二次函數(shù)中考壓軸題(定值問題)解析

1、(2)求證：點(yi, y2)在反比例函數(shù)千遇的圖象上；(3)求證：xi?OB+y2?OA=0 /考點： 專題： 分析：二次函數(shù)綜合題 壓軸題.y2)兩點，知y1, y2是y1?y2=64,即點(y1, OCD 的面積 S=7；(-工)？b=-2k,二次函數(shù)中考壓軸題(定值問題)解析精選【例1】(2013?南通)如圖，直線y=kx+b(b>0)與拋物線產(chǎn)_1小相交于點A(xi,yi),b(x2,y2)兩點，與x軸正半軸相交于點D,與y軸相交于點C,設OCD的面積為S,且kS+32=0.(1)求b的值；/(1)先求出直線y=kx+b與x軸正半軸交點D的坐標及與y軸交點C的坐標，得到OCD的

2、面積12S=,再卞據(jù)kS+32=0,及b>0即可求出b的值；(2)先由y=kx+8,得x=_再將x=一代入yx2,整理得y2-(16+8k2)y+64=0,然后kk8由已知條件直線y=kx+8與拋物線尸工x相交于點A(x1,y1),b(x2,8方程y2-(16+8k2)y+64=0的兩個根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到，一一一，64,y2)在反比例函數(shù)y=的圖象上；x(3)先由勾股定理，得出OA2-j+y；,OB2*+，AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,由(2)得y1?y2=64,又易得x1?x2=-64,則OA2+OB2=AB2,根據(jù)勾股定理的逆定理得出/AOB=90&

3、#176;.再過點A作AEx軸于點E,過點B作BFx軸于點F,根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似證明AEOAOFB,由相似三角形對應邊成比例得到半卷，即可證明x1?OB+y2?OA=0.BOBF解答:(1)解：,直線y=kx+b(b>0)與x軸正半軸相交于點D,與y軸相交于點C,.令x=0,得y=b;令y=0,x=-kS+32=0,定+32=0解得b=8,b>0,b=8;(2)證明：由(i)知，直線的解析式為y=kx+8,即x=-,k將x=Z_?代入y=Ax2,得y=_!(Z_2,kg/8k整理，得y2-(i6+8k2)y+64=0.,直線y=kx+8與拋物線廣工工2相交于點A(xi,

4、yi),B(x2,y2)兩點,S.yi,y2是方程y2-(i6+8k2)y+64=0的兩個根，.yi?y2=64,，點（y1，y2）在反比例函數(shù)y=則的圖象上;（3）證明：由勾股定理，得oa2=二一 2ob2=,AB2= (xi-x2)2+ (yi-y2)2,由（2）得 yi?y2=64,同理，將y=kx+8代入得 kx+8= x2,即 x2- 8kx 64=0 ,3xi?x2= 64, -AB2= .-7 +,-Zx%2 - 2y1?y2抬+ /+)：邂oa，ob2=ab2, OAB是直角三角形， / AOB=90 °.如圖，過點、A作AE，x軸于點E,過點B作BF，x軸于點F.

5、/ AOB=90 °,/ AOE=90 - / BOF=Z OBF,又 / AEO= Z OFB=90 °,AAEOAOFB, .二二B0 即OE= - xi, BF=y2,.也/町 / xi?OB+y2?OA=0 .點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中.求出OCD的面積S是解第(1)問的關鍵；根據(jù)函數(shù)與方程的關系，得到y(tǒng)i,y2是方程y2-(16+8k2)y+64=0的兩個根，進而得出/

6、y1?y2=64是解第(2)問的關鍵；根據(jù)函數(shù)與方程的關系，一元二次方程根與系數(shù)的關系，勾股定理及其逆定理得出/AOB=90°,是解第(3)問的關鍵.yx9于點C、D.原點。關例2(2013?吉林)如圖，在平面直角坐標系中，點P(0,m2)(m>0)在y軸正半軸上，過點P作平行于x軸的直線，分別交拋物線Ci：y=x2于點A、B,交拋物線C2：4于直線AB的對稱點為點Q,分別連接OA,OB,QC和QD.【猜想與證明】填表：AbCD由上表猜想：對任意m(m>0)均有四=-.請證明你的猜想.CD一廠【探究與應用】(1)利用上面的結論，可得4AOB與4CQD面積比為，；一

