平面幾何-五大定理及其證明

1、精品平面幾何定理及其證明一、梅涅勞斯定理1 梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線與ABC 的三邊 AB、BC、CA 所在直線分別A交于點 D 、E、F，且 D 、E、F 均不是ABC 的頂點，則有ADBECF1DDBECFABC證明：如圖，過點 C 作 AB 的平行線，交 EF 于點 GEG因為 CG / AB ，所以CGCF（ 1）FADFA因為 CG / AB ，所以 CGEC（ 2）DBBE由（ 1）÷（2）可得DBBECFADBE CFADECFA，即得EC1 DBFA2 梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在ABC 的邊 AB 、BC 上各有一點 D 、E，在邊 AC 的延AD

2、BE CFA長線上有一點 F，若1，那么， D、E、F 三點共DBEC FA/DD線BCE證明：設直線 EF 交 AB 于點 D / ，則據梅涅勞斯定理有FAD/ BE CF1 D/B EC FA因為 ADBE CF，所以有 ADAD /由于點 D 、D / 都在線段 AB 上，所以點 D 與DBECFA1DBD/ BD / 重合即得D、E、F 三點共線二、塞瓦定理A3 塞瓦定理及其證明定理：在ABC 內一點 P，該點與ABC 的三個頂點相連所在F-可編輯 -DPBCE精品的三條直線分別交ABC 三邊 AB、BC、CA 于點 D、E、F，且 D、E、F 三點均不是ABC的頂點，則有ADBECF

3、1DBECFA證明：運用面積比可得ADSDBSADPBDPSSADCBDC根據等比定理有S ADPSS BDPSADCBDCSSADCBDCSSADPS APC，S BPCBDP所以ADS APC同理可得BESDBS BPCECSAPBAPC，CFS BPCFAS APB三式相乘得 ADBE CF1 DBECFA4 塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC 三邊 AB 、BC、CA 上各有一點 D 、E、F，且 D 、ADBECFE、F 均不是ABC 的頂點，若DBEC1，那么直線 CD 、FAAAE、BF 三線共點/FD證明：設直線 AE 與直線 BF 交于點 P，直線 CP 交 AB 于點

4、D / ，DP則據塞瓦定理有BCEAD /BECF1D/B EC FA因為ADBECF1，所以有 ADAD /由于點 D 、 D/ 都在線段 AB 上，所以點 D 與DBECFADBD / BD / 重合即得D、E、F 三點共線三、西姆松定理5 西姆松定理及其證明-可編輯 -精品定理：從ABC 外接圓上任意一點 P 向 BC、CA 、AB 或其延長線引垂線， 垂足分別為 D 、E、F，則 D、E、F 三點共線A證明：如圖示，連接 PC，連接 EF 交 BC 于點 D / ，連接 PD/ F因為 PEAE，PF AF，所以 A 、F、P、E 四點共圓，可得FAEDB= FEP因為 A、B、P、C

5、 四點共圓，所以 BAC = BCP，即 FAE =BCPP所以，FEP =BCP，即 D/ EP =D/ CP，可得 C、D/ 、P、E 四點共圓所以，CD/P +CEP = 180 0。而CEP = 90 0，所以CD/ P = 90 0，即 PD/ BC由于過點 P 作 BC 的垂線，垂足只有一個， 所以點 D 與 D / 重合，即得 D 、E、F 三點共線四、托勒密定理A6 托勒密定理及其證明M定理：凸四邊形 ABCD 是某圓的內接四邊形，則有EAB ·CD + BC ·AD = AC ·BD D證明：設點 M 是對角線 AC 與 BD 的交點，在線段 B

6、D 上找一點，使得DAE= BAM 因為ADB =ACB ，即 ADE =ACB，所以ADE ACB ，即得ADDE ，即 AD BCAC DE （ 1）ACBC由于DAE =BAM ，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而 ABD = ACD ，即 ABE = ACD ，所以 ABE ACD 即得ABBE ，即 AB CDAC BE （ 2）ACCD由（1）+ （2）得AD BCAB CDAC DEAC BEAC BD所以 AB·CD + BC ·AD = AC ·BD CEBC-可編輯 -精品7 托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形 ABCD 滿

7、足 AB× CD + BC × AD = AC× BD，那A、么B、C、D 四點共圓證法 1 （同一法）：在凸四邊形 ABCD 內取一點 E，使得 EABDAC ， EBADCA ，則EAB DAC 可得 AB× CD = BE × AC（ 1）ABAEAB且（ 2 ）ADACE則由 DAECAB 及（ 2 ）可得 DAE CAB 于是有DCAD ×BC = D E× AC（ 3）由（1）+ （3）可得 AB× CD + BC × AD = AC( BE× + DE ) 據條件可得 BD = B

8、E + DE ，則點 E 在線段 BD 上則由 EBADCA ，得DBADCA ，這說明 A、B、C、D 四點共圓8 托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四邊形ABCD 的四個頂點不在同一個圓上，那么就有AB× CD + BC× AD> AC× BDAB證明：如圖，在凸四邊形 ABCD 內取一點 E，使得EABDAC ，EBADCA ，則EAB DAC EDC可得 AB× CD = BE × AC（1 ）AEAB（ 2）且ACAD則由 DAECAB 及（ 2 ）可得 DAE CAB 于是AD ×BC = D E× AC

9、（ 3 ）由（1）+ （3）可得 AB× CD + BC×AD=AC(BE×+DE)-可編輯 -精品因為 A 、B、C、D 四點不共圓，據托勒密定理的逆定理可知AB× CD + BC× ADAC× BD所以 BE + DEBD ，即得點 E 不在線段 BD 上，則據三角形的性質有BE + DE > BD 所以 AB× CD + BC× AD> AC× BD五、歐拉定理9 歐拉定理及其證明定理：設ABC 的重心、外心、垂心分別用字母 G、O、H 表示則ADO有 G、O 、 H 三點共線（歐拉線），且滿足 OH 3OG HBEC證明（幾何法）：連接 OH ，AE，兩線段相交于點 G/ ；連 BO 并延長交圓 O 于點 D ；連接 CD 、AD 、HC ，設 E 為邊 BC 的中點，連接 OE 和 OC ，如圖因為 CD BC，AH BC，所以 AH / CD 同理 CH / DA所以， AHCD 為平行四邊形A可得AH=CD 而 CD=2OE ，所以 AH=2OE D因為