多邊形的外角和 (2)

1、多邊形的內(nèi)角和與外角和多邊形的內(nèi)角和與外角和第二課時第二課時問題的指出問題的指出 大家清晨跑步嗎？小明就有每天堅持大家清晨跑步嗎？小明就有每天堅持跑步的好習慣，他怎樣跑步呢？右圖就是跑步的好習慣，他怎樣跑步呢？右圖就是小明清晨沿一個五邊形廣場周圍的小跑，小明清晨沿一個五邊形廣場周圍的小跑，按逆時針方向跑步的效果圖按逆時針方向跑步的效果圖. 請你觀察并請你觀察并思考如下幾個問題思考如下幾個問題:(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時，身小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時，身體轉(zhuǎn)過的角是哪個角？在圖中標出它們體轉(zhuǎn)過的角是哪個角？在圖中標出它們.123ABCDE45(2)他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之

2、和是多少？他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？(3)在上圖中，你能求出在上圖中，你能求出1+2+3+4+5的大小的大小嗎？你是怎樣得到的？嗎？你是怎樣得到的？ 多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做成的角叫做這個多邊形的外角這個多邊形的外角。CABD1234 在每個頂點處取這個多在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的叫做這個多邊形的外角和外角和。如：四邊形如：四邊形ABCD的外角和是的外角和是1+1+2+2+3+3+4 4 如圖如圖(1)四邊形四邊形ABCD，1、2、3、4分別分別是四個外角，

3、求：是四個外角，求：1+2+3+4的度數(shù)的度數(shù).CABD1234因為因為1+DAB1+DAB2+CBA2+CBA3+DCB3+DCB4+ADC4+ADC180180 所以所以1+2+3+4=360.又因為又因為DAB+CBA+DCB+ADC=360（四邊形內(nèi)角和等于（四邊形內(nèi)角和等于360）四邊形的外角和等于四邊形的外角和等于360. 探索探索: :分別求出下列多邊形的外角和的度數(shù)分別求出下列多邊形的外角和的度數(shù).360 360 360 360 321432154321654321多邊形的多邊形的外角和外角和多邊形的多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和多邊形的多邊形的內(nèi)角與外內(nèi)角與外角的總和角的總和n543多

4、邊形的多邊形的邊數(shù)邊數(shù)3180540(n2)180n18041807205180900180360540360360360360結(jié)論結(jié)論：n邊形的內(nèi)角與外角的總和為邊形的內(nèi)角與外角的總和為n180； n邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為(n-2)180；那么多邊形的外角和為那么多邊形的外角和為 n180(n2)180因此，因此，任意多邊形的外角和都為任意多邊形的外角和都為360.注：多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)注：多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān). =n180n180+360=360例例1一個多邊形的內(nèi)角和等于它的一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的外角和的3倍，它是幾邊形倍，它是幾邊形？ 解：設這個多邊形是解：

5、設這個多邊形是n邊形，則它的內(nèi)角和是邊形，則它的內(nèi)角和是 例題賞析例題賞析(n2)180,外角和等于外角和等于360，所以：所以：(n2)180=3360解得：解得：n=8答答: :這個多邊形是八邊形這個多邊形是八邊形. 例例2 一個正多邊形的一個內(nèi)角比相鄰外角大一個正多邊形的一個內(nèi)角比相鄰外角大36，求，求這個正多邊形的邊數(shù)這個正多邊形的邊數(shù).分析分析 正多邊形的各個內(nèi)角都相等，那么各個外角也都正多邊形的各個內(nèi)角都相等，那么各個外角也都相等，而多邊形的外角和是相等，而多邊形的外角和是360.設一個外角為設一個外角為x，則內(nèi)角為，則內(nèi)角為(x+36)因為多邊形的內(nèi)角與相鄰的外角互補；因為多邊形

6、的內(nèi)角與相鄰的外角互補；所以所以 x+x+36=180解得解得 x=7236072=5答答 這個多邊形的五邊形這個多邊形的五邊形.解解練習：練習：1.一個多邊形的外角都是一個多邊形的外角都是45，則這個，則這個多邊形是幾邊形？多邊形是幾邊形？2多邊形的每個外角都是相鄰內(nèi)角多邊形的每個外角都是相鄰內(nèi)角的的 ，則此多邊形是幾邊形？內(nèi)角和、，則此多邊形是幾邊形？內(nèi)角和、外角和分別是多少？外角和分別是多少？ 13例例3 (1)四邊形有幾條對角線？四邊形有幾條對角線？(2)五邊形有幾條對角線？六邊五邊形有幾條對角線？六邊形呢？形呢？n邊形呢？邊形呢？(1)四邊形有兩條對角線，四邊形有兩條對角線，(2)如

