2016北京高三一、二模分類匯編(理)專題：三視圖和立體幾何

1、2016北京高三一、二模分類匯編（理）專題：三視圖和立體幾何-、選擇題。（1） （2016年朝陽區(qū)高三期末理科第7題）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是（A. 27B. 30C. 32D. 36俯視圖7 / 34第7題圖(2)2016年大興區(qū)高三期末理科第4題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（(A) 3(B) 6(C)9 (D) 12（3） （2016年東城區(qū)高三期末理科第正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖(A) cm323(B) 2 cm33(C) 3 cm3(D) 9 cm2題）已知某三棱錐的三視圖 （單位：cm）如圖所示，那么該三棱錐的體積等（4） （ 2016年西

2、城區(qū)高三期末理科第5題）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體的表面積是（A.162.3B.16, 2、. 5C.202、.3側(cè)左）視圖D.202.5（2016年昌平區(qū)高三期末理科第5題）某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐四個(gè)面的面積中最大的是A.5 B. 3 C. 3 5 D.俯視圖2側(cè)（左）視圖(6)（2016年朝陽區(qū)高三一模理科第7題）某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是（7） . （ 2016年東城區(qū)高三一模理科第12326題）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為（A. 2B. 2 72C . 3D. .10（8）（2016年豐臺(tái)區(qū)高三一模理科第7題）如圖

3、，已知三棱錐（10）（2016年東城區(qū)高三二模理科第 3題）如圖， ABC為正三角形，AA1/BB1/CC1 , CC1 _L底面 VABC ,若 BB1 =2AA1 =2 , AB=CC1=3AA1, 多面體ABC -AB1C1在平面AABBi上的投影的面積為（）A.27B.C.D.272二、填空題。（1） （2016年豐臺(tái)區(qū)高三期末理科第13題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為俯視圖（2） （2016年海淀區(qū)高三期末理科第12題）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為俯視圖P- ABC的底面是等腰直角三角形，且/ACE=90O,側(cè)面PABL底面ABC AB=PA=

4、PB=4.則這個(gè)三棱錐的三視圖中標(biāo)注的尺寸x, y, z分別是（）(A) 2.、.3 ,2,2(B) 4,2, 2,2(C) 2,3,2 J, 2(D) 2 . 3 ,2, 2,2（9） . （2016年 海淀區(qū)高三一模理科第 4題）某三棱錐的三視圖如圖所示，則 其體積為（）A. JB,日c. 211d.全33（3） （ 2016年西城區(qū)高三一模理科第 12題）一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，被一個(gè)平面截去一部分后，所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積是2 -正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖三、解答題1. （2016年朝陽區(qū)高三理科第 17題）如圖，在四棱錐 P-ABCD中, 底面ABCD是菱形，且

5、/DAB =60,點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面 ABE與棱PD交于點(diǎn)F .（I）求證：AB / EF ;（n ）若 PA = PD = AD ,且平面 PAD _L平面 ABCD ,2. （2016年大興區(qū)高三期末理科第17題） 如圖，在三棱錐K ABC中，平面KAC 1 平面 ABC , KC_L AC ,AC _LAB, H 為 KA 的中點(diǎn)，KC =AC = AB=2.（I ）求證： CH，平面KAB;（n ）求二面角 H -BC -A的余弦值；（出）若 M為AC中點(diǎn)，在直線 KB上是否存在點(diǎn) N使MN /平面HBC ,若存在，求出KN的長(zhǎng)，若不存在，說明理由.3. （2016年東城區(qū)高三期

6、末理科第 17題）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為正方形,PA _L底面ABCD , AB = AP , E為棱PD的中點(diǎn).求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值.(I)證明：ae_lcd ;(n)求直線 AE與平面PBD所成角的正弦值;(出)若F為AB中點(diǎn)，棱PC上是否存在一點(diǎn)M ,使得FM _L AC ,若存在，求出PM-的值，若不存在，說MC明理由.4. (2016年豐臺(tái)區(qū)高三期末理科16題)如圖，在四棱錐 P-ABC珅，AD BC AH AD E是AB的中點(diǎn),AB=AD=PA=PB=2, BC=1, P©B(I)求證：CF/平面PAB(n)求證：PE1

7、平面ABCD(m)求二面角B- PAC的余弦值.5. (2016年海淀區(qū)高三期末理科第17題)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PB_L底面ABCD ,底面ABCD為梯形，ADL. BC, AD _LAB ,且 PB = AB= AD=3, BC = 1.1(I )右點(diǎn) F為PD上一點(diǎn)且PF = PD , 3證明：CF 平面PAB ;(n )求二面角 B -PD -A的大小；(m)在線段PD上是否存在一點(diǎn) M ,使得CM _LPA?若存在，求出PM的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.15 / 34NBCD =135）側(cè)面 PAB_L 底面 ABCD , NBAP =90： AB = AC = PA=2,

