(事件的概率與古典概率、幾何概率)

1、2021/4/21 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二講第二講2021/4/221.2 1.2 事件的概率事件的概率一一 頻率與概率的統(tǒng)計定義頻率與概率的統(tǒng)計定義二二 概率的公理化定義與概率的性質(zhì)概率的公理化定義與概率的性質(zhì)1.3 1.3 古典概率模型古典概率模型一一 古典概率模型及其事件概率求法古典概率模型及其事件概率求法二二 幾何概率（幾何概率（補(bǔ)充補(bǔ)充）2021/4/231.2 事件的概率事件的概率1.2.1 1.2.1 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義1.1.頻率頻率 設(shè)A是一個事件, 在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，A發(fā)生了m 次. 則稱 m為事件A在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)或頻次，稱 m與

2、 n之比 m/n 為事件A在 n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為 fn(A). . 度量事件A A在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫概率,記為P P( (A A).).2021/4/24(1)(1) 0 0 fn( (A)1)1；(2)(2) fn ()=1, ()=1, fn ()=0()=0；(3).(3).若事件若事件 A1 1, ,A2 2,Ak k 兩兩互斥，則兩兩互斥，則: : 頻率性質(zhì)頻率性質(zhì)。 kiinkiinAfAf11)(2021/4/25 考慮在相同條件下進(jìn)行的 k 組試驗(yàn)事件A在各組試驗(yàn)中的頻率形成一個數(shù)列. 2211kknmnmnm，2021/4/26頻率穩(wěn)定性是指：頻率穩(wěn)定性是

3、指：各組試驗(yàn)次數(shù) n1, ,n2, nk 充分大時，在各組試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的頻率間、或頻率與某定值相差很小. 穩(wěn)定在概率穩(wěn)定在概率 p 附近附近 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時，事件A在每組試驗(yàn)中的頻率總在某一個數(shù)附近來回擺動，且試驗(yàn)次數(shù)越多，擺動的幅度越小.該性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性.2021/4/27 在n次重復(fù)試驗(yàn)中，A的頻率fn(A)隨試驗(yàn)次數(shù)n的增加而在0,1上的某個數(shù)p附近來回擺動，且n越大，擺動的幅度越小，稱p為A的概率，記為P(A),即P(A)=p.2.2.概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義注意：注意：統(tǒng)計定義沒有給出定義概率的方法，因?yàn)椴豢赡芤涝摱x確切地給出任一事件的概率.但其重要性在于 頻率

4、在一定程度上反映了事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.盡管每進(jìn)行的n次試驗(yàn)，所得到的頻率可能各不相同,但只要 n足夠大，頻率就會非常接近一個固定值概率.2021/4/28方法.方法.1.提供了估計概率的1.提供了估計概率的.)(,)(nmAPnmAfn近近似似求求論論正正確確與與否否的的準(zhǔn)準(zhǔn)則則. .2 2. .提提供供了了一一種種檢檢驗(yàn)驗(yàn)理理.否接近否接近(據(jù)理論假定給出)是(據(jù)理論假定給出)是與與驗(yàn)證驗(yàn)證pnm若若接接近近，支支持持該該理理論論；理理論論有有誤誤. .若若相相去去較較遠(yuǎn)遠(yuǎn)，可可認(rèn)認(rèn)為為該該2021/4/29 在實(shí)際問題中，當(dāng)概率不易求時，人們在試驗(yàn)次數(shù)很大情況下，常用事件的頻

5、率作為概率的估計. 例如例如: : 若需了解某射箭運(yùn)動員中10環(huán)的概率，應(yīng)對該運(yùn)動員在相同條件下的多次射箭情況進(jìn)行觀測、統(tǒng)計. 假設(shè)其射擊 n 次，中10環(huán)m次，當(dāng) n很大時，就 m/n 作為其命中10環(huán)的概率. 又如：又如：進(jìn)行產(chǎn)品檢驗(yàn)時，如果檢驗(yàn)了n 件產(chǎn)品,其中m 件為次品，則當(dāng) n 很大時，可用 m/n 作為產(chǎn)品的次品率(概率)的估計值.2021/4/210 1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家(概率統(tǒng)計學(xué)家)柯爾莫哥洛夫 (Kolmogorov) 給出了概率如下公理化定義.1.2.2 1.2.2 概率的公理化定義概率的公理化定義I.I.定義定義2021/4/211概率的公理化定義概率的公理化定義

