概率論第七章 概率統(tǒng)計(7)簡潔版

1、 對所研究的隨機變量進行重復(fù)獨立的觀察，對所研究的隨機變量進行重復(fù)獨立的觀察，利用觀察值對隨機變量的分布作出推斷。利用觀察值對隨機變量的分布作出推斷。u總體分布類型的判斷；總體分布類型的判斷；u總體分布中未知參數(shù)的推斷總體分布中未知參數(shù)的推斷 假定某市成年男性的身高服從正態(tài)分布，假定某市成年男性的身高服從正態(tài)分布，希望得到平均身高希望得到平均身高m m： m m的大小如何的大小如何； m m大概落在什么范圍內(nèi)；大概落在什么范圍內(nèi)； 能否認(rèn)為能否認(rèn)為某一說法成立某一說法成立（如（如 m m 1.68）。）。 第一節(jié) 點估計第三節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)第四節(jié) 區(qū)間估計第五節(jié) 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估

2、計第六節(jié) （0-1）分布參數(shù)的區(qū)間估計第七節(jié) 單側(cè)置信區(qū)間第一節(jié)第一節(jié) 點估計點估計 假定某市成年男性的身高服從正態(tài)分假定某市成年男性的身高服從正態(tài)分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估計？，如何估計？點估計問題的一般提法點估計問題的一般提法.,.,);(2121為為相相應(yīng)應(yīng)的的一一個個樣樣本本值值本本的的一一個個樣樣是是是是待待估估參參數(shù)數(shù)知知的的形形式式為為已已的的分分布布函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)總總體體nnxxxXXXXxFX .),(),(2121 來來估估計計未未知知參參數(shù)數(shù)用用它它的的觀觀察察值值一一個個適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡慕y(tǒng)統(tǒng)計計量量點點估估計計問問題題就就是是要要構(gòu)構(gòu)造造nnxx

3、xXXX.),(21的估計量的估計量稱為稱為 nXXX.),(21的的估估計計值值稱稱為為 nxxx., 簡記為簡記為通稱估計通稱估計 其一其一 是如何給出估計，即估計的是如何給出估計，即估計的方法問題方法問題； 其二其二 是如何對不同的估計進行評價，即估計是如何對不同的估計進行評價，即估計的的好壞判斷標(biāo)準(zhǔn)。好壞判斷標(biāo)準(zhǔn)。點估計涉及的兩個問題點估計涉及的兩個問題一、一、 矩估計矩估計法法 用樣本矩去用樣本矩去替換替換相應(yīng)的總體矩相應(yīng)的總體矩 通常采用原點矩通常采用原點矩1例0, ,X設(shè)總體 服從上的均勻分布 即密度函數(shù)1,0,0,xf x其他12,nXXX其中 未知是一個樣本 求的矩估計量.,

4、 0,221222的的矩矩估估計計量量和和求求是是一一個個樣樣本本又又設(shè)設(shè)均均為為未未知知和和但但且且有有都都存存在在和和方方差差的的均均值值設(shè)設(shè)總總體體 m m m m m mnXXXX ,1XA m m2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例3 3 總體均值與方差的矩估計量的表達式總體均值與方差的矩估計量的表達式不因不同的總體分布而異不因不同的總體分布而異. . A同學(xué)和一位獵人一起外出打獵。同學(xué)和一位獵人一起外出打獵。 一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒地。請推斷：是誰開槍？野兔應(yīng)聲倒地。請推斷：是誰開槍？獵人射擊獵人射