8、E、F 分別為 BC、AD 的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上.(I)求證：EF_L平面PAC;(II) 若M為PD的中點(diǎn)，求證：ME/平面PAB；(III) 如果直線ME與平面PBC所成的角和直線 ME與平面ABCD所成的角相等,求型的值.PD7. (2016年昌平區(qū)高三期末理科第 17題)在四棱錐P-ABCD中，平面PAD _L平面ABCD , A PAD為等邊 三角形，1 _AB = AD = CD , AB _L AD , ABCD ,點(diǎn) M 是 PC 的中點(diǎn).2(I )求證：MB 平面PAD ；(II )求二面角P -BC -D的余弦值；(III )在線段PB上是否存在點(diǎn) N ,使得PNDN

9、_L平面PBC ?右存在，請(qǐng)求出 一PB的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.8. (2016年朝陽區(qū)高三一模理科第 17題)如圖，在直角梯形 AA1B1B中，/AAB=90*, A1B1 /AB , AB=AA=2ABi=2.直角梯形 AACiC通過直角梯形 AA1BB以直線AA為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面AACiC _L平面AA1B1B . M為線段BC的中點(diǎn)，P為線段BBi上的動(dòng)點(diǎn).(I)求證：AG -LAP ；(n)當(dāng)點(diǎn)P是線段BBi中點(diǎn)時(shí)，求二面角 P AMB的余弦值；(出)是否存在點(diǎn) P,使得直線 AC平面AMP?請(qǐng)說明理由.9. （2016年東城區(qū)高三一模理科第 16題）已知三棱柱 ABCC-

10、 ABC中，Ai A，底面 ABC , Z BAG= 90° , A Ai =1,AB = yj3 , AC =2,E , F分別為棱C iC , BC的中點(diǎn).(1)求證：AC ±A iB;(2)求直線EF與AB所成的角；(3)若G為線段AA的中點(diǎn)， A在平面EFG內(nèi)的射影為H ,求/ HA A10.(2016年豐臺(tái)區(qū)高三一模理科第17題) 如圖，在五面體 ABCDE印，四邊形 ABCM菱形，且/ BAB60。，EAB對(duì)角線 AC與 BDt目交于 Q OFL平面 ABCD BC=CE=DE=2EF=2.(I )求證：EF/ BC(II)求直線DE與平面BCF所成角的正弦值.

11、11. (2016年海淀區(qū)高三一模理科第 17題) 如圖，在四棱錐 PABC序，PAL平面ABCD四邊形ABCDJ正方形, 點(diǎn)M , N分別為線段PB, PC上的點(diǎn)，MNL PB(I)求證： BCL平面PAB ;(n)求證：當(dāng)點(diǎn) M不與點(diǎn)P , B重合時(shí)，M , N , D , A四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi);3T(出)當(dāng)PA= AB= 2,二面角C AN DW大小為 二時(shí)，求PN的長(zhǎng).3形 CC1D1D為矩形，已知 AB1BC1, AD=4, AB=2, BC =1.（I ）求證：BQ 平面ADD1 ；（n）若DD1=2,求平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值；（出）設(shè)P為線段GD上的

12、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），判斷直線BC1與直線CP能否垂直？并說明理由.113. （2016年朝陽區(qū)局三二模理科第 17題） 如圖1,在等腰梯形 ABCD中，BC / AD , BC=1AD=2,2/A=60°, E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)O,F分別為BE,DE的中點(diǎn).將AABE沿BE折起到 ABE的位置，使得平面ABE _L平面 BCDE （如圖 2）.(I)求證：AO -LCE ；A1P的值；若不AC（n ）求直線 A1B與平面ACE所成角的正弦值;（出）側(cè)棱 A1C上是否存在點(diǎn)P,使得BP平面AOF ?若存在，求出存在，請(qǐng)說明理由.14. (2016年東城區(qū)高三二模理科第 16題)如圖， M

13、BC是等腰直角三角形 /CAB =90°, AC = 2a , E, F 分別為AC, BC的中點(diǎn)，沿EF將ACEF折起，得到如圖所示的四棱錐 C-ABFE(I)求證： AB _L 平面 AEC(n)當(dāng)四棱錐 C-ABFE體積取最大值時(shí)，(i)若G為BC '中點(diǎn)，求異面直線 GF與AC ' 所成角；(ii)在C -ABFE中AE交BF于C ,求二面角ACC' B的余弦值.15. (2016年海淀區(qū)高三二模理科第 17題)如圖，等腰梯形 ABCD中，AB/CD , DE _L AB于E , CF _L AB于 F ,且 AE =BF =EF =2de =cf =

