高中數(shù)學(xué)3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算名師制作優(yōu)質(zhì)學(xué)案新人教A版

1、名校名師推薦3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法.(重點(diǎn))3.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問(wèn)題.(難點(diǎn))自主預(yù)習(xí)探新知1 .空間向量的夾角(1)夾角的定義圖3-1-15已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)Q作O屋a,O屋b,則/AOBiU做向量a,b的夾角，記作a,b>.(2)夾角的范圍空間任意兩個(gè)向量的夾角0的取值范圍是0,兀.特別地，當(dāng)0=0時(shí)，兩向量同向共線(xiàn)；當(dāng)。=兀時(shí),兩向量反向共線(xiàn)，所以若a/b,則a,b>=0或兀；當(dāng)a,b>=-2兩向量垂直，記作a±b.2

2、.空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a|b|cos<a,b>叫做a,b的數(shù)量積，記作a-b.即ab=|a|b|cosa,b>(2)數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(入a)b=入(ab)=a(入b)交換律a-b=ba分配律a-(b+c)=ab+ac(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì):向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直若a,b是非零向量，則a±b?a-b=0共線(xiàn)同向：貝Ua-b=|a|b|反向：則a-b=-|a|-1b|模a-a=aacosa,a=|a|2|a|=/a,a|a-b|<|a|b|夾角,a-b0為a,b的夾角，則cos0=.|a|b|思考：

3、(1)若ab=0,則一定有ab嗎?(2)若ab>0,則a,b>一定是銳角嗎？提示(1)若ab=0,則不一定有ab,也可能a=0或b=0(2)當(dāng)a,b>=0時(shí)，也有ab>0,故當(dāng)ab>0時(shí)，ab>不一定是銳角.基礎(chǔ)自測(cè)1 .思考辨析(1)在ABC中，危Bb=/B.()(2)在正方體ABCDA'B'C'D'中，AWA飛的夾角為45°.()(3) 0-a=0.()(4)若ab<0,則a,b>為鈍角.()答案(1)X(2)V(3)X(4)X.、一.772.已知正方體ABCDA'B'CD'的

4、棱長(zhǎng)為a,設(shè)AB=a,AD-b,AA=c,則A'B,B'D'等于()A.30°B,60°C.90°D.120°_一“一7一DAB1D'C是等邊三角形，A'B,B'D'=D'C,B'D'>=120.3.已知|a|=3,|b|=2,a,b=-3,則a,b=.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342138】2ab313兀c0s(a,b>=a|b|=3X2=2所以a,b>=.3合作探究攻重又tI類(lèi)型1|空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例(1)已知a=3p2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量

5、，則ab=()A.1B.2C.3D.4(2)如圖3-1-16所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABC用，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，求值：圖3-1-16(1)樂(lè)隊(duì)(2) EFBD(3) EF-DC(4) AB-CD解析(1)由題意知，p-q=0,p2=q2=1所以a-b=(3p-2q)(p+q)=3p22q2+p-q=1.答案A一一1一一(2)EF-BA=BD-BA1=2IBDBAcosBDBA(1) 1=2cos60=4.，、-1l11,21(2) EF,BD=BD,BD=萬(wàn)9。',.一1一一1一一11(3) EF-DC=2BD-DC=2DB-DC=2xcos60=-.(4) AB-CD-

6、AB-(AAAQ = |AB| ADcos AB AD=AB-AD-AB-AC|ABIACcosAB,AO=cos60°cos60°=0.規(guī)律方法在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模(4)代入公式a-b=|a|b|cosa,b>求解.跟蹤訓(xùn)練1. (1)已知空間四邊形ABCD勺每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F分別是BCAD的中點(diǎn)，則Ae-Af=.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：463421391a2Ae-Af=Bbp1A