5、擊最有可能最有可能一槍命中野兔。一槍命中野兔。觀察結(jié)果觀察結(jié)果 A同學(xué)和一位獵人一起外出打獵。同學(xué)和一位獵人一起外出打獵。 一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，一只野兔從前方竄出，只聽一聲槍響，野兔倉皇逃走。請推斷：是誰開槍？野兔倉皇逃走。請推斷：是誰開槍？A同學(xué)射擊同學(xué)射擊最有可能最有可能一槍命不中野兔。一槍命不中野兔。 看誰看誰最有可能最有可能產(chǎn)生觀察結(jié)果；產(chǎn)生觀察結(jié)果； 或者說，看誰使得觀察結(jié)果出現(xiàn)的或者說，看誰使得觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率最大。概率最大。 觀察結(jié)果觀察結(jié)果2. 2. 最大似然估計法最大似然估計法屬屬離離散散型型設(shè)設(shè)總總體體 X)1( ; ),P Xxp x設(shè)分布律為待估參數(shù),2

6、1的的樣樣本本是是來來自自總總體體 XXXXn,2121的的概概率率取取到到觀觀察察值值則則樣樣本本nnxxxXXX發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為即即事事件件nnxXxXxX ,2211 );,()(21 nxxxLL設(shè)設(shè)x1,x2,.,xn是相應(yīng)的一個樣本值是相應(yīng)的一個樣本值. 觀察觀察結(jié)果結(jié)果),;(1 niixp, 樣本的似然函數(shù)樣本的似然函數(shù)求最大似然估計量的步驟求最大似然估計量的步驟:121() ( )(,; )( ; )nniiLL x xxp x一寫出似然函數(shù)1() ln ( )ln ( ; )niiLp x二取對數(shù)dln ( )dln ( )() ,0,dd.LL三對求導(dǎo)并令解方程即

7、得未知參數(shù) 的最大似然估計值但如果此方程無解，那么利用單調(diào)性求得。.,), 1(21的的最最大大似似然然估估計計量量求求個個樣樣本本的的一一是是來來自自設(shè)設(shè)pXXXXpBXn例例4 4屬連續(xù)型屬連續(xù)型設(shè)總體設(shè)總體 X)2(,),;( 為為待待估估參參數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)概概率率密密度度為為xf,21的的樣樣本本是是來來自自總總體體 XXXXn );,()(21 nxxxLL1( ; ),niif x, 樣本的似然函數(shù)樣本的似然函數(shù)例X設(shè)某電子元件的壽命 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布12, , ,nnx xx測得 個元件的失效時間為試求 的極大似然估計.,),(22122的的最最大大似似然然估估計計量量和和求求的

8、的一一個個樣樣本本值值是是來來自自為為未未知知參參數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)總總體體 m m m m m mXxxxNXn解解的概率密度為的概率密度為X,e21),;(222)(2 m m m m xxf似然函數(shù)為似然函數(shù)為,e21),(222)(12 m m m m ixniL例例5,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnLm m m m , 0),(ln, 0),(ln222 m m m mm mLL令令,xm m 2211() .niixxn 最大似然估計值最大似然估計值,Xm m 2211() .niiX

9、Xn 最大似然估計量最大似然估計量 最大似然估計法也適用于分布中含有最大似然估計法也適用于分布中含有多個未知參數(shù)的情況多個未知參數(shù)的情況. . 此時只需令此時只需令., 2 , 1, 0lnkiLi .), 2 , 1( ,iikik 的的最最大大似似然然估估計計值值數(shù)數(shù)即即可可得得各各未未知知參參個個方方程程組組成成的的方方程程組組解解出出由由 對數(shù)似然對數(shù)似然方程組方程組例1( 0),01,( )0,(1)(2)Xxxf x設(shè)總體 具有參數(shù)為的概率密度函數(shù)其它.求 的矩估計； 求 的極大似然估計.例2()122,;( , )0,0,xnXexf xxnx xx設(shè)某電子元件的壽命 的密度函數(shù)

10、其中為未知參數(shù)，測得 個元件的失效時間為試求 的極大似然估計.(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好?(2)評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么?第三節(jié)第三節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn) 假定某市成年男性的身高服從正態(tài)分假定某市成年男性的身高服從正態(tài)分布，希望得到平均身高布，希望得到平均身高m m，如何估計？，如何估計？. ,)( ,)(),(21的無偏估計量的無偏估計量是是則稱則稱有有且對于任意且對于任意存在存在的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望若估計量若估計量 EEXXXn無偏估計的實際意義無偏估計的實際意義: : 無系統(tǒng)誤差無系統(tǒng)誤差. .（一）無