14、2將Med和abfc分另u沿de , cf折起，使a,B兩點(diǎn)重合，記為點(diǎn) M ,得到一個(gè)四棱錐 M -CDEF，點(diǎn)G, N ,H分別是MC , MD , EF的中點(diǎn).(I)求證：GH 平面DEM ;(n)求證：EM _LCN ；(出)求直線GH與平面NFC所成角的大小.16. (2016年豐臺(tái)區(qū)高三二模理科第 17題)如圖1,已知四邊形 BCD西直角梯形，/ B=90O, BE/ CD且BE=2CD=2 BG2, A為BE的中點(diǎn).將 EDAgAD折到 PDAi置(如圖2),連結(jié)PC PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐 P-ABCD(I )求證 A4 PB(n)若 PAL平面 ABCD求二面角B-PC-D的大小

15、；uuiruur在棱PC上存在點(diǎn)M滿足PM =ZPC(0E九E1),使得直線AMW平面PBC/f成的角為45°,求九的值.17. (2016年西城區(qū)高三二模理科第 17題) 如圖，正方形 ABC曲邊長(zhǎng)為4, E,F,分別為BC,DA的中點(diǎn)，將正方形ABCDg著線段EF折起，使得 /DFA=60 ,設(shè)G為AF的中點(diǎn)(1)求證：DGL EF(2)求直線GA與平面BCF所成角的正弦值(3)設(shè)P,Q分別為線段DG,CF上一點(diǎn)，且PQ平面ABEF求線段PQ長(zhǎng)度的最小值19/34數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題(1) A (2) B (3) A (4) B (5) C (6) A C (8)A (9)A

16、(10)A二、填空題(1) 16-(2) 2/3 63三、解答題1 .解：(I)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AB/CD.又因?yàn)锳B0面PCD , CD仁面PCD ,所以AB /面PCD.又因?yàn)锳, B, E, F四點(diǎn)共面，且平面 ABEF平面PCD = EF ,所以 AB / EF .(n)取AD中點(diǎn)G ,連接PG,GB .因?yàn)?pa = pd ,所以 PG _L AD .又因?yàn)槠矫鍼AD _L平面ABCD ,且平面PAD p|平面ABCD = AD ,z.所以PG，平面ABCD .所以PG _L GB .在菱形ABCD中，因?yàn)锳B = AD ,/DAB =601 G 是 AD 中點(diǎn)，所

17、以 AD _LGB .如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 G -xyz.設(shè)PA=PD =AD =2a,則 G(0,0,0), A(a,0,0),B(0, V3a,0), C(-2a,扇0), D(-a,0,0), P(0,0,岳),又因?yàn)锳B / EF，點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是PD中點(diǎn).所以E(-a,23a, 2a), 22F(a,0,弧).所以 AF =(3a,0,3), EF =(a,強(qiáng),0).222222n 7F _ 0 z = . 3x, 設(shè)平面AFE的法向量為n = (x, y, z),則有<n 't = U,所以13n EF =0. y = x. 3令x=3,則平面AFE的

18、一個(gè)法向量為n =(3,J3,3J3).PAF的一個(gè)法向量.因?yàn)锽G _L平面PAD ,所以Gb =(0,岳,0)是平面因?yàn)?cos < n, GB > = ” 3a 13n GB.39、, 3a 13 '所以平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為131313分2.解：(I)因?yàn)槠矫鍷AC，底面ABC,且AB垂直于這兩個(gè)平面的交線AC所以AB _L平面KAC所以AB _CH因?yàn)镃K=CA, H為AK中點(diǎn) 所以CH_LAK因?yàn)锳BAK=A,所以CH _L平面AKB.(n)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A 0,0,0) , B 2,0,0) , C (0,2,0)

19、 , K (0,2,2),H (0,1,1， 二，所以CH= (0,-1,。, BC= (-2,2,0)設(shè)平面HBC的法向量為n=(x,y,z),CH n =0 則一.BC n =0-y - z =0即y z 0-2x 2y =0令y=1,則 z=1, x=1.所以 n =(1,1,1)取平面ABC的法向量為m =(0,0,1)cos ,n由| m | |n |33因?yàn)樗蟮亩娼菫殇J角,3所以二面角H-BC-A的余弦值為.3一、一 一L (出)設(shè) KN=KKB, N(a,b, c),貝 U (a,b 2, c2) =(2,- 2',- 2.) a =2 所以b =2 2 . c =2