6、(2) P()=1 ; (3) 若事件A1, A2 , 兩兩互斥，則有 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間，對中的任一事件A，定義一個實(shí)數(shù)P(A) ，如果事件(集合)函數(shù) P(A) 滿足下述三條:(1) P(A)00；則稱P(A)為事件A 的概率. )()()(2121APAPAAP2021/4/212 注意：注意：這里的函數(shù)P(A)與以前所學(xué)過的函數(shù)不同.不同之處在于：P(A)的自變量是事件 ( 集合 ). 不難看出：不難看出：這里事件概率的定義是在頻率性質(zhì)的基礎(chǔ)之上提出的.在5.2中,我們將看到：頻率頻率fn(A)在某種意義下收斂到概率在某種意義下收斂到概率P(A)的結(jié)論.基于這一點(diǎn)，我們有理由用

7、上述定義的概率P(A)來度量事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.2021/4/213II. II. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 1.1.P P()=0()=0，即不可能事件的概率為零； 2. 若事件 A1 1, ,A2, , An兩兩互斥，則有： P P( (A1 1A2 2An)=)=P P( (A1 1)+)+P P( (An),), 即互斥事件和的概率等于它們各自 概率之和(有限可加性)；4.對于事件A和B，有P(A- -B)=P(A)- -P(AB).推論推論1 1 若若B A，則，則P(A- -B)=P(A)- -P(B). 推論推論2 2 若若B A，則，則P(B)P(A).);(1)(

8、APAP 3.3.對任一事件A, 均有2021/4/214證明：證明：5.對任意兩個事件A、B，有因 AB，AAB，BAB兩兩互斥，且由概率的可加性， 有 P(AB)=P(AB(AAB) (B AB)=P(AB)+P(A AB)+P(B AB）=P(AB)+P(A) P(AB)+P(B) P(AB)=P(A)+P(B) P(AB).AB = AB(A AB) (B AB)，)()()()(ABPBPAPBAP2021/4/215J 說明說明n個事件和的公式特別地，n = 3 時，有)()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP nj

9、ijiniinAAPAPAAAP1121)()()()() 1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP)()()(BPAPBAP推論2021/4/216例例1 1解解)( BAP)()()()(BAPBPAPAP)()(BPBAP3060. ,.)(,.)(,.)(603040BAPBPAP已知).( BAP求)(BAP)()(ABPAP.302021/4/217例例2 2, 0)(,41)()()(ABPCPBPAP已知).(,81)()(CBAPBCPACP求解解)(1)(CBAPCBAP0)(0)(ABCPABP知由)(CBAP 1)()()()(1ABPCPBPAP)()()(

10、ABCPBCPACP)081810414141(1.21211)(CBAP 12021/4/218小結(jié)小結(jié)本節(jié)首先介紹頻率的概念，指出在試驗(yàn)次數(shù)充分大的情況下，頻率接近于概率的結(jié)論；然后給出了概率的統(tǒng)計定義與公理化定義及概率的主要性質(zhì).2021/4/2191.3 1.3 古典概率與幾何概率古典概率與幾何概率I.I.什么是古典概率模型什么是古典概率模型如果試驗(yàn) E 滿足 1.3.11.3.1古典概率古典概率(2) 各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同. 稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨怕誓Ｐ突蚬诺涓怕誓Ｐ?，簡稱等可能概型或古典概型.(1) 試驗(yàn)的結(jié)果只有有限種；2021/4/220II.II.古典概率模型中事件概

11、率求法古典概率模型中事件概率求法 因試驗(yàn)E的結(jié)果只有有限種，設(shè)樣本空間 = 1 1， 2 2 ， ， n i i 是基本事件，兩兩互斥，且P P( ( 1 1)=)=P P( ( 2 2 )=)=P P( ( n).). 于是 從而， P P( ( i i)= 1/)= 1/n，i=1,2,=1,2,n. .1 1= =P P()()= =P P( ( 1 1 2 2 n) ) = =P P( ( 1 1)+)+P P( ( 2 2 )+)+P P( ( n) ) = =n P P( ( i i), ), i=1,2,=1,2,n. .2021/4/221因此，若事件A 包含 k 個基本事件，

