第二節(jié)對坐標的曲線積分

1、BAL:常力常力沿沿直線直線所作的功所作的功分割分割,0MA ABFW jyxQiyxPyxF),(),(),( jyixMMiiii)()(1 ),(,),(111111 nnnyxMyxMBMn OxyAB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM L),(iiF ix iy iM 問題問題11.2:變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功11.2 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分11.2.1 對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)求和求和 niiiiiiiyQxP1),(),( 取極限取極限 niiiiiiiyQxP1),(),( niiWW1 iW 取近似取近似取取jQi

2、PFiiiiii),(),(),( iiiiMMF1),( iiiiiiiyQxPW ),(),( 即即近似值近似值精確值精確值 W0lim ),(iiF Oxy AB0M 2M 1 nM 1M nM 1 iM Lix iy iM jyixMMiiii)()(1 或或 niiiiniiiiyQxPW1010),(lim),(lim 定義定義11.2 設(shè)設(shè)L為為xOy面內(nèi)從點面內(nèi)從點A到點到點B的一條的一條有向有向光滑光滑用用L上的點上的點把把L分成分成n個有向小弧段個有向小弧段)., 2 , 1(1niMMii ,11 iiiiiiyyyxxx設(shè)設(shè)曲線弧曲線弧,在在L上有界上有界.),(),(

3、yxQyxP函數(shù)函數(shù)iiiiMM1),( 為為點點 上任意取定的點上任意取定的點. 如果當各小段長度的最大值如果當各小段長度的最大值,0時時 BMyxMyxMMAnnnn ),(,),(,1111110iiniixP ),(1 的極限總存在的極限總存在, 記作記作則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(yxP在有向曲線弧在有向曲線弧 L上對上對坐標坐標x的曲線積分的曲線積分,或稱或稱第二型曲線積分第二型曲線積分.,d),( LxyxP LxyxPd),(即即類似地定義類似地定義 LyyxQd),(稱稱),(yxQ在有向曲線弧在有向曲線弧 L上對上對坐標坐標y 的曲線積分的曲線積分.積分弧段積分弧

4、段被積函數(shù)被積函數(shù)iiniixP ),(lim10 iiniiyQ ),(lim10 在應(yīng)用中常出現(xiàn)在應(yīng)用中常出現(xiàn)組合形式組合形式 LLyyxQxyxPd),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(其中其中 LsAd)d,d(dddyxj yixs 或或向量向量“點積點積”形形式式 LLyyxQxyxPd),(d),(),(),(),(),(yxQyxPjyxQiyxPA 沿沿閉曲線閉曲線L的曲線積分記作的曲線積分記作.dd LyQxP物理意義物理意義 LyyxQxyxPWd),(d),(jyxQiyxPF),(),( 變變力力sFLd )d,d(dyxs 沿平面曲線沿平面曲線L所做所做

5、的功為的功為類似地類似地, 可定義空間向量函數(shù)可定義空間向量函數(shù) LzRyQxPddd沿著空間曲線沿著空間曲線L的第二型曲線積分為的第二型曲線積分為kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( LsAd其中其中).d,d,d(ddddzyxkzj yixs 對坐標的曲線積分具有下列性質(zhì)對坐標的曲線積分具有下列性質(zhì): ),(),(),(),(11yxQyxPByxQyxPA 沿曲線沿曲線平面平面L的第二型曲線積分存在的第二型曲線積分存在, 則則 LLLsBksAksBkAkddd)(2121設(shè)設(shè)(1) 線性性質(zhì)線性性質(zhì):BkAk21 積分存在積分存在, 且且沿曲線沿曲線L的第二型曲線的第二