7、d1TTL112。12=2AB-ANBCAA2acos60=4a.(2)在四面體OABGK棱OAOBOC兩兩垂直，且O是1,OB=2,OG=3,G為ABC一.一一一T>T_的重心，則OG(OAFOBOC=.141O降OAfAG-O。-(AB+AC3371一一OAF-(OB-OA+(OC-OA3111.OG(OO引OC=，O母-Oa-OA-(O/OBFOC333=3加+乒+30A12121214=ZX2+-X3+-X1=.3333Bag卜例利用數(shù)量積證明空間的垂直關(guān)系已知空間四邊形OABg,/AOB=/BOC=/AOC且OA=OB=OCMN分別是OABC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OGL

8、BC解連接ON設(shè)/AOB=/BOC=ZAOC=0,ou11又設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則|a|=|b|=|c|.1又OG2(OMFON三T 1 ,、/、OG BC= (a+b+c) ( cb)=4(|a|2-cos0|a|2-cos0|a|2+|a|2)=0.OgL能即OGLBC規(guī)律方法用向量法證明垂直關(guān)系的步驟(1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.(2)用已知向量表示所證向量.(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0.(4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練2.如圖3-1-17,已知正方體ABCEA'B'CD',CD與DC相交于點(diǎn)O連接AQ求證：圖3-1-17(1)

9、 AOLCD;(2) AC±平面B'CD.一.71f證明(1)因?yàn)锳O=ANDO=AN(DD+DC,一、.一因?yàn)镃D=DDDC所以AO-CD1 一一一一一1一一.一一一一一一='DD+DO2AD)(DDDC=2(DDDD-DDDODC-DDDC-DO1-222AD-DD-2AD-DC=2(|DD|2-|D(f2)=0,所以AOLCD,故AOLCD.一f77f7f(2)因?yàn)锳C-B'C=(A母BC+CC)(B'B+BQ-_f_f一一=AB-B'B+AB-BOBC-B'B+BC-BOCCB'B+CCBC可知ABBB=0,AB-BO0

10、,2BC-BB=0,BC-BC=|BC：CC-BB=一|CC|：CCBC=0,所以aC-BC=|函2|CC|2=0,所以aCXB7C,所以AC±BC.同理可證，AC±B,D'.又B'C,B'D?平面BCD,BCnB'D'=B',所以AC1平面B'CDI類(lèi)型3|例利用數(shù)量積求夾角如圖3-1-18,在空間四邊形OABCfr,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,/OAC=45°,/OAB=60°,求異面直線(xiàn)OA與BC的夾角的余弦值【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342140圖 3-1-18思路探究求異面直線(xiàn)OA與BC所

11、成的角，首先來(lái)求OATBCJ夾角，但要注意異面直線(xiàn)所成角的范圍是?，-2-!而向量夾角的取值范圍為0,兀,注意角度的轉(zhuǎn)化. cosOA A。-| OA.解BC=AC-AROA-BC=OA-AC-OA-AB=|OA-IAC24-16 2.IABcosOAAB=8X4Xcos1358X6Xcos120.cosOABC)=0ABC=24；乎=3-2V2.異面直線(xiàn)OA與BC的夾角的|OA由8X55余弦值為一二.5規(guī)律方法利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路1 .求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：（1）結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義，,一、一一，.，一，一一一,.ab,來(lái)求，但要汪息向重夾角的氾圍；（2

12、）先求a-b,再利用公式cosa-b>="二求cos|a|b|a,b>,最后確定a,b>.2 .我們也可以用這種方法求兩條異面直線(xiàn)所成的角，步驟如下：根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線(xiàn)上取兩個(gè)向量（即直線(xiàn)的方向向量）；異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題；利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大??；異面直線(xiàn)所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，進(jìn)而求出異面直線(xiàn)所成的角的大小.跟蹤訓(xùn)練3 .如圖3-1-19,已知直三棱柱ABCA'B'C中,AG=BC=AA,/ACB=90,D,E分別為ABBB的中點(diǎn).圖3-1-19(1)求

13、證：CELA'D;(2)求異面直線(xiàn)CE與AC所成角的余弦值.,T>T一一解(1)證明：設(shè)CA=a,CB=b,CC=c,根據(jù)題意，|a|=|b|=|1且2,b=b-c=c-a=0.,11,1CE=b+2c，AD=c+22a.CE-AD=-1c2+1b2=0,227f一.CELA'D,即CELA'D.(2) . AC = a+ c, -I AC |=*|a|, |由=縱|,AC11212,CE=(-a+c)-b+2c廣2c=1a|,12二工2|a|如.cosAC,CE=尸=-77-.-5210也-2|a|異面直線(xiàn)CE與AC所成角的余弦值為磊0一一一一一一，利用數(shù)量積求