20、 -2 .所以N(2九2-2九2-24因?yàn)镸(0,1,0),所以MN= (2九,1-2九2-2 Q2分由MN 1=0可得3-2人=0,3所以九=3.3分2|KN閆 |KB|=|KB|=| 2 .3 =3.3.所以直線KB上存在點(diǎn)N, KN的長(zhǎng)為3曲.4分3. (I)證明：因?yàn)?PA_L底面ABCD,所以 PA _L CD .因?yàn)?AD -L CD ,所以CD _L面PAD.由于AE u面PAD , 所以有CD _L AE.4分z A(n)解：依題意，以點(diǎn) A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，P不妨設(shè) AB=AP=2,可得 B(2,0,0) , C(2,2,0) ,'E、/ D(0,2,

21、0), P(0,0,2).； y y/ D：y-7 CuuvM /''A由 E為棱 PD 的中點(diǎn)，得 E(0,1,1). AE = (0,1,1)f/ "尸AB xuuuuur向量 BD =(-2,2,0) , PB =(2,0, -2).、r r ，、，一,、，一口 一 ZZTT -f c LCC設(shè)n =(x, y,z)為平面PBD的法向重，則n BD = 0即12x+2y = 0.幣 PB = 0. 2x-2z=0s-不妨令y = 1 ,可得n = (1,1,1 )為平面PBD的一個(gè)法向量.45 / 34所以u(píng)uv uuv cos： AE,EF所以，直線EF與平面

22、PBD所成角的正弦值為 叵 11分3uuruuuurn(出)解：向量 CP=(2,2,2) , AC=(2,2,0), AB =(2,0,0)uuur uur由點(diǎn)M在PC上，設(shè)CM =£CP ,(0 W九1).uuur uuur uuur故 FM = FC CM =(1 2 ,2 2 ,2 ).由 FM _L AC ,得 FM- AC = 0,因此，（1-2九）父2 + （2-2入）父2 = 0,解得z=2.4PM 113分所以 二一.MC 34.解：（I ）取AP的中點(diǎn)M ,連接MF ,MB ,因?yàn)镸是AP中點(diǎn)，F(xiàn)是PD中點(diǎn)，1所以 MF |_AD, MF =一 AD ,21又因?yàn)?/p>

23、 BCl_ AD, BC =-AD ,所以四邊形BCFM是平行四變形FC LJBM , FC 值面 ABP , BM U 面 ABP所以FC U面ABP（n）連接ce ,因?yàn)樵?MBP中，AB =AP =BP，點(diǎn)E是邊AB在的中點(diǎn),所以 PE _LAB 且 PE =722 -12 =芯,在 RtiBEC 中，BE=EC=1, EB _LBC ,所以 EC =應(yīng)在 iPEC 中，PE =43 , ec=h2, PC =45 ,所以PE -EC又因?yàn)?ABQEC =E, AB 仁面 ABCD , ECu 面 ABCD所以PE，面ABCD(出)取 CD中點(diǎn)N ,以EB , EN , EP分別為軸y軸

24、,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)為:B(1,0,0)，面ABP的法向量為 BC =(0,1,0)AP =(1,0,點(diǎn))，AC= (2,1,0)AP n2 =0AC n2 =0一 !xo3zo = 0二.2xo yo =0n2 =(1,-2,-3)由圖可知二面角為銳二面角，設(shè)銳二面角為.二1一1面角B -PA -C余弦值為：COS9 =|ni 電14分|ni | n |C(1,1,0), B(1,0,0) , P(0,0,m A(-1,0,0)因?yàn)椋築C _LPE , AB_LBC所以BC上面ABP設(shè)面ABP的法向量為n2 =(%, y0, Zq)5 .解：(I )過點(diǎn)F作FH A AD ,

25、交PA于H ,連接BH ,1 一1.因?yàn)?PF =PD ,所以 HF = AD =BC .份33.2分又 FH jAD ， AD u BC ,所以 HF j BC .所以BCFH為平行四邊形，所以CF J BH .3分又BH u平面PAB , CF也平面PAB , .4分(一個(gè)都沒寫的，則這 1分不給)所以CF 平面PAD . .5 分(n)因?yàn)樘菪?ABCD 中，ADj.'BC, AD _L AB ,所以 BC _L AB.因?yàn)?PB，平面 ABCD ,所以 PB _L AB, PB±BC,如圖，以B為原點(diǎn),BC, BA, BP所在直線為x, y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，.

