中考試題自主招生考試題選講(一)

1、奮斗沒有終點任何時候都是一個起點泉港三川中學(xué)2015年自主招生考試數(shù)學(xué)題選講(一)本試卷滿分120分，考試時間150分鐘)一、選擇題：本大題共 8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來.每小題選對得 5分，選錯、不選或選出的答案超過一個均計零分.1如圖，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回，點 P在運動過程思路分析：分析動點P的運動過程，采用定量分析手段，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式可以得出結(jié)論.解：不妨設(shè)線段AB長度為1個單位，點P的運動速度為1個單位，則：(1)當(dāng)點 P在 AB段運動時，PB=1-t , S=tt (1-t) 2(0

2、Wtv1)；(2)當(dāng)點 P在 B-A段運動時，PB=t-1 , S=tt (t-1 ) 2 (1WtW2).綜上，整個運動過程中，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=tt ( t-1 ) 2 (0WtW2),這是一個二次函數(shù)，其圖象為開口向上的一段拋物線.結(jié)合題中各選項，只有B符合要求.故選B.點評：本題結(jié)合動點問題考查了二次函數(shù)的圖象.解題過程中求出了函數(shù)關(guān)系式，這是定量的分析方法，適用于本題，如果僅僅用定性分析方法則難以作出正確選擇.2 如圖，梯形 ABCD中,AB/ DC, D吐 AB, CFL AB,且 AE=EF=FB=5 DE=12 動點 P 從點 A 出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個

3、單位長的速度運動到點 B停止.設(shè)運動時間為t秒，y=S epf,則y與t的函數(shù)圖象大致是()DfC信達A.思路分析：分三段考慮，點 P在AD上運動，點P在DC上運動，點P在BC上運動, 分別求出y與t的函數(shù)表達式，繼而可得出函數(shù)圖象.解：在 RtADE中,AD=7Ae2DE 13,在 RtCFB中，BC=JbF"_CF7 13,DfC過點 P 作 PML AB 于點 M,則 PM=APsinZ A=t ,此時y= 1 EFX PM=30t ,為一次函數(shù)；2131點P在DC上運動，y= - EFX DE=30;21212(31 t)點 P在 BC上運動，過點 P作 PNAB于點 N,貝

4、U PN=BPsin/ B= (AD+CD+BC-t=-L1313則 y= 1 EFX PN=30(31-t) ,為一次函數(shù). 213綜上可得選項 A的圖象符合.故選A.點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與t的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)然在考試過程中，建議同學(xué)們直接判斷是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，不需要按部就班的解出解析式.3已知點P (0,3)與點Q(2a+b, a+2b)關(guān)于原點對稱，則 ba的值為 ()A.2 B.C. 0.5 D.0.5t答案】二【解析】試題分析；關(guān)于原點對稱的點的軍標是橫' 縱坐標都互為相反數(shù)，因此，2a+ b = 0a+ 2b - 3二點P （0

5、, - 3）與點QQAh 升油）關(guān)于原點丁麗，a - -1b - 2-V =尸=性Q .5 .2故選C.考點一.關(guān)于庾點對稱的點的皿泳特任 二求代麴式匕面3.負整指數(shù)嘉4已知點P （x, x ）,則點P 一定（）（A）在第一象限（B）在第一或第二象限（C）在x軸上方（D）不在x軸下方【答案】D.【解析】試題分析門 已知點.P （囂，慟），;博曲當(dāng)|spO* 點P在北軸的上方當(dāng)國=口時，點P在長軸上只有D符合條件.故選D.考點.點.的坐標.5已知數(shù)軸上三點 A B C分別表示有理數(shù) a、1、1,那么|a 1表示（）（A） A B兩點的距離（B） A C兩點的距離（C） A B兩點到原點的距離之和

