2-4常用的連續(xù)型分布

1、 24 常用的連續(xù)型分布 二、指數(shù)分布 三、正態(tài)分布 一、均勻分布 一、均勻分布 均勻分布 一個隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0,1)(其他bxaabxf (265) 則稱 X 服從a b上的均勻分布 記作 XUa b 均勻分布的分布函數(shù) ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF (266) 一、均勻分布 均勻分布 一個隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0,1)(其他bxaabxf (265) 則稱 X 服從a b上的均勻分布 記作 XUa b 均勻分布的數(shù)字特征 2baEX (267) 12)(2abDX (268) . 0, 0, 0,e1)(xxxFx (270) 一個隨機(jī)變

2、量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 為參數(shù) 則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 記作Xe() 二、指數(shù)分布 指數(shù)分布 指數(shù)分布的分布函數(shù) 指數(shù)分布的數(shù)字特征 一個隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 為參數(shù) 則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 記作Xe() 二、指數(shù)分布 指數(shù)分布 1EX (271) 21DX (272) 二、指數(shù)分布 指數(shù)分布 定理25(指數(shù)分布的無記憶性 ) 非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布的充要條件是 對任意正實數(shù)r和s 有 PXrs|XsPXr (273) 一個隨機(jī)變量 X 如果其密

3、度函數(shù)為 , 0, 0, 0,e)(xxxfx (269) 其中0 為參數(shù) 則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布 記作Xe() 二、指數(shù)分布 若某產(chǎn)品壽命若某產(chǎn)品壽命 服從指數(shù)分布，假定已使用了服從指數(shù)分布，假定已使用了t 年，則再年，則再可用可用 s 年的概率與年的概率與 t 無關(guān)。無關(guān)。證明證明：所求概率為：所求概率為|Ptst , PtstPt PtsPt 11PtsPt ()1 (1)1 (1)s ttee()s tteese . 0, 0, 0,e1)(1000 xxxFx 例222 某元件的壽命X服從指數(shù)分布 已知其平均壽命為1000 h 求3個這樣的元件使用1000 h 至少已有一個損壞

4、的概率 由題設(shè)知 EX1000 h 于是該指數(shù)分布的參數(shù)為 100011EX 從而X的分布函數(shù)為 e1 1F(1000) 1PX1000 PX1000 由此得各元件的壽命是否超過1000 h是獨立的 于是3個元件使用1 000h都未損壞的概率為e3 從而至少有一個已損壞的概率為1e3 解 三、正態(tài)分布 正態(tài)分布 正態(tài)分布的數(shù)字特征 可見 正態(tài)分布的兩個參數(shù)實際上分別為其數(shù)學(xué)期望和方差 正態(tài)分布的期望和方差為 EX DX 2 (276) 一個連續(xù)型隨機(jī)變量 X 如果其密度函數(shù)為 ,e 21)(222)(xx x (274) 其中 為常數(shù) 且0 則稱 X 服從參數(shù)為和 2的正態(tài)分布 記作 XN(

5、2) 說明 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 正態(tài)分布的“鐘型”特征與實際中很多隨機(jī)變量的“中間大 兩頭小”的分布規(guī)律相吻合 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 說明 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 比如考察一群人的身高 個體的身高作為一個隨機(jī)變量 其分布的特點是 在平均身高附近的人較多 特別高和特別矮的人較少 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 說明 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 一個班的一次考試成績、測量誤差等均有類似的特征 進(jìn)一步的理論研究表明 一個變量如果受到大量的獨立因素的影響(無主導(dǎo)因素) 則它一

6、般服從正態(tài)分布 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 1 正態(tài)分布的分布函數(shù) 正態(tài)分布的密度函數(shù)的特征 (x)具有鐘型的圖像 且以 x 軸為漸近線 關(guān)于 x對稱 在 x處達(dá)到函數(shù)最大值 21 正態(tài)分布的密度函數(shù)(x)的原函數(shù)沒有解析表達(dá)式 因而其分布函數(shù)(記作 (x) xxttttxde 21d)()(222)( (278) 不能表示為解析式 當(dāng)0 21 時 即 XN(0 1) 稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其密度函數(shù)記作0(x) 即 202e 21)(xx (277) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 在附錄中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)值表和分

7、布函數(shù)值表 但表中只列出x0時0(x)和0(x)的值 這是因為由正態(tài)分布的對稱性可以導(dǎo)出0(x)和0(x)在x0時的值 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 對于0(x)而言 直接由其對稱性有 0(x)0(x) 因而 當(dāng)x0時 0(x)0(x) 在表中查0(x)即得0(x) 當(dāng)0 21 時 即 XN(0 1) 稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其密度函數(shù)記作0(x) 即 202e 21)(xx (277) 提示 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 對于0(x) 由于0(x)關(guān)于x0對稱 有 0(x)0(x)1 (280)特別地 有0(0)05 當(dāng)x0時 由0(

