同濟大學《高等數(shù)學》(第四版)3-4節(jié) 函數(shù)單調(diào)性的判定法

1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法 一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法 二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理.),(,)(導內(nèi)可上連續(xù)，在在設函數(shù)babaxfy abBA上單調(diào)增加；在，那末函數(shù)內(nèi)如果在）（,)(0)(),(1baxfyxfba，內(nèi)如果在0)(),()2( xfba.,)(上單調(diào)減少在那末函數(shù)baxfy 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁

2、返回返回證證),(,21baxx ,21xx 且且應用拉氏定理應用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例1 1解解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在

3、在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加注意注意: :函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性).,(: D又又上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回二、單調(diào)區(qū)間求法問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)但在各個部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，的，導數(shù)等于零的點和不

4、可導點，導數(shù)等于零的點和不可導點，方法方法: :,)()(0)(的定義區(qū)間來劃分函數(shù)不存在的點的根及用方程xfxfxf則該區(qū)間稱為函數(shù)的則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. 可能是單調(diào)區(qū)間可能是單調(diào)區(qū)間的分界點的分界點符號。然后判斷區(qū)間內(nèi)導數(shù)的上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例2 2解解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時，時，當當1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時，時，當當21 x, 0)( xf上單調(diào)減

5、少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時，時，當當 x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例3 3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導數(shù)不存在導數(shù)不存在時時當當 x時，時，當當0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時，時，當當 x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,( )., 0 32xy 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例4

6、4證證.)1ln(,0成立成立試證試證時時當當xxx ),1ln()(xxxf 設設.1)(xxxf 則則, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可導，可導，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時，時，當當0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上單調(diào)增加上單調(diào)增加但在但在上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.定理中

7、的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立仍然成立.應用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實應用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式根的個數(shù)和證明不等式.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題思考題 若若0)0( f，是是否否能能斷斷定定)(xf在在原原點點的的充充分分小小的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增？上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題解答思考題解答不能斷定不能斷定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)

8、( xxxxxf上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 )212(1kx當當 時，時，0)212(41)( kxf kx21當當 時，時，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 點的任何鄰點的任何鄰域內(nèi)，域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增都不單調(diào)遞增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù)7186223 xxxy單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為_ _. _.2 2、 函數(shù)函數(shù)212xxy 在區(qū)間在區(qū)間 -1,1-1,1上單調(diào)上單調(diào)

9、_， 在在_上單調(diào)減上單調(diào)減. .3 3、函數(shù)、函數(shù)22ln xxy 的單調(diào)區(qū)間為的單調(diào)區(qū)間為_， 單減區(qū)間為單減區(qū)間為_._.二二、 確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .練練 習習 題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回三、三、 證明下列不等式：證明下列不等式：1 1、 當當0 x時，時，221)1ln(1xxxx ；2 2、 當當4 x時，時，22xx ；3 3、 若若0 x，則，則361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx

10、有幾個實根有幾個實根. .五、五、 設設)(xf在在 ba, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在( (ba,) )內(nèi)內(nèi))(xf , ,試證試證 明：對于明：對于 ba, 上任意兩上任意兩1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 單增；方法單增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、1 1、), 3,1,( 單調(diào)增加單調(diào)增加, ,3 , 1 單調(diào)減少；單調(diào)減少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1,21, 0(),0 ,(內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少, , 在在1 ,21上單調(diào)增加；上單調(diào)增加； 2 2、在、在),32,( aa內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加, , 在在,32aa上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；練習題答案練習題答案上頁上頁下頁下頁