6、（D） A、C兩點到原點的距離之和【答案】8【解析】試題分析="|a + l卜卜-1q邛川表示4點與C點之間的距離.故選瓦考點：數(shù)軸以及絕對值.6 .如圖，Be是半徑為6的e d的1圓周，c點是Be上4的任意一點， 4ABD是等邊三角形，則四邊形 ABCD的周長p的取值范圍是（C ）A. 12 pw 18C. 18 p< 18 642B. 18 pw 24D. 12 p<12 6427 .如圖，O為原點，點 A的坐標為（3, 0）,點B的坐標O- y A-xC為（0 , 4）, OD過A、B、O三點，點C為弧ABOh的一點（不與O A兩點重合），則cosC的A. -3-B

7、 . -3-C458世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示：1111221113631工 工 1412 12 41 工工。15 203020 51A±±±163060603061111111742105140105427第8題圖則排在第1A. 一13210行從左邊數(shù)第1B.3603個位置上的數(shù)是（_1C.D.、填空題（每小題4分,495B )1660共20分）1隨意拋一粒豆子，恰好落在如圖5的方格中（每個方格除顏色外完全一樣）,那么這粒豆子落在黑色方格中的概率是4【答軍】-15【解析】試題分析；易根據(jù)面積法求概率.艮眠出豆子在黑色方格的面積與總面積的比,因為共有15個

8、方格.其中黑色方格占4個，所以這粒豆子停在-溝方格的概率 .故埴-.1515考點：用幾何面積求事件的概率.2.如果將電影票上“ 6排3號”簡記為(6, 3),那么“10排10號”可表示為 8 1表示的含義是 .【答案】弧10)；7排1號【解析】試題分析，白排3號"記為(6, 3)可知，有序歌，與排號對應(yīng).,'TO排10號”可表示為 (10,嶼(7, 1)表示的含義是T排1號，故各空依衣埴.(16場卜7排1號.考點：坐標確定位置.3.已知點P(3, 1)關(guān)于y軸的對稱點 Q的坐標是(a+b, 1 b),則a的值為.【答案】25【解析】試題分析：本題考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標特

9、點，三于尸軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱 坐標相同,可得 3, 1b=-1,解得 加% 56n. =25.考點；對稗點的坐標特征.60°4如圖，AC是e O的直徑，ACB 600,連接AB ,過A, B兩點分別作e O的切線，兩切線交于點 P .若已知。的半徑為1 ,則 APAB的周長為 3<3.三.能力(5分)選做題每問5分必選一題。1 正方形ABCD勺頂點A在直線MNLh,點。是對角線 AG BD的交點，過點 。作OH MN于 點E,過點B作BFLMNT點F.(1)如圖1,當(dāng)。B兩點均在直線 MN±方時，易證：AF+BF=2OE2)當(dāng)正方形 ABC度點A順時針旋

10、轉(zhuǎn)至圖 2、圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.圖1卻邳思路分析：（1）過點B作BG OE于G,可得四邊形BGEF矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得 EF=BG BF=GE根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB / AOB=90 ,再根據(jù)同角的余角相等求出/ AOE= OBG然后利用“角角邊”證明 AO訝口OBGi:等，根據(jù)全等 三角形對應(yīng)邊相等可得 OG=AE OE=BG再本據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證；（2）選擇圖2,過點B作BGL?；?OE的延長線于 G,可得四邊形 BGEF是矩形，根據(jù)矩形 的對邊相等可得 EF=B

11、G BF=GE根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB /AOB=90 ,再根據(jù)同角的余角相等求出/AOEW OBG然后利用“角角邊”證明 AOEAOBGir等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=AE OE=BG再本據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證；選擇圖3同理可證.解：（1）證明：如圖，過點 B作BGLOE于G 則四邊形BGEF矩形， ，EF=BG BF=GE在正方形 ABC邛,OA=OB / AOB=90 , BG± OE / OBG廿 BOE=90 ,即國群又 / AOE廿 BOE=90 , / AOEh OBG在 AO臣口 OBG4AOE OBGAEO OGB 90