8、x)10(x) 查表得0(x) 即可得0(x) 當(dāng)0 21 時 即 XN(0 1) 稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 其密度函數(shù)記作0(x) 即 202e 21)(xx (277) )(1d)(d)()(0000 xttttxxx (279) 例223 設(shè)XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (1)直接查表可得根據(jù)0(x)的對稱性 有097725084131081855 0(2)0(1)1PX1960(196) 0975 PX1960(196) 10(196) 109750025

9、P|X|196P196X196 0(196)0(196) 20(196)1 209751095 P1X20(2)0(1)0(2)1(1) 得 9621. 0)9242. 01 (21)(0b 例223 設(shè)XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已知PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (2)直接查表可得a053P|X|b20(b)109242 由查表即得 b178 查表得c0530(c)10(c)07019 所以c0 根據(jù)對稱性 有 由于PXc0298105 c053 提示 3 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 定理

10、26(正態(tài)分布的線性變換) 設(shè)XN( 2) YaXb a b為常數(shù) 且a0 則 YN(ab a2 2) 推論1 如果 XN( 2) 則) 1 . 0(NX 通常稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化 推論2 XN( 2)的充要條件是存在一個隨機(jī)變量N(0 1) 使得X 推論3 設(shè)XN( 2) (x) (x)分別為其分布函數(shù)與密度函數(shù) 0(x) 0(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù) 則有 )()(0 xx (287) )(1)(0 xx (288) 4 一般正態(tài)分布的概率計算 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 為一般正態(tài)分布的概率計算提供了有效的途徑 對于一般正態(tài)分布的有關(guān)問題 尤其是概率計算 都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正

11、態(tài)分布來解決 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (1) 解 (9)PX9 25 . 085 . 0895 . 08XPXP0(2) 097725 (7)PX7 25 . 085 . 0875 . 08XPXP0(2) 10(2) 002275 25 . 085 . 0895 . 08XPXP25 . 085 . 0875 . 08XPXP 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 5 . 08105 . 085 . 085 . 71

12、05 . 7XPXP(2) 解 45 . 081XP 09999708413108413 0(4)0(1)10(4)0(1)5 . 08105 . 085 . 085 . 7105 . 7XPXP 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (3) 解 2|5 . 08|1| 8|XPXP20(2)1 09545 20.977251 (4) 35 . 0815 . 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP0(3)0(1) 01573 09986508413 2|5 . 08|1| 8|XPXP 35 . 0815 .

13、 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP35 . 0815 . 95 . 85 . 0| 9|XPXPXP 例225 某種型號電池的壽命X近似服從正態(tài)分布N(2) 已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為9236% 為使其壽命在x和x之間的概率不小于09 x至少為多大？ 由PX250PX350 解 根據(jù)密度函數(shù)關(guān)于x對稱有3002250350 又由 9236. 0)50(3003503003500XPXP查表得43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 9 . 01)(2|0 xxXPxXxP即95. 029 . 1)(0 x 查表得3002250

14、350 又由 9236. 0)50(3003503003500XPXP9236. 0)50(3003503003500XPXP9236. 0)50(3003503003500XPXP 43. 150, 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是 35 故 XN(300 352) 又 , 于是 35 故 XN(300 352) 又 9 . 01)(2|0 xxXPxXxP9 . 01)(2|0 xxXPxXxP9 . 01)(2|0 xxXPxXxP 95. 029 . 1)(0 x 查表得645. 1x 于是 x1645355758 645. 1x 于是 x1645355758 補例

15、補例1 1 將將 個球放入個球放入 個盒子中，設(shè)每個球落入各個盒個盒子中，設(shè)每個球落入各個盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)子是等可能的，求有球的盒子數(shù) 的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 nMX解解引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量1,0,iX第第i個盒子中有球，個盒子中有球，第第i個盒子中無球，個盒子中無球，1,2,iM1MiiXX則則1MiiEXEX所以問題歸結(jié)為求所以問題歸結(jié)為求 。 iEX每一個隨機(jī)變量每一個隨機(jī)變量 都服從兩點分布。都服從兩點分布。 iX 由于每一個球落入每個盒子是等可能的，均為由于每一個球落入每個盒子是等可能的，均為 ，1M 則對第則對第 i 盒子，一個球不落入這個盒子中的概率為盒子，一個球不落入這個盒子中的概率為 ，11M 個球都不落入這個盒子中的概率為個球都不落入這個盒子中的概率為 n1(1)nM即即10(1) , 1,2,niP XiMM從而從而111 (1) , 1,2,niP XiMM 所以所以11 (1) , 1,2,niEXiMM 補例補例2 某抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）某抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似地服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)榻频胤恼龖B(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，分，96分以上的占考生總分以上的占考生總數(shù)的數(shù)的