線性代數(shù)1.1,1.2

1、行列式1.1 二階與三階行列式一、一、二元線性方程組與二階行列式二、二、三階行列式三、三、小結(jié)一、二元線性方程組與二階行列式線性方程組 指的是由數(shù)個一次方程所構(gòu)成的方程組。 例n 元線性方程組未知數(shù)個數(shù)共有 n 個的線性方程組。 . 3624, 2253321321xxxxxx . 7235, 3623, 2352zyxzyxzyx消元法解二元線性方程組 例 .1665,2432121xxxx1 12 21 1 ( 6)2 2 412241821 xx64 242021 xx76 381 x2 1 x消元法解二元線性方程組 - - 續(xù) .1665,2432121xxxx121 1 52 2 3

2、10201521 xx84 181521 xx83 382 x1 2 x消元法解二元線性方程組 - - 一般情形 .,22221211212111bxaxabxaxa消元法解二元線性方程組 - - 一般情形 .,22221211212111bxaxabxaxa121 1 a222 2 a122212221212211abxaaxaa 122221112212211 ababxaaaa 122122111222211 aaaaababx 1222122211221abxaaxaa ( ( 若 a11 a22 a21 a12不為零 ) )？消元法解二元線性方程組 - - 一般情形 續(xù) .,2222

3、1211212111bxaxabxaxa121 1 a212 2 a112112211212111abxaaxaa 211112221121122 ababxaaaa 211211222111122 aaaaababx 1122112211121abxaaxaa ( ( 若 a11 a22 a21a12不為零 ) )整理 .,22221211212111bxaxabxaxa 若 a11 a22 a21a12不為零，方程組有唯一解 122122111222211 aaaaababx 211211222111122 aaaaababx 分母部分由原方程組的四個系數(shù)決定定義 由四個數(shù)排成二行二列（橫

4、排稱行、豎排 稱列）的數(shù)表表達(dá)式 a11a22 a12a21 稱為此數(shù)表所確定的二階行列式，并記作22211211aaaa22211211aaaa即.2112221122211211aaaaaaaaD 例.2112221122211211aaaaaaaa 43213241 .2 72592579 .53 70530573 .21 11a12a22a21a主對角線副對角線二階行列式的計算若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組D 稱為此線性方程組對應(yīng)的系數(shù)行列式= a11a22 a12a21 .,22221211212111bxax

5、abxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .2211112babaD 除了系數(shù)行列式，我們再考慮以下兩個特別的行列式 D1 以及 D2 . 回顧 .,22221211212111bxaxabxaxa 若 a11 a22 a21a12不為零，方程組有唯一解 122122111222211 aaaaababx 211211222111122 aaaaababx , 22211211aaaaD , 2221211ababD . 2211112babaD 可得到: : 以下二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 若其系數(shù)行列式 D 不為零，方程

6、組有 唯一解 ,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 例 求解二元線性方程組二、三階行列式定義 設(shè)有 9 個數(shù)排成 3 行 3 列的數(shù)表 記記333231232221131211aaaaaaaaa(6) 式稱為數(shù)表 (5) 所確定的三階行列式333231232221131211aaaaaaaaa( 5 )( 6 )符號規(guī)則 333231232221131

7、211aaaaaaaaaD 列標(biāo)行標(biāo) 元素（元）符號規(guī)則這門課會出現(xiàn)的矩形數(shù)表，其中元素位置的標(biāo)號均按照類似規(guī)則。 12n例 如以下 n 行 m 列的矩形數(shù)表。nmmmnnaaaaaaaaa212221212111行標(biāo) 列標(biāo)12m三階行列式的計算：對角線法則333231232221131211aaaaaaaaa說明注意對角線法則只適用于二階與三階行列式！紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號。=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32三階行列式的計算：對角線法則333231232221131211

8、aaaaaaaaa說明紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號。=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32另一個記憶三階行列式對角線法則的方式333231232221131211aaaaaaaaa相同數(shù)表復(fù)制一次例 2 計算三階行列式2-43-122-4-21D 解 按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 例 3 求解方程. 094321112 xx解解方程左端由 x2 5x + 6 = 0 解得 x = 2 或 x =

9、3. D = 3x2 + 4x + 18 2x2 9x 12= x2 5x + 6三、小結(jié)對角線法則專屬于二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa1.2 全排列和對換全排列和對換一、全排列及其逆序數(shù)二、小結(jié)一、全排列及逆序數(shù)定義把 n 個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素的全排列（或排列）。通常我們將 n 個不同的元素分別以 1, 2, , n 來命名，并將其依序列出來表示一個排列。例 以下是

10、 5 個元素的幾個不同排列 (非全部)12345543213451234215412532135415324問題把 n 個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？練習(xí)試著寫出 4 個元素的所有不同排列。 n 個不同的元素的所有排列的種類數(shù)，通常用 Pn 表示。解解= n !Pn = n (n 1) (n 2) 3 2 1排列的逆序例 排列 32514 中， 我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序，n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，即排列 12 n。3 2 5 1 4逆序逆序逆序定義在一個排列 i1i2itisin 中，若數(shù) it is，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成了一個逆序。排列的逆序數(shù)定義一個中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)計算方法分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)，再求加總。也可分別計算出排列中每個元素后面比它小的數(shù)碼個數(shù)，再求加總。例 4 求排列 32514 的逆序數(shù)。 3 2 5 1 4故此排列的逆序數(shù)為 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5。2 1 2 0 0每個數(shù)