12、 , OA OB. AO監(jiān) OBG( AAS , .OG=AE OE=BG. . AF-EF=AE EF=BG=OE AE=OG=OE-GE=OE-BF .AF-OE=OE-BF，AF+BF=2OE（2）圖 2結(jié)論:AF-BF=2OE圖 3 結(jié)論：AF-BF=2OE對圖2證明：過點 B作BGL OE交OE的延長線于 G, 則四邊形BGEF矩形， .EF=BG BF=GE在正方形 ABC邛,OA=OB / AOB=90 , BG± OE / OBG廿 BOE=9O ,又 / AOE廿 BOE=90 , / AOEh OBG在 AO臣口 OBG, AOE OBG AEO OGB 90 ,

13、OA OB.AO監(jiān) OBG（ AAS ,.OG=AE OE=BG. AF-EF=AE, EF=BG=OE AE=OG=OE+GE=OE+BF .AF-OE=OE+B F .AF-BF=2OE若選圖3,其證明方法同上.點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與矩形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.四、解答題（共5小題，滿分55分）1 （本小題10分）閱讀理解：如圖1,在四邊形ABCM邊AB上任取一點E （點E不與點A、點B重合），分別連接ED EC, 可以把四邊形 ABC防成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E

14、叫做四邊形ABCM邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCM邊AB上的強相似點.解決問題：（1）如圖1, / A=/ B=Z DEC=55，試判斷點 E是否是四邊形 ABCD勺邊AB上的相似點， 并說明理由；（2）如圖2,在矩形ABCD, AB=5, BC=2且A, B, C, D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為 1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖 2中畫出矩形ABCD 的邊AB上的一個強相似點 E;拓展探究：(3)如圖3,將矢I形ABCW CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM勺邊AB上的一個強相似點，試探究 AB

15、和BC的數(shù)量關(guān)系.【答案】詳見解析，【解析】試題分析.乜)判斷點百是否為四邊形上網(wǎng)。的或j51笆相限點，只要能證明圖中有兩個相似三 角相呵由乙4 = 55、可知，/收斗郵=12兀由皿C = 55,可知：加十/皿C二125所以= 所廬山(公 塞在兒S邊上找一個強相似點H,則連接。及 C5的線段應(yīng)把矩形分成的三個三龜形相似. 而必4日尾 A5CE均為直條三角形，則43EC也仍然為直第三角形，而NEQC. /EC。不可能 為直角，所以/。豆° = 90:由直徑所對的圓周角是直角可知；點石在以8的中點為圓心、以 IdC為半徑的圓上.畫出該國與AB的交點即為所求點總.2(3)利用折疊找出圖中相

16、等的線段和相等的角；由相似找出圖中相等的角；可知BCE 30 ,由直角三角形的性質(zhì)可得 BE1 _匹世可得BC 3AB 2.3BC 3 EC,而 EC CD AB,所以 2_1BE AB ,由 tan BCE 2試題解析:解士點E是四邊形3D的邊心上的相片原.理由：I上后55中，ZAI>E+ZDEi=125° .*.'2DEC=550 ,.ZEDC+ZDEA=125o .'/ZA=ZEi，&Es目 K.，點E是匹近形ASCH困AB邊_的相似點.(2)作圖如下：（3）'.息E是四邊形MCM的邊胎上的T3雖相似息,'.aemsAbcesAec

17、m,ZQCE=ZeCN=ZAEJ!,由折疊可知；ECHtZsDCFb,'.ZECM=Zi CE二如，.,.ZBCE=lzBCr=30o J3 .BE=izE=lAB.22在 RtziECE 中？ tan£eE=tanJO" , BC-BE V3 *=sBC 3. A& 23 " - K 3考點：1、相似三角形的判定.2、利用直徑所對的圓周角是直角找符合條件的點.3、三角函2. （7分）如圖，O O是4ACD的外接圓，AB是直徑，過點BE/ AD,兩直線交于點 E,如果/ ACD=45 , O。的半徑是D作直線DEE/ AB,過點B作直線4cm（1）