11、偏性（一）無偏性.1 , ,)1()(121的的無無偏偏估估計計階階總總體體矩矩是是階階樣樣本本矩矩總總體體服服從從什什么么分分布布論論的的一一個個樣樣本本，試試證證明明不不是是又又設(shè)設(shè)存存在在階階矩矩的的設(shè)設(shè)總總體體knikiknkkkXnAkXXXXkXEkXm mm m 例例1設(shè)總體設(shè)總體 X 的均值為的均值為m m, ,方差為方差為 2 2, , X1 1, ,X2 2, , ,Xn n 為來自總體為來自總體 X 的隨機樣本，記的隨機樣本，記 與與 分別為樣本均值與樣本方差，即分別為樣本均值與樣本方差，即.)(11 ,12121XXnSXnXniinii.)( , )( 22mSEXE

12、則則X2S思考：總體均值思考：總體均值m m還有沒有其他的無偏估計量？還有沒有其他的無偏估計量？例例(二二) )有效性有效性.),()( ,),(),(212121222111有有效效較較則則稱稱若若有有的的無無偏偏估估計計量量都都是是與與設(shè)設(shè) DDXXXXXXnn （三）相合性（三）相合性. ,),(, ,),(2121的的相相合合估估計計量量為為則則稱稱依依概概率率收收斂斂于于時時當(dāng)當(dāng)若若對對于于任任意意的的估估計計量量為為參參數(shù)數(shù)若若 nnXXXnXXX 1 1、導(dǎo)彈直接命中敵機將其擊毀、導(dǎo)彈直接命中敵機將其擊毀2 2、導(dǎo)彈接近敵機時引爆，依靠高速飛行的彈、導(dǎo)彈接近敵機時引爆，依靠高速飛

13、行的彈片將其擊毀片將其擊毀第四節(jié)第四節(jié) 區(qū)間估計區(qū)間估計用空空導(dǎo)彈擊落敵機的兩種模式用空空導(dǎo)彈擊落敵機的兩種模式解解:2122,( ,) , , , .nXXXNm mm設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本 其中為已知為未知 求的區(qū)間估計(0,1)/, XNnm是不依賴于任何未知參數(shù)的例1 ,1/2/ m m znXP,1 2/2/ m m znXznXP即即 分分位位點點的的定定義義知知由由標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上 0/2z/2/2z/2., 1 2/2/ m mznXznX的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為于是得于是得這樣的置信區(qū)間常寫成這樣的置信區(qū)間常寫成.2/ znX,1

14、2/2/ m m znXznXP即即統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量1. 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義.1 ,1 ,1) ,(為為置置信信度度的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限的的雙雙側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間分分別別稱稱為為置置信信度度為為和和間間的的置置信信區(qū)區(qū)的的置置信信度度為為是是則則稱稱隨隨機機區(qū)區(qū)間間 ,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX滿滿足足和和確確定定的的兩兩個個統(tǒng)統(tǒng)計計量量若若由由樣樣本本對對于于給給定定值值數(shù)數(shù)含含有有一一個個未未知知參參的的分分布布函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)總總體體16, 1, 0.05,

15、n 取取/20.025 1.96,zz .1.961610.95 X的置信區(qū)間的置信區(qū)間得一個置信水平為得一個置信水平為由一個樣本值算得樣本均值的觀察值由一個樣本值算得樣本均值的觀察值,20. 5 x則置信區(qū)間為則置信區(qū)間為),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即.2/ znX不是隨機區(qū)間不是隨機區(qū)間若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)每次可確定一個區(qū)間按頻率穩(wěn)定于概率, 在這樣多的區(qū)間中,(1), . mm包含 真值的約占不包含 的約占 ,mm每個這樣的區(qū)間要么包含的真值，要么不包含的真值,1 2/2/ m m znXznXP即即例如例如 , 1000 0.0