26、6分 所以 C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).設(shè)平面BPD的一個(gè)法向量為n =(x,y,z),平面APD的一個(gè)法向量為m =(a,b,c),PD n =0所以TBP n =03x 3y -3z =0，即3z =0.7分因?yàn)?PD =(3,3,3),BP =(0,0,3),取x =1 得到 n =(i,1,0),.8分同理可得m =(0,1,1), .9分.1野所以 cos :二 n, m =心|n|m|2,因?yàn)槎娼荁PDA為銳角,所以二面角BPDA為 .11分（出）假設(shè)存在點(diǎn) M ,設(shè)PM' =KPD =（3九3九,3九），所以 CM = CP

27、+九PM =(1+3九3九3一34， .12分1 所以 PA CM =-91+3(3-31) =0,解得 九=1, .1分2所以存在點(diǎn)M ,且PM =1PD =33 . .1分226 .解：（I）證明：因?yàn)閭?cè)面 PAB -L底面ABCD ,平面PAB0|平面ABCD = AB且 PAB = 90所以由面面垂直的性質(zhì)定理可得：PA，底面ABCD又EFu底面ABCD故 PA_ EF在 ZkABC 中，AB = AC 且/ABC =45。易得：AB _ AC而E、F分別為平行四邊形 ABCD 一組對(duì)邊BC、AD的中點(diǎn)故有EF /AB從而EF _ AC又 PAQ AC = A, PA, AC u 平面

28、 PAC故由線面垂直的判定定理可得：EF_L平面PAC(II)當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，易知 MF為APAD的中位線，故有 MF/AP,由(I)可知 EF /AB而 apP|ab=a, MFP|EF=F. AP,ABu 平面 ABP, MF,EFu 平面 MEF故由面面垂直的判定定理可得：平面ABP /平面MEF又ME u平面MEF故可得：ME/平面PAB建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PMPD(III )以AB所在直線為 力由，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸0 :二1由題意易知AB=AC = AP=CD=2,AD = BC = PB = PC =22BE =AF = 、2, PD =2 3

29、是 P,B,C 三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 P (0,0,2), B (2,0,0), C (0,2,0)則 PB = (2,0,2 ), PC = (0,2,-2)設(shè)平面PBC的法向量門=（%,%，4）則有PB n =2x0 -2z0 =0PC 二=2丫0-24 =0得X0=y。= zo取Z0=1,可得平面PBC的一個(gè)法向量為 n = （1,1,1）而E點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1,0）, M點(diǎn)坐標(biāo)為（2九,2九,2（1九）是 ME= 1 2 ,1-2 ,2-1設(shè)直線ME與平面PBC所成角為.易知底面ABCD的法向量為ME nME n3 ME=0。,2ME AP則有sin % =ME AP_!2 2-12 ME依題

30、意有：直線 ME與平面PBC所成角d同直線ME與平面ABCD所成角日2相等ME故有sin 口設(shè)直線ME與平面ABCD所成角為MEY ）。二一二13-3PD7. （I）證明：取PD中點(diǎn)H，連結(jié)MH ,AH .因?yàn)镸為PC中點(diǎn)，1 所以 HM CD,HM = CD._1_因?yàn)?ABCD,ABCD.2所以 AB/HM 且 AB = HM .所以四邊形ABMH為平行四邊形,所以 BM / AH .因?yàn)锽M0平面PAD ,AH仁平面PAD,所以BM 平面PAD.(n) 取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO.因?yàn)镻A = PD,所以PO _ AD .因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD ,平面PAD I平面ABCD =AD

31、,POu 平面 PAD, 所以PO _L平面ABCD. 取BC中點(diǎn)K ,連結(jié)OK ,則OK /AB. 以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) AB =2, 則A(1,0,0), B(1,2,0),C( -1,4,0),D (-1,0,0), P(0,0, 3), urnuirBC =(-2,2,0), PB =(1,2,- 3).uii平面BCD的法向量OP = (0,0, 43),ir設(shè)平面PBC的法向量n =(x, y,z),.4分uur irBC n =0, 由 uir irPB n =0,-2x 2y = 0,得x 2y - 3z = 0.令 x=1,則? =(1,1,J3).uuu

32、 r ir OP n cos ： OP,n = iirir |OP|n|15由圖可知，二面角 P -BC -D是銳二面角,所以二面角P-BC -D的余弦值為 誓.9分（出）不存在.PN設(shè)點(diǎn)N(x,y, z),且 =兒，九w0,1, PB貝U PN 二 PB,所以(x, y, z - 3) = (1,2,- 3).|x = ',則 y=2,、z = 73-反所以 N( ,2 , 3 - 3 ),uuu_DN =( 12 , 3- 3 ).uuu ur若 DN _L平面PBC,則 DN /n ,xrr , c 3-3即，,1=2/.：= 3此方程無解所以在線段PB上不存在點(diǎn)N，使得DN _