18、請判斷DE與。的位置關(guān)系，并說明理由;（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用兀表示）【答案】（1）相切，理由見解析；（2） 24 4試題分析：（1）連接0D,根據(jù)扇周角定理得/ADB=，（T，可判斷ZiADB為 等瞋直角三角胭，所以。D_LAB,而DE4 AB,則有OD_LDE,耀后根據(jù)切繾的判定定理得到DE 為® 0的切線/門）由BE/AD, DF 逐 得到四辿形總BED為平行西邊形，則DE>4BMcm,然 后根據(jù)梯形的面積公式和扇形的面積公式利用S 3受蘭產(chǎn) BODE - S臺號0BD求得圖中陰影部分的 面積, 試題解析：m de與口相切.理由如下：如圖，摩接?？?，則上AB&g

19、t;.2ACU:弟是直徑，J2ADB=gi，/C口為等腰交弟三角形.二點。為AE的中點.一DDL AB.'/DE# AB, .,.OD±DF .DE 為色。的切繞.C2） ;BE/7AD, DE*AB,，四邊形ABED為平行四邊形.DE-AB-8ctn. *己照席介s«kboce-SflwcbD = 74?)x4 = 24-4汜 cm31考點：1.圓周角定理；2.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；3.平行的性質(zhì)；4.切線的判定;5.平行四邊形的判定和性質(zhì)；6.扇形面積的計算；7.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用考點：1.動點問題；2.切線的性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理;5

20、.垂徑定理；6.三角形的面積；7.分類思想的應(yīng)用3.(本小題滿分9分)已知：如圖，O為平面直角坐標系的原點，半徑為 1的e B經(jīng)過點O ,且與x, y軸分交于點A, C ,點A的坐標為Q , AC的延長線與e B的切線OD交于點D .(1)求OC的長和 CAO的度數(shù)；(2)求過D點的反比例函數(shù)的表達式.rA B CdE x3.解：（1） Q/AOC 900, AC是e B的直徑，AC 2 1分又Q點A的坐標為（J3,0） , OA J3oc Jac2 oa2 J22（拘2 1 2 分OC 1,osin / CAO -, / CAO 30 3 分AC 2（2）如圖，連接OB,過點D作DE x軸于

21、點E 4分QOD為e B的切線，OB OD , / BOD 900 5 分Q AB OB ,/ AOB / OAB 300,Z AOD Z AOB / BOD 300 90° 120°,在 AAOD 中，/ ODA 180° 120° 30° 30° / OADOD OA 73 6分60°在 RtDOE 中，Z DOE 180° 120°OE ODgc°s60° ：OD -y , EDODgsin 60° 3 3 3 點D的坐標為 ，一 2 2k 設(shè)過D點的反比例函數(shù)的表達式

22、為 y kX,、3 3 3.3 k 2 243,3 y 4x4.(本小題滿分9分)已知：如圖，在平面直角坐標系中，4ABC是直角三角形，ACB 90°,點A, C的坐3標分另為 A( 3,0), C(1,0), tan BAC 3.4(1)求過點A, B的直線的函數(shù)表達式；(2)在x軸上找一點D ,連接DB ,使得ZXADB與4ABC相似(不包括全等)，并求點D的坐標；(3)在(2)的條件下，如P, Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ ,設(shè)AP DQ m,問是否存在這樣的 m使得 APQ與4ADB相似，如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由.4.解：(1) Q 點 A( 3,0

23、) , C(1Q)AC 4, BC tan / BAC AC3 4 3, B點坐標為(1,3)4設(shè)過點A, B的直線的函數(shù)表達式為y kx b , 2 分 3分APO yQCD xQ0 k ( 3) b /曰3由得k , b3 k b4 39直線AB的函數(shù)表達式為y x 44(2)如圖1,過點B作BD AB ,交x軸于點D , 在 RtAABC 和 RtzXADB 中，Q / BAC / DABD點為所求 RtzXABCs rd ADB,又 tan / ADBtan / ABCCD BCtan Z ADB434 933 4OD OCf 13CD 一,4c 13cD ,04（3）這樣的m存在在RtABC中，由勾股定理得 AB 5如圖1,當(dāng)PQ / BD時, APQsz ABDc 133 m一4,解得38425 m -9如圖2,PQ A