7、7;一(2)當4AOB和4CQD中有一個是等腰直角三角形時，求4CQD與4AOB面積之差；/【聯(lián)想與拓展】如圖過點A作y軸的平行線交拋物線C2于點E,過點D作y軸的平行線交拋物線C1于點F.在y軸上任取一點M,連接MA、ME、MD和MF,則MAE與4MDF面積的比值為.2L考點：二次函數(shù)綜合題分析：猜想與證明：把P點的縱坐標分別代入Ci、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出結論，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出對任意m(m>0)將y=m2代入兩個二次函數(shù)的解析式就可以分別表示出AB與CD的值，從而得出均有型=2；CD3探究與證明：(1)由條件可以得出AOB與4CQD高相等，就可以得出面積之比等于

8、底之比而得出結論；(2)分兩種情況討論，當AAOB為等腰直角三角形時，可以求出m的值就可以求出4AOB的面積，從而求出4CQD的面積，就可以求出其差，當4CQD為等腰直角三角形時，可以求出m的值就可以求出4CDQ的面積，進而可以求出結論；聯(lián)想與拓展：由猜想與證明可以得知A、三角形的面積公式分別表示出解答：解：猜想與證明：當m=1時，1=x2,1x2,49 .x=及，x=母AB=4,CD=6,.鯉上CETT當m=2時，4=-x2,4=ix2,x=x=電 .AB=8,CD=12,CD3當m=3時，9j-x2,9gx2,x=電x=均，AB=12,CD=18,AB2.=CD3填表為D的坐標，可以求出F

9、、E的縱坐標，從而可以求出AE、DF的值，由MAE與4MDF面積，就可以求出其比值.m123AB22CD3323/、對任意m(m>0)均有膽？CD3/理由：將y=m2(m>0)代入y=_lx2,得x=i2m,/4A(2m,m2),B(2m,m2),AB=4m.將y=m2(m>0)代入yx2,得x=七m,/91.C(-3m,m2),D(3m,m2),CD=6m.，鹿CD6m3，對任意m(m>0)均有>=2；CD3探究與運用：(1);。、Q關于直線CD對稱，PQ=OP.CD/x軸,/DPQ=/DPO=90°.AOB與ACQD的高相等.畫圖CD-3，9AB=-

10、CD.Saaob=-AB?PO,Sacqd=-CD?PQ,22Sao®知嚇Q3(2)當AOB為等腰直角三角形時，如圖3,.PO=PB=m2,AB=2OPm2=/m4,44m2=m4,1.mi=0,m2=-2,m3=2.1.-m>0,m=2,、/ .OP=4,AB=8, .PD=6,CD=12.SAAOB=-iXgX4=16f-JSacqd=x12X4=24，'''Sacqd-Saaob=24-16=8.當ACCJD是等腰直角三角形時，如圖4,PQ=PO=PD=m2,CD=2QPq.c2.9m=mV,1.mi=O,m>0,1.m=3,.OP=6,PQ

11、=9,m2=3,m3=3.AB=12,CD=18.S/LAOB-X9X12=54Sacqd=-X9X18=81,SacqdSaaob=81-54=27;聯(lián)想與拓展由猜想與證明可以得知A(-2m,m2),AE/y軸,DF/y軸,，E點的橫坐標為-2m,F點的橫坐標為y=(-2m)2，尸一J,92y=-m,4E(-2m,AE=m2-m2=m2,DF=m2-m2=Saaem2cc53?2m=m,9c17口2cc153Sadfm=-Xm?3m=-m2483ID827,故答案為:827點評：本題考出了對稱軸為y軸的拋物線的性質(zhì)的運用，由特殊到一般的數(shù)學思想的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積

12、公式的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，在解答本題時運用兩個拋物線上的點的特征不變建立方程求解是關鍵.【例3】(2013?株洲)已知拋物線Ci的頂點為P(1,0),且過點(0,二).將拋物線C1向下平移h個4單位(h>0)得到拋物線C2.一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(如圖)，且點A、C關于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是m2(m>0).(1)求拋物線Ci的解析式的一般形式；(2)當m=2時，求h的值；(3)若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點E,與拋物線C2交于點F.求證：tan/EDF-tan/ECP=.考點：二次函數(shù)綜合題.專題：代數(shù)幾何綜合題.分析：(1)設

