高等數(shù)學曲線積分與曲面積分習題課-文檔資料

1、上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回1第八章第八章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 習題課習題課 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 二、線、面二、線、面 積分的基本計算法積分的基本計算法 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2一、對弧長的曲線積分的概念一、對弧長的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一為第為第又又個小段的長度為個小段的長度為設第設第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧

2、為為設設1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回3.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段的如果當各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構件的質量曲線形構件的質量.),( LdsyxM 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回42.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在

3、對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當 LdsyxfLyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回5注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回6.),(),(),(),()

4、1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 二、對弧長的曲線積分的性質上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回7三、對坐標的曲線積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段如果當各小弧段上任意取定的點上任意取定的點為為點點設設個有向小弧段個有向小弧段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條

5、有到點到點面內(nèi)從點面內(nèi)從點為為設設 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回8.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對坐標上對坐標在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分

6、弧段L上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回92.存在條件：存在條件：.,),(),(第第二二類類曲曲線線積積分分存存在在上上連連續(xù)續(xù)時時在在光光滑滑曲曲線線弧弧當當LyxQyxP3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回104.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 上一頁上一頁下一

7、頁下一頁返回返回11.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設設,)2(LLL 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(四、對坐標的曲線積分的性質上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回12五、對面積的曲面積分的定義 設曲面設曲面 是光滑的是光滑的, , 函數(shù)函數(shù)),(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小塊小塊iS （iS 同時也表示同時也表示第第i小塊曲面

8、的面積）小塊曲面的面積）, ,設點設點),(iii 為為iS 上上任意取定的點任意取定的點, ,作乘積作乘積 ),(iiif iS , ,并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果當當各各小小塊塊曲曲面面的的直直徑徑的的最最大大值值0 時時, , 這這和和式式的的極極限限存存在在, ,則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在曲曲面面 上上對對面面積積的的曲曲面面積積分分或或第第一一類類曲曲面面積積分分. .1.定義上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回13即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 記記為為 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),

9、(),(dSzyxfdSzyxf.則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 叫叫被被積積函函數(shù)數(shù)，其其中中),(zyxf.叫叫積積分分曲曲面面 六、對面積的曲面積分的性質上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回14基本概念觀察以下曲面的側 (假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內(nèi)側和外側上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回15n曲面的分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.典型雙側曲面上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回16莫比烏斯帶典型單側曲面:播放上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回17曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:面面在在xoyS ,在在有有向向曲

10、曲面面上上取取一一小小塊塊.0cos00cos)(0cos)()( 時時當當時時當當時時當當 xyxyxyS.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回18定定義義 設設為為光光滑滑的的有有向向曲曲面面, ,函函數(shù)數(shù)在在上上有有界界, ,把把分分成成n塊塊小小曲曲面面iS ( (iS 同同時時又又表表示示第第i塊塊小小曲曲面面的的面面積積) ), ,iS 在在xoy面面上上的的投投影影為為xyiS )( , ,),(iii 是是iS 上上任任意意取取定定的的一一點點, ,如如果果當當各各小小塊塊曲曲面面的

11、的直直徑徑的的最最大大值值0 時時, , nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, ,則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上對對坐標坐標yx,的曲面積分的曲面積分( (也稱也稱第二類曲面積分第二類曲面積分) )七、對坐標的曲面積分的定義上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回19記記作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)積分曲面類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 上一頁上一頁下一頁下一頁返回

12、返回20存在條件:當當),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時時, ,對對坐坐標標的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回21八、對坐標的曲面積分的性質 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(

13、),(),(),(. 2上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回22九、曲線積分的計算法九、曲線積分的計算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標 )(1) 選擇積分變量轉化定積分用參數(shù)方程用直角坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回23對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一階連續(xù)導數(shù)上具有一階連續(xù)導數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設設上

14、一頁上一頁下一頁下一頁返回返回24注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而是相互有關的而是相互有關的不彼此獨立不彼此獨立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回25推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回26例例1).(,si

15、n,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回27例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到從從其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sinc

16、os 20I上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回28例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回29對坐標的曲線積分的計算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導數(shù)續(xù)導數(shù)一階連一階連為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及在以在以運動到終點運動到終點沿沿的起點的起點從從點點時時到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當參數(shù)當

17、參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設設 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回30dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點為，終點為起點為起點為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點點為為起起點點為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回31.,)()()(:)

18、3( 終終點點起起點點推推廣廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回32ttad)cos1 ( 例5 計算,dd)2(Lyxxya其中L為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對應 t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回33zyx1O 例 6 計算其中 由平面 y = z 截球面22y

19、x 提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd2022221)cos1 (cos4221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx從 z 軸正向看沿逆時針方向.,12所得 z上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回34十、曲面積分的計算法十、曲面積分的計算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標 )轉化二重積分(1) 選擇積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關坐標面上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回35oxy

20、z定理定理: 設有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分yxD),(kkkyxk)(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回36 計計算算 dszyx)(, 其其中中 為為平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例7積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxy上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回37 dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回38 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后