2014屆高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：圓錐曲線概念、方法、題型、易誤點(diǎn)技巧總結(jié)

1、1.圓錐曲線的兩個(gè)定義：（1）第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于，定義中的“絕對(duì)值”與不可忽視。若，則軌跡是以為端點(diǎn)的兩條射線，若，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。比如：已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是A BC D（答：C）；方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即

2、是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。 如已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在y軸上時(shí)。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號(hào)，AB）。比如：已知方程表示橢圓，則k的取值范圍為_(kāi)（答：）；（2）雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上：，焦點(diǎn)在y軸上：。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號(hào)）。比如：雙

3、曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_（答：）；（3）拋物線：開(kāi)口向右時(shí)，開(kāi)口向左時(shí)，開(kāi)口向上時(shí)，開(kāi)口向下時(shí)。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)、的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)a,b，確定橢圓、雙

4、曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開(kāi)口方向；（2）在橢圓中，a最大，在雙曲線中，c最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x=0,y=0，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。 比如：若橢圓的離心率，則m的值是_（答：3或）；（2）雙曲線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x=0,y=0，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，

5、稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，e越小，開(kāi)口越小，e越大，開(kāi)口越大；兩條漸近線：。 比如：雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）；（3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中p的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸y=0，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率：，拋物線。如設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；5、點(diǎn)和橢圓的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與

6、雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。比如：若直線y=kx+2與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_（答：）；（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙

7、曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。比如：過(guò)點(diǎn)(2,4)作直線與拋物線

8、只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_（答：2）；對(duì)于拋物線C：，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關(guān)系是_（答：相離）； 求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離（答：）；要學(xué)習(xí)網(wǎng),只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址 手機(jī)版地址 7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑r=ed，其中d表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。比如：已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為_(kāi)（答：）；橢圓內(nèi)有一點(diǎn)p(1,-1)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使之值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）8、焦點(diǎn)三

9、角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中， ，且當(dāng)即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為；，當(dāng)即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為bc；對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：；。比如：短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為，過(guò)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)（答：6）；9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則AMFBMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為，若P為的中點(diǎn)，則PAPB；（4）若AO的延長(zhǎng)線

10、交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過(guò)B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線。10、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。比如：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ABC重心的橫坐標(biāo)為_(kāi)（答：3）；11、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，

11、以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率。 比如：如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：）；12你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為（為參數(shù)，0）。（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為2p，焦準(zhǔn)距為p；（5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，則；（7）若OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(

12、2p,0)13動(dòng)點(diǎn)軌跡方程： （1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍； （2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0； 如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。 如線段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0）(m0)，端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過(guò)A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為（答：）；要學(xué)習(xí)網(wǎng),只做中學(xué)生最喜歡、最實(shí)用的學(xué)習(xí)論壇，地址 手機(jī)版地址 定義法：先根據(jù)條件得

13、出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； 如點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_ （答：）；代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程； 如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為A(0,-1),點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_(kāi)（答：）； 參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x,y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。 如若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是_（答：）； 注意

14、：如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。如已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段上，并且滿足（1）設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；（3）試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （答：（1）略；（2）；（3）當(dāng)時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)存在，此時(shí)F1MF22）曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌

15、跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化.14、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：（1） 給出直線的方向向量；（2）給出與AB相交,等于已知過(guò)AB的中點(diǎn);（3）給出,等于已知P是MN的中點(diǎn);（4）給出,等于已知P,Q與AB的中點(diǎn)三點(diǎn)共線; （5） 給出以下情形之一：；存在實(shí)數(shù)；若存在實(shí)數(shù),等于已知A,B,C三點(diǎn)共線 （6） 給出，等于已知P是的定比分點(diǎn)，為定比，即 （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。 （8）給出,等于已知MP是的平分線; （9）在平行四邊形ABCD中，給出，等于已知ABCD是菱形; （10） 在平行四邊形ABCD中，給出，等于已知ABCD是矩形; （11）在ABC中，給出，等于已知O