6、型曲線其中其中 為任意常數(shù)為任意常數(shù).21,kk,21LLL和和分分成成如如果果把把 yyxQxyxPd),(d),(LL1L2(2) 可加性可加性: LyQxPdd且它們的方向相應(yīng)地一致且它們的方向相應(yīng)地一致, 則則 21ddddLLyQxPyQxP(3) 有向性有向性: 方向相反的方向相反的是與是與LL 有向曲線有向曲線, 則則 yyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分與對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān)曲線的方向有關(guān)! L LL LOxy設(shè)設(shè)L是有向曲線是有向曲線,Oxy,)()( tytxL 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為定理定理11.2 設(shè)設(shè)),(),(yxQyxPt當當參參數(shù)數(shù),時

7、時變到變到由由 ,),(BLALyxM運運動動到到終終點點沿沿的的起起點點從從點點一一階階為為端端點點的的閉閉區(qū)區(qū)間間上上具具有有及及在在以以 )(),(tt,連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),d),(d),(存在存在 LyyxQxyxPQP LyyxQxyxPd),(d),(在有向曲線弧在有向曲線弧L上連續(xù)上連續(xù), 0)()(22 tt 且且且且)(t ),(t tt d)( tt d)( ),(t )(t 11.2.2 第二型曲線積分的計算第二型曲線積分的計算則曲線積分則曲線積分)(:)1(xyyL )(:)2(yxxL LyyxQxyxPd),(d),(, ax起起點點為為, cy起起點點為為 Lyyx

8、QxyxPd),(d),(b終終點點為為d終終點點為為則則xxyxyxQxyxPbad)()(,)(, yyyxQyxyyxPdcd),()(),( 則則對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān)對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān).積分下限應(yīng)是起點的坐標積分下限應(yīng)是起點的坐標,上限是終點的坐標上限是終點的坐標.曲線方程的其他情形曲線方程的其他情形,)()()(: tztytx zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(3) 對于空間曲線對于空間曲線 , 起起點點t 終終點點 )()(),(),(ttttP)()(),(),(ttttQ tttttRd)()(),(),( 例例1 計算計算上從上

9、從為拋物線為拋物線其中其中xyLxxyL 2,dxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 解解xy Lxxyd xxxd)( 1023d2xx54 AOxxyd OBxxyd xxxd.)1 , 1()1, 1(的的一一段段弧弧到到BA (1) 取取 x為積分變量為積分變量1010Oxy,2yx 112y11到到從從 y54 Lxxyd,d2dyyx y yyd2 上上從從為為拋拋物物線線其其中中計計算算xyLxxyL 2,d.)1 , 1()1, 1(的的一一段段弧弧到到BA Oxyxy 2)1, 1( A)1 , 1(B 114d2yy(2) 取取 y為積分變量為積分變量).0 , 0()

10、0 , 2()2();0 , 0()1 , 1()0 , 2(),20(11)1(OAxLOBAxxyL到到點點軸軸從從點點為為直直線線沿沿至至點點到到點點從從點點為為折折線線段段 解解 (1)35 例例2 計算計算,)d(d LyxyxxyI其中其中, 2 x, 1 xOxy 2 1 1AB,BOABL A點對應(yīng)點對應(yīng) B點對應(yīng)點對應(yīng).dd,2:xyxyAB AByxyxxy)d(d 12d)1)(2()2(xxxxxxyxyBOdd,: Oxy 2 1 1AB, 1 xB點對應(yīng)點對應(yīng), 0 xO點對應(yīng)點對應(yīng) BOyxyxxy)d(d 01d)(xxxxx31 LyxyxxyI)d(d BO

11、AByxyxxyyxyxxy)d(d)d(d23135 (2)Oxy 2 1 1A. 0d, 0: yyAO, 0 xO點對應(yīng)點對應(yīng), 2 xA點對應(yīng)點對應(yīng) LyxyxxyI)d(d0d002 xx0 問題問題: 被積函數(shù)相同被積函數(shù)相同, 起點和終點也相同起點和終點也相同, 但路徑不同但路徑不同, 積分結(jié)果也不同積分結(jié)果也不同. LyyxxyxI,d)(d)(解解 (1),sincos tytxA點對應(yīng)點對應(yīng) L的的參數(shù)方程參數(shù)方程為為, 0 t.2 tB點對應(yīng)點對應(yīng)其中其中1 tttttttId cos)sin(cos)sin)(sin(cos20 例例3 計算計算).1 , 0()0 ,