33、L平面PBC.14 分8.解：（I）由已知 NAiAB =NAAC =901 且平面 AA1C1C _L平面 AA1B1B ,所以 ZBAC =90©,即 AC_L AB .又因?yàn)?ac 1 aa且 abCIaa = a,所以AC _L平面AABB.由已知A1cl/AC ,所以AG，平面AAB1B.因?yàn)锳Pu平面AABB,所以 AC1 -LAP . 4分（n）由（I）可知 AC, AB, AA1兩兩垂直.分別以AC, AB, AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.由已知 AB=AC=AA=2AB =2AG =2,所以 A(0,0,0), B(0,2,0), C(2,0,

34、0), Bi(0,1,2), A(0,0, 2).3因?yàn)镸為線段BC的中點(diǎn)，P為線段BBi的中點(diǎn)，所以M (1,1,0), P(0,-,1).易知平面ABM的一個(gè)法向量 m =(0,0,1).設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為n = (x, y,z),n AM =0, 由+n AP =0,x y =0,得 3-y z = 0.2 y取 y = 2 ,得 n =(-2,2, -3).由圖可知，二面角P AM - B的大小為銳角,所以cos(m, n彳=33.17,17 一 17所以二面角PAMB的余弦值為3"7. 9分17(出)存在點(diǎn)P ,使得直線AC平面AMP .、一 一 U F設(shè) P(K,

35、y1,z1,且 BP = ?BB ,九三0,1,則(為，/一2,4)=九(0,1,2),T所以 X1 =0,y1 =2九,Z1 =2九.所以 AP = (0,2九,2八).設(shè)平面AMP的一個(gè)法向量為nO =(x°, y0,z0),n0 AM =0,x0 y0 = 0,由 < 0 T 得 < 0 y0,n0 AP =0,(2 - )y。 2 =0.2取y0 =1 ,得n0 =(T,1,)(顯然兒=0不符合題意).2-H又 AC =(2,0, 2),若 AC 平面 AMP,則 AC _L n0 .所以 AC a。=2七二2=0.所以 2=-.3BP所以在線段BB1上存在點(diǎn)P,

36、且=2時(shí)，使得直線 A1C 平面AMP. 14分PB19.(I)證明因?yàn)槿庵鵄BC Ai B1C1, AAi _L底面ABC所以AC _L AA1 .因?yàn)樗訟C _L AB .因?yàn)锳1AI AB = A ,所以AC _L¥面 AABBi .因?yàn)锳1Bu 平面 AABB1 ,所以AC _ A1B .(n)解如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz ,則 Al (0,0,1), bW3,0,0 1,1,0 .所以AB = (<3,0, -1 ), EF =,-1, 一所以cos AB,EFA B EF 2AB EF因?yàn)閡uu um00 < AB,EF)<900,所以直線EF

37、與A1B所成的角為45。.(出)1)解設(shè) G0,0, 1<2J則 GE =：0,2,0 , GF1、,1, _一I22JAH所在直線的向量與平面GEF的法向量平行.v設(shè)平面GEF的法向量為，n=(x,y,z),因?yàn)槌龇?n -GF所以2y =0,31cx y - - z = 0.,22=43 ,則 n =(1,073 )所以AH所在直線的單位向量為因?yàn)閡uvAA1 =(0,0,1),所以-"中.''3cosAA1,e =-因?yàn)樗匀?HA1A =6.14分10.解：（I）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形所以 AD / BC ,且 BC 江面 ADEF , AD 二面 A

38、DEF所以 BC / 面 ADEF 且面 ADEF面 BCEF = EF所以 EF / BC .(n)因?yàn)?FO，面 ABCD所以 FO _L AO , FO _LOB又因?yàn)镺B _ AO以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA , OB , OF分別為x軸，y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取 CD的中點(diǎn)M ,連OM ,EM .易證EML平面ABCD又因?yàn)锽C =CE = DE = 2EF = 2 ,得出以下各點(diǎn)坐標(biāo):BgaC'Dcaaa-T2,'3),向量 BF -(0, -1,，3)向量DE=（金,1,石），向量BC=（一由,1,0） 2 2設(shè)面BCFE的法向量為：n0 = （x0, y0,z

