高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題目

1、.2011高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題第一試一、填空題（每小題8分，共64分）1.定義在上的函數(shù)滿足且則使得 的整數(shù)的個(gè)數(shù)是 .2.已知向量滿足：和都是正整數(shù)，且則 與的夾角為 .3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為雙曲線上任一點(diǎn)，則的最大值為 .4.在長方體中，為棱上一點(diǎn)，且 在底面正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)到直線距離為， ，則所取點(diǎn)滿足的概率為 .5.設(shè)是非直角三角形，且有其中，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則滿足條件的的最小內(nèi)角的弧度數(shù)為 .6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)集設(shè)點(diǎn)集則點(diǎn)集所形成圖形的面積為 .7.設(shè)有紅、黑、白三種不同顏色的球各10個(gè)，現(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個(gè)袋子中，要

2、求每個(gè)袋子里三種顏色的球都有，且兩個(gè)袋子里三種顏色球的個(gè)數(shù)之積相等，則這樣的放法共有 種8.一個(gè)四面體的六條棱長均為整數(shù)，且它們的和為2011，則這樣的四面體的最大棱長與最小棱長之差的最大可能值為 .二、解答題（共56分）9.（本題滿分16分）在方格表的每個(gè)方格中都寫有一個(gè)正數(shù)，使得每一列中的兩個(gè)數(shù)的和都等于1，證明：可以從每一列中刪去一個(gè)數(shù)，使得每一行中剩下的數(shù)的和不超過10.（本題滿分20分）設(shè)動圓過點(diǎn)且與圓相切.(I)求動圓圓心的軌跡的方程(II)設(shè)點(diǎn)在曲線上,求證:直線有唯一的公共點(diǎn)(III)設(shè)(II)中的直線與圓交于、兩點(diǎn),求證:滿足的點(diǎn)必在圓上.11.(本題滿分20分)已知函數(shù)的圖

3、象如圖1所示,直線且直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn)、交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為,求證:.第二試一、(本大題滿分40分)如圖2,在中, 、分別是邊延長線上的點(diǎn),是線段上一點(diǎn),直線與的外接圓交于點(diǎn)求證:充要條件是為線段的中點(diǎn).二、(本小題滿分40分)設(shè)均為集合的三元子集,求正整數(shù)的最大值,使得（I）（II）三、(本大題滿分50分)已知數(shù)列滿足求證：（I）（II）四、（本小題滿分50分）求整數(shù)使得方程的正整數(shù)解的組數(shù)最多，并求相應(yīng)的正整數(shù)解.參考答案第一試一、填空題1.2.令得再令，得當(dāng)時(shí)，同理，所以令解得或2因?yàn)榍宜?解得又所以故3.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)則又 當(dāng)時(shí)， 的最大值為4.如圖3，過點(diǎn)作垂足為過點(diǎn)

4、作交于點(diǎn)，則，故從而由得故點(diǎn)的軌跡是正方形內(nèi)以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線與所圍成的區(qū)域，在平面上，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立直角坐標(biāo)系，由題設(shè)知拋物線方程為則該區(qū)域的面積又正方形的面積故所求概率5.因?yàn)樗詮亩鶠檎麛?shù)，且其中至少有兩個(gè)是正整數(shù)，不妨設(shè)是正整數(shù)，則由知也是正整數(shù) 不妨設(shè)若則這與矛盾，故即的最小內(nèi)角為6.7.如圖4，點(diǎn)集為正方形區(qū)域，點(diǎn)集為區(qū)域線段的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為所以，點(diǎn)集形成的圖形為五邊形區(qū)域，其面積為7.25.設(shè)甲袋中紅、黑、白三種顏色的球數(shù)分別為則且即所以于是中必有一個(gè)為5.不妨設(shè)代入得此時(shí)有9組解同理，當(dāng)或時(shí)，也各有9組解但滿足的解重復(fù)2個(gè)故滿足要求

5、的放法共有（種）8.668.該六條棱長分別為其中最大棱長為，最小棱長為當(dāng)與不共面時(shí)，如圖5，得則故所以即故于是此時(shí)易知不存在滿足題意的故的最大值為667.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，符合題意當(dāng)與共面時(shí)，如圖6，由得又故于是而所以則故的最大值為668.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，符合題意綜上所述，的最大可能值為668.二、解答題9.設(shè)第一行中所放的數(shù)依次為必要時(shí)可通過交換列的位置，便得此時(shí)，第二行中所放的數(shù)依次為如果，那么可以找到使得成立的最小正整數(shù)，此時(shí)在第一行中刪去，在第二行中刪去由的取法知下面只須證明即可由得所以綜上所述，命題得證10.（I）因?yàn)辄c(diǎn)在圓：內(nèi)，所以動圓與圓相內(nèi)切，故由橢圓的定義知，動圓圓心的軌跡是以為焦

6、點(diǎn)，長軸長為的橢圓，其方程為（II）由點(diǎn)在曲線上，得又由得即直線與曲線有唯一的公共點(diǎn)（III）由得設(shè)則從而 故即點(diǎn)在圓上11.設(shè)三次函數(shù)在點(diǎn)的展開式為則，即切線的方程為由得或，則同理又同理 故第二試一、設(shè)外接圓半徑為在圓內(nèi)接四邊形中，由托勒密定理，得又又若，則由得若，代入得即由題設(shè)知不恒為0即為線段的中點(diǎn)綜上所述，的充要條件是為線段的中點(diǎn)二、首先，由（I）得其次，由于是集合中互不相同的個(gè)元素，因此，這個(gè)元素和的最大值為所以解得即最后，說明可以取到220，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，于是，我們可以將集合中較大的660個(gè)元素中的最小一個(gè)341減去110，得231，即用1000，999，998，343，342以及231共660