12、即krirPAP1)()( 則則kiiiA 21nk.基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)中中包包含含基基本本事事件件數(shù)數(shù)A2021/4/222III. III. 古典概模型舉例古典概模型舉例例1號考簽的概率.號考簽的概率.最后一次抽到的是雙最后一次抽到的是雙求求，抽取10次，每次1張抽取10次，每次1張(4)無放回地(4)無放回地0號考簽的概率；0號考簽的概率；抽到的兩張都是前1抽到的兩張都是前1求求抽取兩次，每次1張，抽取兩次，每次1張，(3)無放回地(3)無放回地0號考簽的概率；0號考簽的概率；抽到的兩張都是前1抽到的兩張都是前1求求任抽2張進(jìn)行考試，任抽2張進(jìn)行考試， (2)(2)的概率；的概率；

13、抽到前10號考簽抽到前10號考簽求求進(jìn)行考試，進(jìn)行考試，(1)任抽1張(1)任抽1張，50.，50.予以標(biāo)號：1,2，予以標(biāo)號：1,2，設(shè)有50張考簽，分別設(shè)有50張考簽，分別4 43 32 21 1AAAA2021/4/223解解,150Cn 基本事件總數(shù)基本事件總數(shù)(1)樣本空間的(1)樣本空間的)(1AP故)( (3)3AP)( (2)2AP)( (4)4AP511101CkA包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)150110CCnk250210CC03702459.250210AA03702459.21150125CC)(4AP或1050125949ACA2150252021/4/224 例

14、例2 2 貨架上有外觀相同的商品貨架上有外觀相同的商品1515件，其中件，其中1212件件來自產(chǎn)地甲來自產(chǎn)地甲, 3, 3件來自地乙件來自地乙. .現(xiàn)從現(xiàn)從1515件商品中隨機(jī)抽件商品中隨機(jī)抽取兩件取兩件, ,求這兩件商品來自同一產(chǎn)地的概率求這兩件商品來自同一產(chǎn)地的概率. . 解：解：A=兩件商品都來自產(chǎn)地甲兩件商品都來自產(chǎn)地甲,B=兩件商品兩件商品都來自產(chǎn)地乙都來自產(chǎn)地乙,C=這兩件商品來自同一產(chǎn)地這兩件商品來自同一產(chǎn)地 ，則則A與與B互斥互斥, , C= =AB)( AP)()(BAPCP故)()(BPAP21523215212CCCC352321523212CCC,215212CC)(B

15、P21523CC2021/4/225 練習(xí)練習(xí) 有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數(shù)分類，4只屬甲類，2只屬乙類.按下列兩種方案抽取三極管兩只：(1)每次抽取一只，測試后放回，然后再抽取下一只(放回抽樣)；(2)每次抽取一只，測試后不放回，然后在剩下的三極管中再抽取下一只(不放回抽樣）設(shè)設(shè) A=抽到兩只甲類三極管， B=抽到兩只同類三極管, C=至少抽到一只甲類三極管, D=抽到兩只不同類三極管.求P P( (A),),P P( (B),),P P( (C),),P P( (D).).2021/4/226 解解: : (1).由于每次抽測后放回, 因此，每次都是在6只三極管中抽取. 因第一次

16、從6只中取一只，共有6種可能取法；第二次還是從6只中取一只，還是有6種取法.故取兩只三極管共有66=36種可能的取法.從而, n=36=36. . 注意：注意：這種分析方法使用的是中學(xué)學(xué)過的“乘法原理”.2021/4/227 因每個基本事件發(fā)生的可能性相同.故第一次取一只甲類三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能取法. 故取兩只甲類三極管共有44=16 種可能的取法,即A包含的基本事件數(shù)為16.所以P P( (A)=16/36=4/9； 令E=抽到兩只乙類三極管，E E 包含的基本事件數(shù)為22=4,故P P( (E)=4/36=1/9)=4/36=1/9；因C是E的對立

17、事件，所以 P P( (C) )=1-=1-P P( (E)=8/9;因B= =AE, , 且A與E互斥，得 P P( (B) )=P P( (A)+)+P P( (E)=5/9；D是B的對立事件, 得 P P( (D) )=1-1-P P( (B)=4/9. .2021/4/228 (2)(2)由于第一次抽測后不放回由于第一次抽測后不放回, ,所以第一次從所以第一次從6 6只只中取一只中取一只, , 共有共有6 6種可能的取法；第二次是從剩余的種可能的取法；第二次是從剩余的5 5只中取一只，有只中取一只，有5 5種可能的取法種可能的取法. .由乘法原理，知取兩由乘法原理，知取兩只三極管共有只

