信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)題之沖擊響應(yīng)

1、2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)由單位沖激函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位沖單位沖激響應(yīng)激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 因方程右端有因方程右端有(t)，故，故利用

2、系數(shù)平衡法利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得。積分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考慮考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。 微分方程的特征根為微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖

3、激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 例例2 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令

4、 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 為不含為不含(t) 的某函數(shù)的某函數(shù) h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，有a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系數(shù)匹配，得系數(shù)

5、匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）對(duì)式對(duì)式(3)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) = 3對(duì)式對(duì)式(4)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12微分方程的特征根為微分方程的特征根為 2， 3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始條件代入初始條件h

6、(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0結(jié)合式結(jié)合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)對(duì)對(duì)t0時(shí)，有時(shí)，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)g(t)= T (t) ，0ttgthhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 與與(t) 為微積分關(guān)系，故為微積分關(guān)系，故例例3 3 如圖所示的如圖所示的LTILTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)及沖激響應(yīng)。系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)及沖激響應(yīng)。解：解：（1 1）列寫系統(tǒng)的微分方程）列寫系統(tǒng)的微分方程( )( )(

7、)( )3 ( )2 ( )( )x tx tx tx tx tx tf t 設(shè)圖中右端積分器的輸出為，則其輸入為，左端積分器的輸入為。左端加法器的輸出-( ) 3 ( )2 ( )( )1x tx tx tf t即+（）( )( )2 ( )( )3 ( )2 ( )( )2 ( )2y tx tx ty ty ty tf tf t右端加法器的輸出-所以，系統(tǒng)的微分方程為-（ ）（2 2）求階躍響應(yīng)）求階躍響應(yīng)1( )2( )( )2( )tttt 111 設(shè)式（）所描述的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為g，則式（ ）所描述的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 ggg( )( )3( )2( )( )(3)(0 )(0 )

8、0ttttt111111g滿足方程ggg= gg=122121,2,0.5( ) (0.5) ( )tttC eC et 1其特征根其特解為，于是得 g=( )( )( )( )(0 )(0 ) 0tttt111 式（3）等號(hào)右端只有，故除了g外，g和g均連續(xù)，即有g(shù)g=1212(0 )0.50(0 )20CCCC11代入上式，有g(shù)g=-=1210.5CC 可解得：，2( ) (0.50.5) ( )ttteet1于是g=222( ) (0.50.5) ( )() ( ) () ( )ttttttteeteeteet1其一階導(dǎo)數(shù) g=2( )( )2( )( 321) ( )ttttteet

9、11于是 ggg（3 3）求沖激響應(yīng)）求沖激響應(yīng)1( )2( )( )2( )tttt 111 設(shè)式（）所描述的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h，則式（ ）所描述的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 hhh( )( )3( )2( )( )(4)(0 )(0 ) 0ttttt111111h滿足方程hhh= hh=122341,2,0( ) () ( )(5)tttC eC et 1其特征根其特解為 ，于是得 h=( )( )0(0 )(0 )( )( )( )( )( )00 ),(0 )(0 )3(0 )(0 )1tttttth th tt1111111-1111 由系數(shù)平衡法，(4)式中h應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而h在處將躍變，即hh。但h不含沖激函數(shù)，否則h將含項(xiàng)。由于含有階躍函數(shù)，故在處連續(xù)。對(duì)(4)式等號(hào)兩端積分(從0 到得hhhh( )0(0 )(0 )(0 )(0 ) 1(0 )(0 )0h tt111111考慮到在處連續(xù)。將h，h代入上式得hh=hh(0 )(0 )0(0 )(0 ) 111111即hhhh+3434(0 )0(0 )21CCCC 11代入(5)式，有hh=3411CC 可解得：，2( ) () ( )ttteet1于是h=2(