14、距離探究問(wèn)題1 .異面直線(xiàn)ABCD所成的角為60。，則屆Cd的值是多少?提示：AhCD=60°或120°2 .如圖3-1-20,已知線(xiàn)段ABL平面a,BC?a,CDLBCDF，平面a,且/DCF=30°,D與A在a的同側(cè)，若AB=BC=CD=2,試求AD兩點(diǎn)間的距離.圖 3-1-20提示：.ADtAB+BUCDAD|2=(湎覦CD2=|俞2+|南2+|的2+將bca士一-cc+2AB-CA2BC-CD=12+2(22-cos90+22cos120+22cos90)=8,IAD=2®即A,D兩點(diǎn)間的距離為2d2.如圖3-1-21所示，在平彳T四邊形ABC由

15、，AB=AC=1,ZACD=90°,沿著它思路探究的對(duì)角線(xiàn)AC各AACDf起，使AB與?；?0°角，求此時(shí) B, D間的距離.圖 3-1-21BD= B- AO CD一 , 2 *, 、得到| BD的值，注意 一、對(duì)BA CD的討論得B, D間 的距離-7一77.八cJ7解/ACD=90,AC-CD=0,同理可得AC-BA=0.=ABCD成60角，.BACd=60°或BA,CD=120.又BD=BAvAC+CdiBD2=iBA2+|AC2+|CD2+2BA-Ac+2BA-C2AC-CD=3+2X1X1XcosBACD.當(dāng)BXCd>=60°時(shí)，|B2

16、=4,此時(shí)B,D間的距離為2;當(dāng)BC>=120°時(shí)，|B2=2,此時(shí)B,D間的距離為近規(guī)律方法1.利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系,常把空間兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問(wèn)題加以計(jì)算.2.用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟：(1)用向量表示此距離；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a-a=|a|2,求|a|；(4)|a|即為所求距離.跟蹤訓(xùn)練4.如圖3-1-22所示，在空間四邊形OABa,OAOBOCM兩成60°角，且OAfOB=QO2,E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求EF間的距離.ciP1，1解EF=EA+AF=2OAF萬(wàn)(AB+AC1 一2OA-O拼2

17、X1 1112 jxOA- OO2X X-=；OAf2(Ob-OA+(Oc-Oa2121211所以EFiOA+zOg+zOQ+zxjxOB-OC=2.IEFJ=/2,即E,F間的距離為近當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1 .已知e1,e2為單位向量，且e1±e2,若a=2e1+3e2,b=ke1一4e2,a±b,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-6B.6C.3D.-3B由題意可得a,b=0,e1,e2=0,|e=|e2|=1,.(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,2k12=0,k=6.2 .在正方體ABCDA1B1CD中，有下列命題：22(AA+ANA§=3AB;AC。(ABAA)=0

18、;AD與A.B的夾角為60°.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342141OBCNsC.3D.0.-ff>22727272一，B對(duì)于，(AA+ANAB1 .1,、1 一="BA +AB+ -BG = ( c- a) + a+-( b- a)=AA2+AD+A百=3AB,故正確;I一，一一八對(duì)于，AC(ABAiA)=ACAB=0,故正確.對(duì)于，AD,AB>=120,故錯(cuò).3 .在空間四邊形OABC3333,OB=OC/AO®/AOC=y,則cosOABb的值為(D.0DOA-BC=OA-(OC-OB=OA-OC-OA-OB=|OAIOC|cos/AOC|OAI11二|cosZAOB210AOC_210AOB|=0,.OALBCcosOABO=0.4 .在空間四邊形ABC用，AB-CABC-ANCA-BD=.0原式=AB-CABCA>CA-(AD-AB=AB-(CD-CA+AD-(BOC