旋轉(zhuǎn)曲面的面積

1、4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 定積分的所有應(yīng)用問題, 都可按 “分一、微元法二、旋轉(zhuǎn)曲面的面積用以導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算公式. “微元法”來處理. 本節(jié)將介紹微元法,并量的積分形式, 但在實(shí)際應(yīng)用中又常用割、近似、求極限” 三個步驟導(dǎo)出所求( )( )d ,xaxf tt 則則( )( ) ,d( )dxf xf xx 或或, 且且( )0 ,( )( )d .baabf xx當(dāng)當(dāng),baf 為為上的連續(xù)函數(shù)時，若令上的連續(xù)函數(shù)時，若令一、微元法現(xiàn)在恰好要把問題倒過來現(xiàn)在恰好要把問題倒過來: 若所求量若所求量 是分布在區(qū)是分布在區(qū) , (),a xaxb間間上上的的 或者說它是該區(qū)間的端點(diǎn)或者說它是該區(qū)間

2、的端點(diǎn) x 的函數(shù)的函數(shù), 即即( ) ,f xx 其中其中 f 為某一連續(xù)函數(shù)為某一連續(xù)函數(shù), 而且當(dāng)時而且當(dāng)時,0 x( )( ),f xxox 而且當(dāng)而且當(dāng) x = b 時時,)(b 適為最終所求的值適為最終所求的值. 那么只要把那么只要把( )dbaf xx計算出來計算出來, 就是該問題所就是該問題所,),(baxx 在任意小區(qū)間上在任意小區(qū)間上, 若能把若能把 的的 , , x xxa b 微小增量近似表示為的線性形微小增量近似表示為的線性形式式 x( ) .f xx 在一般情況下在一般情況下, 要嚴(yán)格檢驗(yàn)要嚴(yán)格檢驗(yàn)( )f xx 以上方法通常稱為以上方法通常稱為微元法微元法, 在用

3、微元法時在用微元法時, 應(yīng)注意應(yīng)注意:求的結(jié)果求的結(jié)果.(2) 微元法的關(guān)鍵是正確給出微元法的關(guān)鍵是正確給出的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式 為為的高階無窮小量不是一件容易的事的高階無窮小量不是一件容易的事.x (1) 所求量所求量 關(guān)于分布區(qū)間必須是可加的關(guān)于分布區(qū)間必須是可加的. ),0)(, )( xfbaxxfy這段曲線繞這段曲線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面(如下圖如下圖).設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線 C 的方程為的方程為二、 旋轉(zhuǎn)曲面的面積Oabxyxxx ( )yf x通過通過 x 軸上點(diǎn)軸上點(diǎn) x 與與 分別作垂直于分別作垂直于 x 軸的軸的平平 xx 22 (

4、 )( ) Sf xf xxxy22 ( ) 1(),yf xyxx 其中其中( )( ).yf xxf x由于由于2200lim0, lim1()1( ),xxyyfxx 時時, , 此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積, , 即即面面, 它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹帶它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹帶. 當(dāng)很小當(dāng)很小x因此由的連續(xù)性可以保證因此由的連續(xù)性可以保證)(xf 22 2 ( )12( ) 1( )yf xyxf xfxxx( ),ox所以得到所以得到2d2 ( ) 1( )d ,Sf xfxx22( ) 1( )d .baSf xfxx如果光滑曲線由參數(shù)方程如

5、果光滑曲線由參數(shù)方程,),(),( ttyytxx給出給出, 且且, 0)( ty則曲線則曲線 C 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積為曲面的面積為222( )( )( )d .Sy txtytt 例例1 求將橢圓求將橢圓)(12222babyax 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得所得橢球面的面積橢球面的面積.解解 將上半橢圓寫成參數(shù)方程將上半橢圓寫成參數(shù)方程cos ,sin ,0.xat ybtt 令令222,ccabea則則222202sinsincosdSbt atbt t2222204sin()cosdbt aabt t222204cosd(cos )bactt 122041d

6、abe uu2211141arcsin022abue ueue2arcsinbacabaca222222arcsin.aabb baab aba特特別別當(dāng)當(dāng)時時, ,即即半半徑徑為為 的的球球面面的的面面積積: :02222/204sin d4cos4.Sat tata例例2 求心臟線求心臟線)cos1( ar繞極軸旋轉(zhuǎn)所得曲繞極軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的面積面的面積.當(dāng)然，這也可從上面已求得的橢球面的面積而得當(dāng)然，這也可從上面已求得的橢球面的面積而得,解解 將曲線用參數(shù)方程表示將曲線用參數(shù)方程表示:cos(1cos )cos ,xra 于是于是sin(1cos )sin .yra 請讀者自行指出這應(yīng)該怎么做？請讀者自行指出這應(yīng)該怎么做？22