18、三極管共有n= =6 6 5 5= =3030種可能的取法種可能的取法. . 由乘法原理，得由乘法原理，得A A包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為4 4 3=12,3=12,從而從而P P( (A)=12/30=2/5)=12/30=2/5； 類似地類似地, E, E包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為2 2 1=21=2，故，故P P(E)=2/30=1/15(E)=2/30=1/15；由由C是是E的對立事件的對立事件, ,得得 P P( (C)=1-)=1-P P( (E)=14/15;)=14/15;由由B= =AE, , 且且A與與E互斥，得互斥，得 P P( (B)=)=P P(

19、(A)+)+P P( (E)=7/15)=7/15；由由D是是B的對立事件的對立事件, , 得得 P P( (D)=1-)=1-P P( (B)=8/15.)=8/15.2021/4/229 例例3 3 n個球隨機(jī)地放入個球隨機(jī)地放入N( (Nn) )個盒子中，若盒個盒子中，若盒子的容量無限制子的容量無限制. .求求“每個盒子中至多有一球每個盒子中至多有一球”的概的概率率. . 解解: : 因因每個球都可以放入每個球都可以放入N個盒子中的任何一個個盒子中的任何一個，故故每個球有每個球有N N種放法種放法. .由乘法原理，將由乘法原理，將n個球放入個球放入N個盒子中共有個盒子中共有 Nn 種不同

20、的放法種不同的放法. . 每個盒子中至多有一個球的放法每個盒子中至多有一個球的放法( (由乘法原理得由乘法原理得): ): N(N- -1)(N- -n+1)=ANn 種種. . 故，故， nnNNAP 2021/4/230 設(shè)每個人在一年設(shè)每個人在一年( (按按365365天計天計) )內(nèi)每天出生的可內(nèi)每天出生的可能性都相同，現(xiàn)隨機(jī)地選取能性都相同，現(xiàn)隨機(jī)地選取n( (n365)365)個人，則他個人，則他們生日各不相同的概率為們生日各不相同的概率為 A365n / 365n于是于是, , n n個人中至少有兩人生日相同的概率為個人中至少有兩人生日相同的概率為 1-1-A365365n /

21、365/ 365n. . 許多問題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型許多問題和上例有相同的數(shù)學(xué)模型.如如(生日問題生日問題)： 某人群有某人群有n個人，他們中至少有兩人個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？生日相同的概率有多大？2021/4/231 從上表可以看出從上表可以看出: : 在在4040人左右的人群里人左右的人群里, ,十有八九十有八九會發(fā)生會發(fā)生 兩人或兩人以上生日相同兩人或兩人以上生日相同 這一事件這一事件. .2021/4/232 把把 n 個相異物品分成個相異物品分成k組（堆），第一組組（堆），第一組有有n1 1個個, ,第二組有第二組有n2 2個個,第第 k 組有組有nk k個，

22、且個，且 n1 1+ + n2 2+nk k= =n，則不同的分組方法數(shù)為則不同的分組方法數(shù)為公式公式!21knnnn2021/4/233 例例4 4 某公司生產(chǎn)的某公司生產(chǎn)的15件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有12件正品件正品, 3件次品件次品.現(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在現(xiàn)將它們隨機(jī)地分裝在3個箱中個箱中, 每箱裝每箱裝5件，件，設(shè)設(shè)A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品, B=三件次品都在同一三件次品都在同一箱中箱中，求，求P(A)和和P(B).解：解：1515件產(chǎn)品裝入件產(chǎn)品裝入3 3個箱中，每箱裝個箱中，每箱裝5 5件，有件，有種等可能的裝法種等可能的裝法. .故樣本空間的基本事件總數(shù)為故樣本空間

23、的基本事件總數(shù)為) !5 !5 !5/(!15) !5 !5 !5/(!152021/4/234 把三件次品分別裝入三個箱中，共有把三件次品分別裝入三個箱中，共有3!3!種裝法種裝法. .這樣的每一種裝法取定以后，把其余這樣的每一種裝法取定以后，把其余1212件正品再平均件正品再平均裝入裝入3 3個箱中，每箱裝個箱中，每箱裝4 4件，有件，有個基本事件個基本事件. .,) !4!4!4/(!12種種裝裝法法再由乘法原理，可知裝箱總方法數(shù)有再由乘法原理，可知裝箱總方法數(shù)有.)/(4!4!4!3!12!種即即A包含包含)/(4!4!4!3!12!)(AP從而，從而，!444123!55515.91