7、圖，以如圖，以A為為端端點的對角線有兩條點的對角線有兩條AC、AD同樣以同樣以B為端點的對角線也有為端點的對角線也有2條，以條，以C為端點也有為端點也有2條，但條，但AC與與CA是同一條線段，以是同一條線段，以D為端點的兩條為端點的兩條DA、DB與與AD、BD分別表示同一條線段，所以只有分別表示同一條線段，所以只有5條，以此條，以此類推六邊形有類推六邊形有9條對角線，從以上分析可知從條對角線，從以上分析可知從n邊形的邊形的一個頂點引對角線，可以引一個頂點引對角線，可以引(n3)條，那么條，那么n個頂點個頂點就有就有n(n3)條，但其中每一條都重復計算一次，所條，但其中每一條都重復計算一次，所以

8、以n邊形一共有邊形一共有 條對角線條對角線.n(n3)2ABDEC解解:例例4 已知多邊形的內(nèi)角和等于已知多邊形的內(nèi)角和等于1440，求求(1)這個多邊形的邊數(shù)，這個多邊形的邊數(shù)，(2)過一個頂點有幾條對角線，過一個頂點有幾條對角線，(3)總對角線條數(shù)總對角線條數(shù).答答 這個多邊形是十邊形，過一個頂點的這個多邊形是十邊形，過一個頂點的對角線有對角線有7條，共有條，共有35條對角線條對角線.(1)(n2)180=1440(2)n3=103=7(3)n(n3)210(103)235n=10解解 設這個多邊形是設這個多邊形是n邊形邊形1、一個十邊形的每一個內(nèi)角都相等，、一個十邊形的每一個內(nèi)角都相等，

9、那么這個十邊形的每一外角等于那么這個十邊形的每一外角等于( )A、144 B、 72 C、 36 D 、182、一個多邊形每一個外角都等于、一個多邊形每一個外角都等于45，則這個多邊形的內(nèi)角和等于則這個多邊形的內(nèi)角和等于( )A、 720 B、 675 C、 1080D、945CC鞏固練習：鞏固練習：3若一個凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角若一個凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)是和，則它的邊數(shù)是_4如果一個多邊形的每一個外角都相等，如果一個多邊形的每一個外角都相等，并且它的內(nèi)角和為并且它的內(nèi)角和為2880，那么它的內(nèi)角為，那么它的內(nèi)角為_5一個多邊形的每個外角都是一個多邊形的每個外角都是

10、12，則這，則這個多邊形是個多邊形是_邊形邊形6正正n邊形的一個內(nèi)角為邊形的一個內(nèi)角為120,那么那么n為為( ) A5 B6 C7 D8 自測題自測題:416030B在四邊形的四個內(nèi)角中，最多能有幾個在四邊形的四個內(nèi)角中，最多能有幾個鈍角？最多能有幾個銳角？鈍角？最多能有幾個銳角？ 解：最多能有三個鈍角，最多能有三個銳角解：最多能有三個鈍角，最多能有三個銳角.思考題思考題設四邊形的四個內(nèi)角的度數(shù)分別為：設四邊形的四個內(nèi)角的度數(shù)分別為：,則則+=360，理由是：理由是：、的值最多能有三個大于的值最多能有三個大于90，否則否則、都大于都大于90.+360.同理最多能有三個角小于同理最多能有三個角

11、小于90. 課堂練習課堂練習:1.一個多邊形的外角都等于一個多邊形的外角都等于60，這個多邊形，這個多邊形是是幾幾邊形？邊形？ 解：因為多邊形的外角和等于解：因為多邊形的外角和等于360，所以根據(jù)題意，所以根據(jù)題意，可知道這個多邊形的邊數(shù)是：可知道這個多邊形的邊數(shù)是：36060=6 .答答: :這個多邊形是六邊形這個多邊形是六邊形. 2.下圖是三個完全相同的正多邊形拼成的無縫下圖是三個完全相同的正多邊形拼成的無縫隙不重疊的圖形的一部分，這種多邊形是幾邊隙不重疊的圖形的一部分，這種多邊形是幾邊形？為什么？形？為什么？ 解：設這個正多邊形的一個內(nèi)角為解：設這個正多邊形的一個內(nèi)角為x， 由題圖得：由題圖得：3x=360. x=120. 再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式得：再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式得： n120=(n2)180. 解得解得n=6 . 答答:(略略)多邊形的外角和都等于多邊形的外角和都等于360 多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個成的角叫做這個多邊形的外角多邊形的外角. 在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，在每個頂點處取這