13、拋物線C1的頂點式形式y(tǒng)=a(x-1)2,%(a%)，然后把點(0,1)代入求出a的值，再/、4化為一般形式即可；(2)先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點B、C的縱坐標，然后利用拋物線解析式求出點C的橫坐標，再根據(jù)關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同求出點A的坐標，然后根據(jù)平移的性質(zhì)設出拋物線C2的解析式，再把點人的坐標代入求出h的值即可；(3)先把直線AB與x軸的距離是m2代入拋物線Ci的解析式求出C的坐標，從而求出CE,再表示出點A的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性表示出ED,根據(jù)平移的性質(zhì)設出拋物線C2的解析式，把點A的坐標代入求出h的值，然后表示出EF,最后根據(jù)銳角的正

14、切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證.解答：(1)解：設拋物線Ci的頂點式形式y(tǒng)=a(x-1)2,(a卻，拋物線過點(0,1)，4丁22|a(01)=,4解得a=42，拋物線C1的解析式為y)(x-1),一般形式為y=fx2_：x+：(2)解：當m=2時，m2=4, BC/x軸， 點B、C的縱坐標為4, xT)2=4,4解得x1=5,x2=-3, 點B(-3,4),C(5,4), 點A、C關于y軸對稱，點A的坐標為(-5,4),則解得(3)點 d解得設拋物線C2的解析式為y=(x-1)2-h,(-5T)2-h=4,h=5;證明：直線AB與x軸的距離是m2,B、C的縱坐標為m2,(x-1)2=m2

15、,x1=1+2m,x2=12m,，點C的坐標為(1+2m, m ),2、又拋物線C1的對稱軸為直線x=1 ,CE=1+2m 1=2m ,點A、C關于y軸對稱，2、點A的坐標為(-1 - 2m, m ),AE=ED=1 - (- 1-2m) =2+2m ,設拋物線C2的解析式為y(X- 1) 2-h,4貝( - 1 - 2m T) 2- h=m2,4 /解得 h=2m+1 ,/EF=h+m 2=m2+2m+1 , .tan / EDF - tan / ECpJ j+2nH"1XED CE 242m .tan / EDF - tan / ECP/2m 2點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要

16、考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與結合變換，關于y軸對稱的點的坐標特征，拋物線上點的坐標特征，銳角的正切的定義，(3)用m表示出相應的線段是解題的關鍵，也是本題的難點.【例 4】如圖，拋物線y=ax2+c(a為)經(jīng)過C(2,0), D (0, T)兩點，并與直線y=kx交于A、，B兩點，直線l過點E (0, - 2)且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、 N.(1)(2)(3)求此拋物線的解析式;求證：AO=AM ;探究：的值; 當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時考點：二次函數(shù)綜合題.專題：代數(shù)幾何綜合題./分析：(1)把點C、D的坐標代入拋物線

17、解析式求出、a、c,即可得解；(2)根據(jù)拋物線解析式設出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證;(3)k=0時，求出AM、BN的長，然后代入:L+二L計算即可得解；AMB11設點A(x1,x12-1),B(X2,x22-1),然后表示出1_+_L,再聯(lián)立拋物線與直線解析式,44z八、田EN消掉未知數(shù)y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系表示出X1+X2,x1?2,并求出X12+X22,X12?X22,然后代入進行計算即可得解.解答：(1)解：二.拋物線y=aX2+c(a加)經(jīng)過C(2,0),D(0,1),所以，拋物線的解析式為y=1X2-1；/4(2)證明：設點A的坐標為(m,m

18、2T),4則AO=(鏟-1)，m2+1，直線l過點E(0,-2)且平行于X軸，.點M的縱坐標為-2,AM=m2-1-(-2)、m2+144AO=AM;(3)解：k=0時，直線y=kX與X軸重合，點A、B在X軸上,AM=BN=0 ( 2) =2,k取任何值時，設點A(X1,412-1),B(X2,±X22T),4|4|1I1|1r1I4(工：+4+/十4)4,；+真土5)貝u+=+,-=：=疝Pl+11工紅1!(彳十4)(耳,4)若Y+4+16廠做/聯(lián)立121，/k/消掉y得，X2-4kX-4=0,由根與系數(shù)的關系得，X1+X2=4k,x1?x2=-4,所以，X12+x22=(x1+x