24、252021/4/235 把三件次品裝入同一箱中把三件次品裝入同一箱中, ,共有共有3 3種裝法種裝法. .這樣的這樣的每一種裝法取定以后每一種裝法取定以后, ,再把其余再把其余1212件正品裝入件正品裝入3 3個箱中個箱中( (一箱再裝一箱再裝2 2件件, ,另兩箱各裝另兩箱各裝5 5件件) )又有又有個基本事件個基本事件. .) !/(!種種裝裝法法55212由乘法原理，知裝箱方法共有由乘法原理，知裝箱方法共有.) !/(!種552123即即B包含包含)(BP)!5!5!2/(!123 !552123!55515.916故故2021/4/236 例例5 5 設(shè)設(shè)N件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有K件次

25、品，件次品，N- -K件正品件正品, KN.現(xiàn)現(xiàn)從從N件中每次任意抽取件中每次任意抽取1件產(chǎn)品，檢查其是正品還是件產(chǎn)品，檢查其是正品還是次品后放回；這樣共抽檢產(chǎn)品次品后放回；這樣共抽檢產(chǎn)品n次次. 求事件求事件A=所取所取的的n件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有k件次品件次品的概率，的概率，k = 0, 1, 2, , n. 解解：假定假定N件產(chǎn)品有編號，從中任意取出一件，件產(chǎn)品有編號，從中任意取出一件，每次都有每次都有N N 種取法種取法. .由乘法原理，由乘法原理，n次共有次共有Nn種取法，種取法，故故基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為Nn. . 當(dāng)所取的當(dāng)所取的n件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有k件次品時，由于

26、取到件次品時，由于取到這這k件次品次序之不同，因此，從次序考慮共有件次品次序之不同，因此，從次序考慮共有Cnk種情況種情況. .2021/4/237 這這Cnk種情況確定以后種情況確定以后, ,從從K件次品中取出件次品中取出k件，共件，共有有Kk種取法；從種取法；從N- -K件正品中取件正品中取n- -k件件, , 共有共有( (N- -K) )n-kn-k種取法種取法. . 由乘法原理，共有由乘法原理，共有Cnk Kk ( (N- -K) )n-kn-k種取法種取法. .故故A中中基基本事件個數(shù)為本事件個數(shù)為Cnk Kk( (N- -K) )n-k.nknkknNKNKCAP)()(),(

27、nkNKNNKCknkkn2102021/4/238),2,1 ,0( )()(nkNKNNKCNKNKCAPknkknnknkkn在上式中，令在上式中，令 p=K/N，則有，則有),2, 1 ,0( )1()(nkppCAPknkkn 這是以后常用的，也是非常重要的二項(xiàng)分布這是以后常用的，也是非常重要的二項(xiàng)分布的概率公式的概率公式.2021/4/2391.3.2 1.3.2 幾何概率幾何概率I.什么是幾何型隨機(jī)試驗(yàn)如果試驗(yàn)如果試驗(yàn) E 滿足滿足 (1) (1) 試驗(yàn)的結(jié)果無限且不可列；試驗(yàn)的結(jié)果無限且不可列； (2) (2) 各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同. .則稱這樣的隨

28、機(jī)試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn). . 在幾何型隨機(jī)試驗(yàn)中，通過幾何度量（長度、在幾何型隨機(jī)試驗(yàn)中，通過幾何度量（長度、面積、體積等）來計算事件的概率面積、體積等）來計算事件的概率.2021/4/240).(APASAS內(nèi)的概率內(nèi)的概率求質(zhì)點(diǎn)位于求質(zhì)點(diǎn)位于, ,中，中，能地落入能地落入為一區(qū)域，某質(zhì)點(diǎn)等可為一區(qū)域，某質(zhì)點(diǎn)等可設(shè)設(shè) II.II.幾何型隨機(jī)試驗(yàn)中事件概率求法幾何型隨機(jī)試驗(yàn)中事件概率求法的的度度量量成成正正比比. .) )與與( (內(nèi)內(nèi)的的概概率率點(diǎn)點(diǎn)位位于于等等可可能能的的假假設(shè)設(shè)，知知質(zhì)質(zhì)古古典典概概率率那那樣樣定定義義由由無無法法像像中中通通常常有有無無窮窮多多個個點(diǎn)點(diǎn)，由由于于 APAA、）（）（AAP )(規(guī)定規(guī)定.)(度度量量度度、面面積積、體體積積等等幾幾何何的的度度量量，可可以以是是長長為為AA 2021/4/241這樣定義的概率為這樣定義的概率為幾何概率幾何概率. .III.III.幾何概率舉例幾何概率舉例例例6 6？10分鐘的概率是多少10分鐘的概率是多少問他等待時間不超過問他等待時間不