高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第15講)等差數(shù)列

1、題目 第三章數(shù)列等差數(shù)列高考要求 理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題知識點歸納 1等差數(shù)列的定義: 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示2等差數(shù)列的判定方法:定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列 等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列3等差數(shù)列的通項公式:如果等差數(shù)列的首項是，公差是，則等差數(shù)列的通項為該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)4等差數(shù)列的前n項和: 對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)5等差中項:如果，成等差數(shù)列，那么叫

2、做與的等差中項即：或在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項5等差數(shù)列的性質(zhì):等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公差為，則有 對于等差數(shù)列，若，則也就是：若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等差數(shù)列如下圖所示：6奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和，則有如下性質(zhì)：前n項的和當(dāng)n為偶數(shù)時，其中d為公差；當(dāng)n為奇數(shù)時，則，（其中是等差數(shù)列的中間一項）7前n項和與通項的關(guān)系：若等差數(shù)列的前項的和為，等

3、差數(shù)列的前項的和為，則題型講解 例1 如果一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32:27，求公差； 分析：等差數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項也成等差數(shù)列，等差數(shù)列中通項公式和前n項和公式中五個量，只要知道其中三個，就可以求其它兩個，而是基本量解：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為d，則例2 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn已知a3=12, S120,S130()求公差d的取值范圍；()指出S1,S2,S12,中哪一個值最大,并說明理由解： ()依題意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)將(3)式分別代入(1),(2)式,得 ，()由d0可知 a1a2a3a

4、12a13因此,若在1n12中存在自然數(shù)n,使得an0,an+10,則Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70由此得 a6a70因為a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大例3 已知5個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個數(shù) 解：設(shè)三個數(shù)為a，公差為d，則這5個數(shù)依次為a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依題意：(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 =且(a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5即 a2+2d

5、2 = 且 a=1 a=1且d=當(dāng)d=時，這5個數(shù)分別是、1、；當(dāng)d=時，這5個數(shù)分別是、1、例4等差數(shù)列an的前n項和Sn且S5=-5,S10=15,求數(shù)列的前n項和Tn 解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，首項為a1，由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15解得a1=-3 ，d=1Sn = n(-3)+ 是等差數(shù)列且首項為3、公差為Tn = n(-3)+例5 項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求這個數(shù)列的中間項及項數(shù)解：設(shè)數(shù)列共2m+1（mN*）把該數(shù)列記為an依題意a1+a3+a2m+1=44 且a2+a4+a2m=33 即 (a2+a2m)

6、=33（1） (a1+a2m)=44 （2） （1）（2）得m = 3代入（1）得a2+a2m = 22 am+1=11 即該數(shù)列有7項，中間項為11例6 在直角坐標(biāo)平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列求點的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式解：（1）（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：，=（3），T中最大數(shù)設(shè)公差為，則，由此得說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（

7、2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差例7已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn ,n為正偶數(shù)，且a1 ,a2 ,a3, ,an組成等差數(shù)列，又f(1)=n2 ,f(-1)=n ，試比較f( )與3的大小解：f(1)=n2 ,f(-1)=n ，f(1)=a1 +a2+an=n2 , f(-1)=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n依題設(shè)有，d=nd=2， a1=1于是f(x)=x+3x2+5x3+7x4+(2n-1)xnf()=+3()2+5()3+7()4+(2n-1)()n兩邊同乘：f()=+3()3+5()4+7()5+(2n-1)(

8、)n+1-得 f()=2()22()3+2()n-(2n-1)()n+1即f()=+()2+()n-1-(2n-1)()n+1f()=1+1+-(2n-1)()n=1+-(2n-1) = 1+2-(2n-1)3f()3小結(jié)：等差數(shù)列的定義、基本運算及通項公式、前n項和公式的應(yīng)用，不僅要熟練應(yīng)用基本公式，還要會用變通公式，如在等差數(shù)列中，an=am+(n-m)d 由五個量a1 ,d , n ,an ,Sn中的三個量可求出其余兩個量，要求選用公式要恰當(dāng)，即善于減少運算量，達(dá)到快速、準(zhǔn)確的目的已知多個數(shù)成等差數(shù)列，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運算量，如三個數(shù)成等差數(shù)列時，除了設(shè)a ,a+d ,a+2d

9、外，還可設(shè)a-d ,a ,a+d ;四個數(shù)成等差數(shù)列時，可設(shè)為a-3d ,a-d ,a+d ,a+3d在求解數(shù)列問題時，除注意函數(shù)思想、方程思想、消元及整體消元的利用外，還要特別注意解題中要有“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”學(xué)生練習(xí) 1數(shù)列an是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn是首項為-2，公差為4的等差數(shù)列若an=bn,則n的值為（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）72在等差數(shù)列an中,am=n,an=m,則am+n的值為（ ）（A）m+n （B） （C） （D）03在等差數(shù)列an中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,則a3+a6+a9的值為（ ）（A）30