39、0）n。BC =0 /日.i3x0-y。=0 T ，得到 Lno BF =0-y。 '.3zo =0T 令 y° =褥時(shí) n° =(1,小,1)T Tsin 1 = | cos |= ln° DE J|n0| |DE|設(shè)DF與烹所成角為P ,直線DE與面BCEF所成角為6 .1(-1)()2一(3/ 2直線EF與平面BCE所成角的正弦值為 叵.13分511 .解：(I)證明：在正方形 ABCD中，AB_LBC, 1分因?yàn)镻A _L平面 ABCD , BC二平面ABCD , 所以PA _L BC . 2分因?yàn)?AB"PA=A,且 AB, PA二平面

40、 PAB ,所以BC _L平面PAB 4分(n)證明：因?yàn)?BC_L平面PAB, PB u平面PAB,所以BC _LPB 5分在 APBC 中，BC_LPB, MN_LPB,所以MN L BC . 6分在正方形 ABCD中，AD B BC ,所以MN AD , 7分所以MN L：'AD可以確定一個(gè)平面，記為 «所以M ,N,D,A四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面 a內(nèi) 8分（出）因?yàn)?PA_L 平面 ABCD, AB,ADU 平面 ABCD ,所以 PA _ AB , PA _ AD .又AB _L AD,如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) -

41、 xyz,所以 C(2,2,0), D(0,2,0), B(2,0,0),P(0,0,2).設(shè)平面DAN的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),一 _ ， 平面CAN的一個(gè)法向量為 m =(a,b, c),設(shè) PN = KPC 九 W0,1,，T因?yàn)?PC =(2,2, -2),所以 AN =(2九2%2 -2九)，又 AD = (0,2,0),廣 AN n=02 x 2 y (2 -2 )z=0所以4 ，即WAD n =0 2y =010分一.一 . ，一1取 z=1,得到 n =(-,0,1), 九因?yàn)?AP =(0,0,2) , AC =(2,2,0)11分rT TAP m =0所以«

42、;二I二 ,AC m =02c =0即，2a 2b =012分_，、，,”冗 1因?yàn)槎?C一AN-D大小為一，所以 |cos < m, n >|=cos-=一,33 2取 a =1 得，到 m =(1,-1,0),14分解得九=2,所以pn = 7312 . (I)證明：由為矩形，得CC1/DD1,又因?yàn)镈D 1 U平面ADD 1 , CC 1 0平面ADD 1 ,所以CC 1 /平面ADD 1 , 2分同理BC 平面ADD1 ,又因?yàn)锽C nCCi =C ,所以平面BCC1/平面ADD 1, 3分又因?yàn)锽C1仁平面BCC1 ,所以BCi/平面 ADDi. 4分(n)解：由平面

43、ABCD中，AD/BC , /BAD =90 ,得 AB_LBC,又因?yàn)?ABIBCi , BCPlBCi =B ,所以AB，平面BCCi ,所以 ABlCCi,又因?yàn)樗倪呅蜟CiDiD為矩形，且底面 ABCD中AB與CD相交一點(diǎn)，所以CCi _L平面ABCD,因?yàn)?CCJ/DDi ,所以DDi _L平面ABCD.過D在底面ABCD中作DM _LAD,所以DA, DM, DD1兩兩垂直，以DA, DM, DD1分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 則 D(0,0,0) , A(4,0,0) , B(4,2,0), C(3,2,0) , Ci(3,2,2) , Di(0,0,2),由

44、 m AC1 =0 ,所以 ACi =(T,2,2) , ADi =(Y,0, 2).設(shè)平面 AC1D1的一個(gè)法向量為 m =(x, y,z),""7 八 /曰-x 2y 2z =0, m AD1 =0,得 4Yx 2z =0,令 x=2,得 m =(2,-3,4) . 8分易得平面 ADDi的法向量n =(0,1,0).所以cos m,n =m nI m II n I3.2929即平面AG）與平面ADDi所成的銳二面角的余弦值為3 292910分（出）結(jié)論：直線 BCi與CP不可能垂直.11分證明：設(shè) DD1=m(m>0), DP =ZDo1 (Z(0,1),由 B

45、(4,2,0) , C(3,2,0) , C1 (3,2, m) , D(0,0,0),/口二，一、口 、F 、付 BC1 =( 1,0, m) , DC1 =(3,2, m) , DP = KDC = (3九,2 九,Km),CD =(3,q,0),CP tCD DP =(3 . -3,2 -2, m).12分若 BC1 1CP ,則 BC1 CP =-(3九一3)+九m2 =0 ,即(m2 3認(rèn)=,因?yàn)榫?0,所以m2 = -3 +3 0,解得兒1,這與0 c兒1矛盾.所以直線BC1與CP不可能垂直.14分13.解：（I）如圖，在等腰梯形 ABCD中，1由 BCAD , BC= AD=2,