19、2)2-2x1?x2=16k2+8,2-2/X1?X2=16,4 (16k,+8+g)16+4 (1 6k 2+切 +1664，k，l)64 (k，D=1.無論k取何值，上的值都等于同一個常數(shù)、1.點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理以及點到直線的距離，根與系數(shù)的關系，根據(jù)拋物線上點的坐標特征設出點'A、B的坐標，然后用含有k的式子表示出二+二是解題的關鍵，也是本題的難點，計算量較大，要認真仔細.OBM7【例5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，OAB的頂點A的坐標為(10,0),頂點B在第一象限內(nèi)，且AB=3J5,sin/OAB=(1)若點C是點

20、B關于x軸的對稱點，求經(jīng)過0、C、A三點的拋物線的函數(shù)表達式；(2)在(1)中，拋物線上是否存在一點P,使以P、0、C、A為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若將點。、點A分別變換為點Q(-2k,0)、點R(5k,0)(k>1的常數(shù))，設過Q、R兩點，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點為N,其頂點為M,記4QNM的面積為Sqmn，AQNR的面積SQNR,求SQMN,SQNR的值.解：(1)如圖，過點B作BDOA于點D.在RtzXABD中，1|AB3而，sinOABy-,BDAB|sinOAB3匹3.55又由勾股定理，得ADJab|2|b

21、d|2J(3拘2326.ODOAAD1064.:點B在第一象限內(nèi)，點B的坐標為(4,3).點B關于x軸對稱的點C的坐標為(4,3).設經(jīng)過0(0,0)0(4,3),A(10,0)三點的拋物線的函數(shù)表達式為2yaxbx(a0).,16a4b3m/100a10b05、，c 八x . 2 分4C, A為頂點的四邊形為梯形.12經(jīng)過0,C,A三點的拋物線的函數(shù)表達式為y-x28(2)假設在(1)中的拋物線上存在點P,使以P,0,125：點C(4,3)不是拋物線y-x2/的頂點，84過點C作直線0A的平行線與拋物線交于點P.則直線CP1的函數(shù)表達式為y3.一一125一一對于y-xx,令y3x4或x6.8

22、4x4,yx6,y13；y23,而點C(4八,3),R(6,3).在四邊形RAOC中，CR/OA,顯然CPOA.點R(6,3)是符合要求的點.1分若AP2/CO.設直線CO的函數(shù)表達式為ykx.,，一一,、13將點C(4,3)代入，得4kl3k1-.43直線CO的函數(shù)表達式為y-x43于是可設直線AP2的函數(shù)表達式為yx%匕.4315將點A(10,0)代入，得10bl0.1bl一.42315直線AP2的函數(shù)表達式為yx.42315x 421 25-x - x84x24x600,即(x10)(x6)0.x110,x26,Yi0；Y212；而點A(10,0),P2(6,12)<過點P2作P2

23、Ex軸于點E,則P2E12.在RtzXABE中，由勾股定理，得 AP2J|BE|2 |AE|2 J122 16220 .而COOB5.在四邊形P2OCA中，AP2/CO，但AP2CO點P2(6,12)是符合要求的點.1分若OP3/CA.設直線CA的函數(shù)表達式為yk2xb2.將點A(10,0),C(4,3)代入，得10k2b20k22'4k2b23廣，一，一，1直線CA的函數(shù)表達式為y-x5.2一，一，1直線OP3的函數(shù)表達式為y-x.21y-x由2x214x0,即x(x14)0.125y-x-x84K0,x214,y10；y27-而點O(0,0),P3(14,7).過點P3作BFx軸于

24、點F,則P3F7.在RtAOP3F中，由勾股定理，得OP3Iof|272 1 4 27 5.在四邊形P3OCA中，OP3/CA，但OP3CA.點P3(14,7)是符合要求的點.1分綜上可知，在(1)中的拋物線上存在點p(6,3),P2(6,12),2(14,7),使以P,O,C,A為頂點的四邊形為梯形.(3)由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下.當拋物線開口向上時，則此拋物線與y軸的負半軸交于點N.可設拋物線的函數(shù)表達式為ya(x2k)(x5k)(a0).如圖，過點M作MGx軸于點G.223.49.2即yax3akx10akaxk-ak.24；Q(2k,0)R(5k,0)Gk,0，223N

25、(0,10ak2),M-k,249ak2,43|QO|2k,|QR|7k,|OG|-k,27o49o|QG|-k,|ON|10ak2,|MG|ak2.24Saqnr2|qr|on1_2_37k10ak35ak.2SaqnmSaQNOS梯形ONMGSaQMG2IQOIONI1(ONGM)OGQG|GM10ak210ak249ak23k4217k49ak2224153497849ak321ak3.84Saqnm：Saqnr21-33ak:(35ak)3:20.4當拋物線開口向下時，則此拋物線與y軸的正半軸交于點N.同理，可得SAQNM:SAQNR3:20綜上可知，SAQNM:SAQNR的值為3:2