10、（B）27 （C）24 （D）214一個直角三角形的三條邊成等差數(shù)列，則它的最短邊與最長邊的比為（ ）（A）45 （B）513 （C）35 （D）12135在等差數(shù)列an中，Sm=Sn,則Sm+n的值為（ ）（A）0 （B）Sm+Sn （C）2(Sm+Sn) （D）6數(shù)列an的前n項和Sn=n2+1是an=2n-1成立的（ ）（A）充分但不必要 （B）必要但不充分（C）充要條件 （D）既不充分又不必要7一個凸n邊形內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差為5，且最大角為160，則n的值為（ ）（A）9 （B）12 （C）16 （D）9或168在等差數(shù)列an中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值為（ ）（A）p

11、+q （B）-(p+q) （C）p2-q2 （D）p2+q29已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a99=0,則（ ）（A）a1+a990 （B）a2+a980 （C）a3+a97=0 （D）a50=5010若數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為，且S100=145，則a2+a4+a100的值為（ ）（A）60 （B）85 （C） （D）其它值11已知數(shù)列an的通項公式為an=(-1)n+1(4n-3),則它的前100項之和為（ ）（A）200 （B）-200 （C）400 （D）-40012若數(shù)列an由a1=2,an+1=an+2n(n)確定，則a100的值為（ ）（A）9900 （B）9902 （C）9

12、904 （D）990613已知等差數(shù)列an的公差為d,d0,a1d,若這個數(shù)列的前20項的和為S20=10M，則M等于（ ）（A）a4+a16 （B）a20+d （C）2a10+d （D）a2+2a1014若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四個根可以組成首項為的等差數(shù)列，則a+b的值為（ ）（A） （B） （C） （D）15數(shù)列an中，a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1，則a2n= 16在等差數(shù)列an中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,則a8= 17在等差數(shù)列an中，S4=6,S8=20,則S16= 18在等差數(shù)列an中，S3=S8,S2=Sn,則n

13、= 19某露天劇場共有28排座位，第一排有24個，后一排比前一排增加兩個座位，則全劇場共有座位 個20成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，第一個數(shù)與第四個數(shù)積為22，則這四個數(shù)為 21打一口深20米的井，打到第一米深處時需要40分鐘，從第一米深處打到第二米深處需要50分鐘，以后每深一米都要比前一米多10分鐘，則打到最后一米深處要用 小時，打完這口井總共用 小時22在項數(shù)為n的等差數(shù)列an中，前三項之和為12，最后三項之和為132，前n項之和為240，則n= 23已知數(shù)列an為等差數(shù)列，前30項的和為50，前50項的和為30，求前80項的和24已知數(shù)列an的前n項和為Sn=n2+C(C為常數(shù))，求數(shù)列

14、a0的通項公式，并判斷an是不是等差數(shù)列25設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,bn=，且a3b3=，S5+S3=21,求bn26已知數(shù)列an為首項a10，公差為d0的等差數(shù)列，求Sn=27求從1到100中所有不被3及5整除的整數(shù)之和28用分期付款方式購買家用電器一件，價格為1150，購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，若交付150元以后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第十個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花了多少錢？29已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(1)設(shè)f(x)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an，求

15、證：an為等差數(shù)列(2)設(shè)f(x)的圖像的頂點到x軸的距離構(gòu)成bn，求bn的前n項和參考答案：題號12345678答案BDBCADAB題號91011121314答案CBBBCD15p+(2n-1)(q-p) 1614 1772 189 191428 202,5,8,11或11,8,5,2 212210a1+a2+a3=12,an-2+an-1+an=132,相加得3（a1+an）=144,a1+an=48,求得Sn=240,n=1023S50-S30=a31+a32+a50=30-50=-20a1+a80=-2 S80=24當(dāng)n=1時，a1=S1=1+c當(dāng)n時，an=Sn-Sn-1=(n2+c

16、)-(n2+c)-(n-1)2+C=2n-1an= 若C=0，an=2n-1,此時an-an-1=2(n)an為等差數(shù)列若C0,C+11,an不為等差數(shù)列25 由，得a1=d由，得8a1+13d=1故a1=d=1Sn=26Sn=27設(shè)S表示從1到100的所有整數(shù)之和S1表示從1到100中所在能被3整除的整數(shù)的和S2表示從1到100中所有能被5整除的整數(shù)的和S3表示從1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整數(shù)的和則S=由99=3+（n-1）3,得n=33 由100=5+(n-1) 5,得n=20 S3表示15，30，45，90之和 S3=從1到100中所有不被3及5整除的整數(shù)之和為S-S1-S2+S3=263228購買時付了150元，欠款1000元每月付50元，分20次付完，設(shè)每月付款數(shù)順次組成數(shù)列an,則a1=50+100000