46、 /A = 60） E 為 AD 中點(diǎn), 2所以AABE為等邊三角形.如圖 2,因?yàn)?。為BE的中點(diǎn)，所以 A1O _L BE .又因?yàn)槠矫?ABE_L平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE = BE ,所以A。,平面BCDE ,所以AO_LCE . 4分（n）連結(jié)OC,由已知得CB=CE,又。為BE的中點(diǎn)，所以 OC _L BE .由（I）知AO,平面BCDE,D所以 AQ 1 BE, AO _LOC ,所以O(shè)A1,OB,OC兩兩垂直.以O(shè)為原點(diǎn)，OB,OC,OAi分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.因?yàn)?BC =2,易知 OA =OC = J3.所以 A(0,0,拘,B(10,0

47、),C(0,73；0),E(-10,0),所以 ab =(i,o,-遮)，AC =(0,曲,-73), AE =(-10,-73).設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為 n =（x, y, z）,由 nAC=0, 由n AE =0、3y得 yx -3z =0, 3z = 0.y - z = 0, 即'.x 、,3z=0.取 z=1,得 n =( f/3,1,1).設(shè)直線AB與平面ACE所成角為日，,55所以直線 AB與平面ACE所成角的正弦值為155（出）假設(shè)在側(cè)棱 AC上存在點(diǎn)P,使得BP平面AOF .設(shè) AP = >AC,九w0,i因?yàn)?BP =BA1 +AP =BA +KAC ,所以

48、 bp =(i,0,J3) +k(0,J3,J3) =(1,6,J3J3也.易證四邊形BCDE為菱形，且CE_LBD,又由（I）可知， A1O _LCE ,所以CE，平面A1OF .所以CE =（1,J3,0）為平面AOF的一個(gè)法向量.BP cE=(-1J3>. #-V3Z) X-1,-73,0) =1_3九=0,得九=1W0,1.3AP 1所以側(cè)棱AC上存在點(diǎn)p,使得BP平面AOF ,且 °=. 14分AC 314.證明：(I)因?yàn)?MBC是等腰直角三角形 NCAB=90°, E, F分別為AC, BC的中點(diǎn)，所以 EF _LAE , EF 1CE.又因?yàn)锳E -

49、C E = E ,所以EF，平面AEC.由于 EF /AB,所以有AB_L平面AEC'.4分解：(n) (i)取 AC'中點(diǎn) D,連接 DE,EF,FG,GD,由于GD為 MBC沖位線，以及 EF為AABC中位線，所以四邊形DEFG為平行四邊形.直線GF與AC '所成角就是DE與AC '所成角.所以四棱錐C'-ABFE體積取最大值時(shí)， CE垂直于底面 ABFE .此時(shí)AAEC'為等腰直角三角形， ED為中線，所以直線ED _ AC .又因?yàn)镋DPGF ,所以直線GF與AC'所成角為.10分(ii) 因?yàn)樗睦忮FC'-ABFE體積取最

50、大值，分別以EA、EF、EC'所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如 圖，則 C (0,0, a), B(a,2a,0) , F(0,a,0), CB(a,2a, a), CF(0, a, -a).- uuu設(shè)平面C BF的一個(gè)法向量為n = (x, y,z),由n CB=0, uuirn C F =0得ax + 2ay - az =0ay az = 0取 y =1 ,得 x = -1,z = 1.由此得到n = (-1,1,1).同理，可求得平面 CAE的一個(gè)法向量 m = (0,1,0)._ 1 _ 3. cos n m 33故平面 C'AE與平面C'BF

51、的平面角的夾角的余弦值為 吏.14分315.【解析】(I)證明：連接 NG , NE在AMCD中，N為DM的中點(diǎn)，G為MC中點(diǎn)二 NG/DC 且 NG=1又 *DC /EF.DC/EH口1且 EH = -EF =12.NG/EF二四邊形NGHE為平行四邊形GH /NE又；NE仁平面DEM ,且GH0平面DEMGH /平面 DEM(n)由題知 EM =FM =EF =2EMF為等邊三角形又：'DE _L EF , DE _L EM二 DE _L 平面 EFMDE - MH, MH _L平面 DEFC如圖建立空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下:EC Mg0), D(0T2), C。1,2),5等33-J3 3EM =(圖,0), CN=(+2T T 3 3EM CN = =02 2EM-CN,.EM _CN3 1(出)各