16、1, 次次反反復(fù)復(fù)抽抽樣樣若若 1000 10.m則得到的個區(qū)間中不包含真值的約為個,05. 0 給定給定 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP m m則則又又有有 .0.95, 04. 001. 0的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信水水平平也也是是故故m m znXznX00.01Z Z0.010.010.04z0.04比較兩個置信區(qū)間的長度比較兩個置信區(qū)間的長度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 顯顯然然置信區(qū)間短表示估計的精度高置信區(qū)間短表示估計的精度高.0.010.04 ,XzXznn 0.0250.025

17、,XzXznn像像N(0,1)分布那樣其概率密度的圖形是分布那樣其概率密度的圖形是單峰且對稱的情況單峰且對稱的情況, 當(dāng)當(dāng)n固定時固定時, 以形如以形如(4.5)那樣那樣的區(qū)間其長度為最短的區(qū)間其長度為最短.求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟. )(,);,(:, )1(2121 包括包括數(shù)數(shù)且不依賴于任何未知參且不依賴于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數(shù)其中僅包含待估參數(shù)的函數(shù)的函數(shù)尋求一個樣本尋求一個樣本ZXXXZZXXXnn 12(3) (,; ) , naZ XXXb若能從得到等價的不等式則得到置信區(qū)間.1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使

18、出出兩兩個個常常數(shù)數(shù)定定對對于于給給定定的的置置信信度度第五節(jié) 正態(tài)總體均值與方差的 區(qū)間估計一、單個總體的情況一、單個總體的情況二、兩個總體的情況二、兩個總體的情況.,),( , ,12221本本方方差差分分別別是是樣樣本本均均值值和和樣樣的的樣樣本本總總體體為為并并設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)給給定定置置信信水水平平為為SXNXXXn m m 一、單個總體一、單個總體 的情況的情況),(2 m mN ,)1(2為為已已知知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 m m .2/ znX 的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值m m1. ,)2(2為為未未知知 , , 2/直直接接使使用用此此區(qū)區(qū)間間不

19、不能能中中含含有有未未知知參參數(shù)數(shù)由由于于區(qū)區(qū)間間 znX,1)1()1( 2/2/ m m ntnSXntnSXP即即 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得于是得 m m .)1(2/ ntnSX ),1(/ ntnSXm m又根據(jù)第六章定理三知又根據(jù)第六章定理三知 ,1)1(/)1( 2/2/ m m ntnSXntP則則0/2ta/2(n-1)/2- - ta/2(n-1)解解 有一大批糖果有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取現(xiàn)從中隨機地取16袋袋, 稱得重稱得重量量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506

20、設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值試求總體均值,151 0.05, n : )1( 分分布布表表可可知知查查 nt )15(025. 0t,2022. 6,75.503 sx計計算算得得 . 0.95 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為m m,1315. 2例例2 5%9 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的置置信信度度為為得得m m 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(即即就是說估計袋裝糖果重量的均值在就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與克與507.1克之間克之間, 這個估計的可信程度為這個估計的可信程度為95

21、%. , 22的無偏估計的無偏估計是是因為因為 S),1()1(222 nSn 根據(jù)根據(jù)P143第六章第二節(jié)定理二知第六章第二節(jié)定理二知 . ,未知的情況未知的情況只介紹只介紹根據(jù)實際需要根據(jù)實際需要m m 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差 2. ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP則則 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1( 22/2222/1 nSnnP則則 ,1)1()1()1()1( 22/12222/2 nSnnSnP即即 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 1 的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一

