高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第50講)圓錐曲線的應(yīng)用

1、題目 第八章圓錐曲線圓錐曲線的應(yīng)用高考要求 1閱讀理解數(shù)學(xué)應(yīng)用題給出的方式是材料的陳述，而不是客體的展示也就是說，所考的應(yīng)用題通常已進(jìn)行過初步加工，并通過語言文字、符號(hào)或圖形展現(xiàn)在考生面前，要求考生讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)2數(shù)學(xué)建模，即將應(yīng)用題的材料陳述轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題這就要抽象、歸納其中的數(shù)量關(guān)系，并把這種關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來3數(shù)學(xué)求解根據(jù)所建立數(shù)學(xué)關(guān)系的知識(shí)系統(tǒng)，解出結(jié)果，從而得到實(shí)際問題的解答通過圓錐曲線在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力知識(shí)點(diǎn)歸納 解析幾何在日常生活中應(yīng)用廣泛，如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵，而建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問

2、題轉(zhuǎn)化的常用方法本節(jié)主要通過圓錐曲線在實(shí)際問題中的應(yīng)用，說明數(shù)學(xué)建模的方法，理解函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想題型講解 例1 設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時(shí)，經(jīng)過地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角分別為和，求該彗星與地球的最近距離分析：本題的實(shí)際意義是求橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關(guān)系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解同時(shí)，還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進(jìn)行思考仔細(xì)分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當(dāng)該彗星運(yùn)行到橢圓的較近頂點(diǎn)處時(shí)，彗星與地球的距離才達(dá)到最小值即為ac，這樣把問

3、題就轉(zhuǎn)化為求a，c或ac解：建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)F（c，0）處，橢圓的方程為+=1，當(dāng)過地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角為時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足xFA=（或xFA=）作ABOx于B，則FB=FA=m，故由橢圓的第二定義可得m=（c） 且m=（c+m）兩式相減得m=·m，a=2c代入，得m=（4cc）=c，c=mac=c=m答：彗星與地球的最近距離為m萬千米點(diǎn)評(píng)： （1）在天體運(yùn)行中，彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)是近地點(diǎn)，另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)，這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是ac，另一個(gè)是a+c（2）以上給出

4、的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識(shí)地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)例2 某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土最省工分析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn)顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)則有MA+PA=MB+PB于是MAMB=PBPA=1501

5、00=50從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則MA+PA=MB+PB，MAMB=PBPA=50在PAB中，由余弦定理得AB2=PA2+PB22PAPBcos60°=17500，且50AB由雙曲線定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，設(shè)此雙曲線方程為=1（a0，b0） 2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，解之得a2=625，b2=3750M點(diǎn)軌

6、跡是=1（x25）在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工點(diǎn)評(píng)：（1）本題是不等量與等量關(guān)系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域（2）應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：確定分類的對(duì)象；進(jìn)行合理的分類；逐類逐級(jí)討論；歸納各類結(jié)果例3 根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況，一般卡車高3 m，寬16 m現(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線04 m的距離行駛已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通

7、過的a的最小整數(shù)值分析：根據(jù)問題的實(shí)際意義，卡車通過隧道時(shí)應(yīng)以卡車沿著距隧道中線04 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過，取決于距隧道中線2 m（即在橫斷面上距拱口中點(diǎn)2 m）處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得解：如圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的方程為x2=2p（y），點(diǎn)A（，0）在拋物線上，（）2=2p（0），得p=拋物線方程為x2=a（y）取x=16+04=2，代入拋物線方程，得22=a（y），y=由題意，令y3，得3，a0，a212a160a6+2又aZ，a應(yīng)取14，15

8、，16，答：滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14 m點(diǎn)評(píng)： 本題的解題過程可歸納為兩步：一是根據(jù)實(shí)際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點(diǎn)2 m處y的值；二是由y3通過解不等式，結(jié)合問題的實(shí)際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的例4 如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22 m，要求通行車輛限高45 m，隧道全長(zhǎng)25 km，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀 （1）若最大拱高h(yuǎn)為6 m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6 m，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小？（半個(gè)橢圓的面積公式為S=lh，

9、柱體體積為底面積乘以高本題結(jié)果均精確到01 m）（1）解：如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11，45），橢圓方程為+=1將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時(shí)l=2a=333因此隧道的拱寬約為333 m（2）解法一：由橢圓方程+=1，得+=1因?yàn)?，即ab99，且l=2a，h=b，所以S=lh=當(dāng)S取最小值時(shí)，有=，得a=11，b=此時(shí)l=2a=22311，h=b64故當(dāng)拱高約為64 m、拱寬約為311 m時(shí)，土方工程量最小解法二：由橢圓方程+=1，得+=1于是b2=·a2b2=（a2121+242）（2+242）=81×121，即ab99，當(dāng)S取最小值時(shí)，有a21