12、 0()0 , 1(,)2();1 , 0()0 , 1()1(BOAAOBLBAL點點至至到到點點從從點點為為折折線線段段沿沿上上半半單單位位圓圓至至點點為為從從點點xyO11ABtttd)2sin2(cos20 ,上上在在 AO, 01, 0到到從從xy 21 ,上上在在OB, 10, 0到到從從yx 12121 I問題問題: 被積函數(shù)相同被積函數(shù)相同, 起點和終點也相同起點和終點也相同, xyO11AB OBAOyyxxyxyyxxyxId)(d)(d)(d)(2) LyyxxyxId)(d)( 01dd)(d)(xxyyxxyxAO 10dd)(d)(yyyyxxyxOB21 雖然路徑

13、不同雖然路徑不同, 但積分結(jié)果相同但積分結(jié)果相同.,d)(d)(22 LyxyyxxyxI解解)20(,sincos ttaytaxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為其中其中L為圓周為圓周 2 tatatatatatataIdcos)sincos()sin)(sincos(202 例例4 計算計算.)0(222沿沿逆逆時時針針方方向向繞繞行行一一周周 aayxtttd )cos(sin2022 xyOa 其中其中是由點是由點A(1,1,1)到點到點B(2,3,4)的直線段的直線段.直線直線AB的方程為的方程為312111 zyx,1tx 1013d)146(tt解解化成參數(shù)式方程為化成參數(shù)式方程為于是

14、于是,d)1(dd zyxyyxx例例5 計算計算,21ty tz31 , 0 t, 1 tA點對應(yīng)點對應(yīng)B點對應(yīng)點對應(yīng) zyxyyxxd)1(dd 10d3)31 (d2)21 (d)1 (tttttt11.2.3 兩類曲線積分之間的關(guān)系兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)設(shè)A, B分別是曲線分別是曲線L的起點和終點的起點和終點, L的長度為的長度為l. M是曲線上的動點是曲線上的動點, 取弧長取弧長 作參數(shù)作參數(shù), sAM 可以表示為以可以表示為以s為參數(shù)的參數(shù)方程為參數(shù)的參數(shù)方程 lssyysxx 0,)()(則曲線則曲線L于是于是 BALyyxQxyxP:d),(d),(ssysysxQsxsys

15、xPlddd)(),(dd)(),(0 ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0 其中其中處的切線向量的處的切線向量的上點上點是曲線是曲線),(cos,cosyxLBA 方向余弦方向余弦. BALBALsQPyQxP:d)coscos(dd 即即 這就是平面上兩類曲線積分之間的關(guān)系這就是平面上兩類曲線積分之間的關(guān)系. BAzRyQxP:ddd BAsRQP:d)coscoscos( 類似地類似地,空間曲線空間曲線 上的兩類曲線積分有如下關(guān)系上的兩類曲線積分有如下關(guān)系 其中其中),()(cos,cos,coszyxBA上上點點是是曲曲線線 處的切線向量的方向余弦處的切線向量的

16、方向余弦. 例例6 把對坐標的曲線積分把對坐標的曲線積分 LyyxQxyxPd),(d),(2xy 解解 sxddcos 2412xx 所以所以.d412),(),(2 LsxxyxQyxP化為對弧長的曲線積分化為對弧長的曲線積分.其中其中L為沿拋物線為沿拋物線從點從點(0,0)到到(1,1).,2xy ,2xy 由由xysd1d2 ,d412xx ,4112x syddcos LyyxQxyxPd),(d),(作業(yè)作業(yè)習題習題11.2 (27611.2 (276頁頁) )1(1) (3) (4) (8)；2；3；人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，