26、0.m ( m為常數(shù))的圖象與x軸交于點bx c (a, b, c 為常數(shù)，且 aw。)【例6】、如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)yA(3,0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線yax2經(jīng)過A,C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達式；(2)設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；(3)若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(

27、x1,y1),M2(x2,y2)兩點，試探究MlPM2P是否為定值，并寫出探究過程.M1M2考點：二次函數(shù)綜合題。解答：解：(1) :尸卷耳十n經(jīng)過點(-3, 0),0= +m ,解得 m=,44，直線解析式為 安;式十號，C (0, ?)拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1 ,且與x軸交于A (-3, 0),，另一交點為 設拋物線解析式為 y=a (x+3) (x-5),;拋物線經(jīng)過c(0,.箸a?3 (- 5),解得 a二 一 半 /，拋物線解析式為y=x2欄；/<24(2)假設存在點 E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，B (5, 0),貝U AC / EF且AC

28、=EF .如答圖1 ,(i)當點E在點E位置時，過點 E作EGx軸于點G, . AC/EF, . . / CAO= / EFG,又.J /CO"/EOF = 90, ACAOAEFG,1AC-EFEG=CO=15xE2+xE旁,解得xE=2 (xE=0與C點重合，舍去),424E (2,空)，S?ACEF=-42(ii)當點E在點E位置時，過點同理可求得E' (731+1,E作EGx軸于點G；S?acef衛(wèi)酗生(3)要使4ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可.如答圖2,連接BC交x=1于P點，因為點A、B關于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點之間線段最短,可知此時AP+C

29、P最小(AP+CP最小值為線段 BC的長度).B (5,0), C (0,¥),直線BC解析式為y= - =x+44xP=1, 令經(jīng)過點.yP=3,即 P (1, 3).P (1, 3)的直線為 y=kx+3 -k,1.- y=kx+3 - k, y=聯(lián)立化簡得：x2+ (4k-2) x - 4k- 3=0 ,1. xi+x2=2 - 4k, xix2= - 4k - 3 A- yi=kx 1+3 - k, y2=kx2+3 - k, . . yi - y2=k (xi-x2).根據(jù)兩點間距離公式得到：M 1M2=2)2-M1M2=, - 1 ,：=： 力 -1,；=4 (1+k2)

30、.M1P=_：-=I：X-1-/V<='I-同理M2P=.，：，-.M1P?M2P=（1+k2）?JQ1）22=（1+k2）'?JxF2-（町+k.+12=（1+k2）?J-4k-3-（2-4k）+12=4（1+k2）.M1P?M2P=M1M2,/-=1為定值.MM&【例7】（2013?成都）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-*x2+bx+c（b,c為常數(shù)）的頂點為P,Xa£|等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0,-1）,C的坐標為（4,3）,直角頂點B在第四象限.（1）如圖，若該拋物線過A,B兩點，求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）平移（1）中的拋物

31、線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q./（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；/（ii）取BC的中點N,連接NP,BQ.試探究證為是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在,請說明理由.考點：二次函數(shù)綜合題分析:/（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；/（2）i）首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續(xù)計算的基礎.若MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為12M.此時，將直線AC向右平移4個單

32、位后所得直線（y=x-5）與拋物線的交點，即為所求之M點；當PQ為斜邊時：點M到PQ的距離為此時，將直線AC向右平移2個單位后所得直線'（y=x-3）與拋物線的交點，即為所求之M點.ii）由（i）可知，PQ=2也為定值，因此當NP+BQ取最小值時，蝦:;口有最大值.如答圖2所示，作點B關于直線AC的對稱點B',由分析可知，當B'、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段BF的長度.解答：解：（1）由題意，得點B的坐標為（4,-1）.;拋物線過A(0,-1),B(4,-1)兩點，-1j-|x16HUc=-l,解得：b=2,C=T'，拋物線的函數(shù)表達式為：y=_7jx2+2x-1.(2)i)/A(0,1),C(4,3),直線AC的解析式為：y=x-1.設平移前拋物線的頂點為P0,則由（1）可得P0的坐標為（2,1）,且P0在直線AC上