10、21=得a=11，b=，以下同解法一例5 一摩托車手欲飛躍黃河，設(shè)計(jì)摩托車沿跑道飛出時(shí)前進(jìn)方向與水平方向的仰角是12°，飛躍的水平距離是35 m，為了安全，摩托車在最高點(diǎn)與落地點(diǎn)的垂直落差約10 m，那么，騎手沿跑道飛出時(shí)的速度應(yīng)為多少？（單位是 km/h，精確到個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：sin12°=02079，cos12°=09781，tan12°=02125）分析：本題的背景是物理中的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，摩托車離開跑道后的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，它是由水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向上的上拋運(yùn)動(dòng)合成的，它們運(yùn)行的位移都是時(shí)間t的函數(shù)，故應(yīng)引入時(shí)間t，通過速度v的矢量分解

11、來尋找解決問題的途徑解： 摩托車飛離跑道后，不考慮空氣阻力，其運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，軌跡方程是x=vtcos12°，y=vtsin12°×98t2其中v是摩托車飛離跑道時(shí)的速度，t是飛行時(shí)間，x是水平飛行距離，y是相對(duì)于起始點(diǎn)的垂直高度，將軌跡方程改寫為y=×98x2+tan12°·x，即y=51219+02125x當(dāng)x00207v2時(shí)，取得ymax00022v2當(dāng)x=35時(shí)，y落=62743275+74375ymaxy落=10，00022v2+62743275174375=0，解得v1944 m/s或v8688 m/s若v8688 m/

12、s，則x=156246 m，與題目不符，而v1944 m/s，符合題意，為所求解故v1944 m/s=69984 km/h70 km/h答：騎手沿跑道飛出時(shí)的速度應(yīng)為70 km/h點(diǎn)評(píng)：本題直接構(gòu)造y是x的函數(shù)解析式很困難，應(yīng)引入適當(dāng)?shù)膮?shù)（時(shí)間t）作媒介，再研究x與y是怎樣隨參數(shù)變化而變化的，問題往往就容易解決了這種輔助變量的引入要具體問題具體分析，以解題的簡(jiǎn)捷為原則例6 A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4 s后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳

13、播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角解：如下圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則B（3，0）、A（3，0）、C（5，2）因?yàn)閨PB|=|PC|，所以點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上因?yàn)閗BC=，BC中點(diǎn)D（4，），所以直線PD的方程為y=（x+4） 又|PB|PA|=4，故P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上設(shè)P（x，y），則雙曲線方程為=1（x0） 聯(lián)立，得x=8，y=5，所以P（8，5）因此kPA=故炮擊的方位角為北偏東30° 小結(jié):解決圓錐曲線應(yīng)用問題時(shí)，要善于抓住問題的實(shí)質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用性問題向數(shù)學(xué)問題的順利轉(zhuǎn)化；要注意認(rèn)真分析數(shù)量間

14、的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，確定正確的問題解決途徑，靈活運(yùn)用解析幾何的常用數(shù)學(xué)方法，求得最終完整的解答學(xué)生練習(xí) 1一拋物線型拱橋，當(dāng)水面離橋頂2 m時(shí)，水面寬4 m，若水面下降1 m時(shí)，則水面寬為Am B2m C45 m D9 m解析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=2Py（P>0），由題意知，拋物線過點(diǎn)（2，2），4=2p×2p=1x2=2y當(dāng)y0=3時(shí)，得x02=6水面寬為2|x0|=2答案：B2某拋物線形拱橋的跨度是20 m，拱高是4 m，在建橋時(shí)每隔4 m需用一柱支撐，其中最長(zhǎng)的支柱是A4 m B384 m C148 m D292 m解析

15、：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p>0），由題意知其過定點(diǎn)（10，4），代入x2=2py，得p=x2=25y當(dāng)x0=2時(shí)，y0=，最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)為4|y0|=4=384（m）答案：B3天安門廣場(chǎng)，旗桿比華表高，在地面上，觀察它們頂端的仰角都相等的各點(diǎn)所在的曲線是A橢圓 B圓 C雙曲線的一支 D拋物線解析：設(shè)旗桿高為m，華表高為n，mn旗桿與華表的距離為2a，以旗桿與地面的交點(diǎn)和華表與地面的交點(diǎn)的連線段所在直線為x軸、垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)曲線上任一點(diǎn)M（x，y），由題意=，即（m2n2）x2+（m2n2）y22a（m2n2）x+ （m2n2）a2=0答案：B41998

16、年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為m km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為 n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)等于A2 B C2mn Dmn解析：由題意c=m+R， +c=n+R， c=，2b=2=2答案：A5如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面2 m，P距拋物線對(duì)稱軸1 m，則在水池直徑的下列可選值中，最合算的是A25 m B4 m C5 m D6 m解析：以O(shè)為原點(diǎn)，OP所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖），則拋物

17、線方程可設(shè)為y=a（x1）2+2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），1=a+2a=1y=（x1）2+2令y=0，得（x1）2=2，x=1±水池半徑OM=+12414（m）因此水池直徑約為2×|OM|=4828（m）答案：C6探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點(diǎn)，已知燈口直徑是 60 cm，燈深40 cm，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離是_ cm解析：設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0），點(diǎn)（40，30）在拋物線y2=2px上，900=2p×40p=因此，光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為 cm 答案：7在相距1400 m的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時(shí)間相差3