22、個個置置信信度度為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn (續(xù)例續(xù)例1) 求例求例1 1中總體標(biāo)準(zhǔn)差中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分分布布表表可可知知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s計計算算得得 )15(2975. 0 代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間).60. 9,58. 4( ,488.27,262. 6例例2二、兩個總體 的情況),(),(222211 m m m mNN設(shè)產(chǎn)品的某質(zhì)量指標(biāo)設(shè)產(chǎn)品的某質(zhì)量指標(biāo) )

23、,(211mNX 由于原材料的改變、或設(shè)備條件發(fā)生變化、或由于原材料的改變、或設(shè)備條件發(fā)生變化、或技術(shù)革新等因素的影響，使得產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)可能技術(shù)革新等因素的影響，使得產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)可能發(fā)生變化，此時產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)為發(fā)生變化，此時產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)為),(222mNY 為了了解產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)有多大的變化，需為了了解產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)有多大的變化，需要考慮要考慮222121/ ,mm的統(tǒng)計推斷問題的統(tǒng)計推斷問題二、兩個總體 的情況),(),(222211 m m m mNN., , ,),(,),( , ,122212222121121的的樣樣本本方方差差分分別別是是第第一一、二二個個總總體體總總體體的的樣樣本

24、本均均值值分分別別是是第第一一、二二個個的的樣樣本本個個總總體體為為第第二二的的樣樣本本第第一一個個總總體體為為并并設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)給給定定置置信信度度為為SSYXNYYYNXXXnn m m m m , 的的獨獨立立性性及及由由YX,1211 nNX m m,2222 nNY m m, 22212121 nnNYX m mm m可可知知 ,1, 0 22212121NnnYX m mm m 或或 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 m mm m .2221212/ nnzYX 21的的置置信信區(qū)區(qū)間間兩兩個個總總體體均均值值差差m mm m ( (方差已知）方差已知

25、）222212, , 但為未知 1 21的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個個置置信信度度為為 m mm m .11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其其中中 ),2(11 212121 nntnnSYXwm mm m( (方差未知但相等）方差未知但相等）例例7為比較為比較, 兩種型號步槍子彈的槍口速度兩種型號步槍子彈的槍口速度,隨機地取隨機地取型子彈型子彈10發(fā)發(fā), 得到槍口速度的平均值為得到槍口速度的平均值為),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差隨機地取隨機地取型子彈型子彈20發(fā)發(fā), 得槍口速度平

26、均值為得槍口速度平均值為),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差相等相等, 求兩總體均值差求兩總體均值差 .950 21的的置置的的置置信信度度為為m mm m 信區(qū)間信區(qū)間.11)2(21212/ nnSnntYXw .,2)1()1( 2212222112wwwSSnnSnSnS 其其中中解解 2221的的置置信信區(qū)區(qū)間間兩兩個個總總體體方方差差比比 2.22222121 SS ),1, 1(21 nnF . , 21為未知的情況為未知

27、的情況僅討論總體均值僅討論總體均值m mm m22111/212/2122222(1,1)(1,1) =1- SP FnnFnnS 1 2221的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的一一個個置置信信度度為為于于是是得得 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 例例9 研究由機器研究由機器 A 和機器和機器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑, 隨隨機抽取機器機抽取機器 A 生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 18 只只, 測得樣本方差為測得樣本方差為均未知均未知, 求方差比求方差比 .900 的置的置的置信度為的置信度為區(qū)間區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨設(shè)兩樣本相互獨);mm(34.

28、 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取機器抽取機器B生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 13 只只, 測測得樣本方差為得樣本方差為立立,且設(shè)由機器且設(shè)由機器 A 和機器和機器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布從正態(tài)分布),(),(222211 m m m mNN)2 , 1(,2 iii m m2221 信信解解 見見P167例五！例五！標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z01234567890.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570

29、.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190

30、.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720

31、.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170

32、.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z0123456781.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.9966

33、0.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.9599

34、0.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.9887

35、0.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z0123456781.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.998

36、10.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.973

37、80.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.993

38、20.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00002.326附表2-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.

39、81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.718