18、s，已知聲速340 m/s炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程為_解析：設(shè)M（x，y）為曲線上任一點(diǎn)，則|MA|MB|=340×3=1020<1400M點(diǎn)軌跡為雙曲線，且a=510，c=700b2=c2a2=（c+a）（ca）=1210×190M點(diǎn)軌跡方程為=1答案：=18一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2=2y（0y20）在杯內(nèi)放入一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍為_解析：玻璃球的軸截面的方程為x2+（yr）2=r2由x2=2y，x2+（yr）2=r2，得y2+2（1r）y=0，由=4（1r）2=0，得r=1答案：0r19河上有一拋物線型拱橋

19、，當(dāng)水面距拱頂5 m時(shí)，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高 m，問水面上漲到與拋物線拱頂相距_m時(shí)，小船不能通航解析：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p>0）將點(diǎn)（4，5）代入求得p=x2=y將點(diǎn)（2，y1）代入方程求得y1=+|y1|=+=2（m）答案：210下圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，容器由若干根等長(zhǎng)的鐵筋焊接在一起的架子支撐已知鏡口圓的直徑為12 m，鏡深2 m，（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的方程和焦點(diǎn)的位置；（2）若把盛水和食物的

20、容器近似地看作點(diǎn)，試求每根鐵筋的長(zhǎng)度解：（1）如下圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，x軸垂直于鏡口直徑由已知，得A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，6），設(shè)拋物線方程為y2=2px（p0），則36=2p×2，p=9所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=18x，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（，0）（2）盛水的容器在焦點(diǎn)處，A、F兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長(zhǎng)|AF|=（或|AF|=+2=）故每根鐵筋的長(zhǎng)度是65 m11有一種電影放映機(jī)的放映燈泡的玻璃上鍍鋁，只留有一個(gè)透明窗用作通光孔，它的反射面是一種曲線旋轉(zhuǎn)而成的曲面的一部分，燈絲定在某個(gè)地方發(fā)出光線反射到卡門上，并且這兩物體間距離

21、為45 cm，燈絲距頂面距離為28 cm，為使卡門處獲得最強(qiáng)烈的光線，在加工這種燈泡時(shí)，應(yīng)使用何種曲線可使效果最佳?試求這個(gè)曲線方程分析：由于光線從燈絲發(fā)出，反射到卡門上光線應(yīng)交于一點(diǎn)，這就是光線聚焦，只要把燈絲、卡門安在橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)上，反射面采用旋轉(zhuǎn)橢球面就可以使光線經(jīng)反射后聚焦于卡門處，因而可獲得強(qiáng)光解：采用橢圓旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如下圖建立直角坐標(biāo)系，中心截口BAC是橢圓的一部分，設(shè)其方程為+=1，燈絲距頂面距離為p，由于BF1F2為直角三角形，因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由橢圓性質(zhì)有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），a= （28+）405

22、 cm，b=337 m所求方程為+=112某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔如圖所示，已知上部呈拋物線形，跨度為20 m，拱頂距水面6 m，橋墩高出水面4 m，現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18 m，目前吃水線上部分中央船體高5 m，寬16 m，且該貨船在現(xiàn)在狀況下還可多裝1000 t貨物，但每多裝150 t貨物，船體吃水線就要上升004 m，若不考慮水下深度，該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么?解：如下圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為y=ax2，則A（10，2）在拋物線上，2=ax2，a=，方程即為y=x2讓貨船沿正中央航行船寬16 m，而當(dāng)x=8時(shí)，y=

23、3;82=128 m，船體在x=±8之間通過由B（8，128），B點(diǎn)離水面高度為6+（128）=472（m），而船體水面高度為5 m，無法直接通過又5472=028（m），028÷004=7，而150×7=1050（t），要用多裝貨物的方法也無法通過，只好等待水位下降13 2003年10月15日9時(shí)，“神舟”五號(hào)載人飛船發(fā)射升空，于9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，開始巡天飛行該軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓選取坐標(biāo)系如圖所示，橢圓中心在原點(diǎn)近地點(diǎn)A距地面200 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350 km已知地球半徑R=6371 km（如圖）（1）求飛船飛行的橢圓軌道

24、的方程；（2）飛船繞地球飛行了十四圈后，于16日5時(shí)59分返回艙與推進(jìn)艙分離，結(jié)束巡天飛行，飛船共巡天飛行了約6×105 km，問飛船巡天飛行的平均速度是多少?（結(jié)果精確到1 km/s）（注：km/s即千米/秒）解：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1由題設(shè)條件得ac=|OA|OF2|=|F2A|=6371+200=6571，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，b2=a2c2=（a+c）（ac）=6721×6571=44163691所求橢圓的方程為+=1（注：由66455768得橢圓的方程為+ =1，也是正確的）（2）從15日9時(shí)到16日6時(shí)共21個(gè)小時(shí)，即21×3600 s減去開始的9分50 s，即9×60+50=590（s）