含絕對值的不等式和一元二次不等式

1、1第 一 章第 一 章集 合 與 簡 易 邏 輯集 合 與 簡 易 邏 輯21.3 1.3 含絕對值的不等式含絕對值的不等式 和一元二次不等式和一元二次不等式第二課時第二課時題型題型4 二次不等式、分式不等式的解法二次不等式、分式不等式的解法 1. 解不等式組解不等式組.x-xx-x21308623 解：解：由由x2-6x+80，得，得(x-2)(x-4)0， 所以所以x2或或x4. 由由 得得 所以所以1x5. 所以原不等式組的解集是所以原不等式組的解集是(1，2)(4，5). 點(diǎn)評：點(diǎn)評：解一元二次不等式，一般先化解一元二次不等式，一般先化二次項(xiàng)系數(shù)為正，然后解得其對應(yīng)的一元二二次項(xiàng)系數(shù)為

2、正，然后解得其對應(yīng)的一元二次方程的兩個根，再由此寫出不等式的解集；次方程的兩個根，再由此寫出不等式的解集；分式不等式，一般是先通分，然后對分子分分式不等式，一般是先通分，然后對分子分母分解因式，再根據(jù)實(shí)數(shù)乘除的符號法則化母分解因式，再根據(jù)實(shí)數(shù)乘除的符號法則化為一元二次不等式進(jìn)行求解為一元二次不等式進(jìn)行求解. ,x-x213,x-x-0154 解不等式解不等式 解：解：原不等式可化為原不等式可化為即即 即即所以所以 其解用數(shù)軸表示如下：其解用數(shù)軸表示如下：所以不等式的解集是所以不等式的解集是(1， )(2，+). 拓展變式拓展變式.x-x-x-x-12232,x-)x-(1112112,x-x-

3、02111,)(x-(x-x-02132,)(x-)(x-(x-02123235 2. 解下列不等式：解下列不等式： (1)2x3-x2-15x0; (2)(x+4)(x+5)2(2-x)30. 解：解：(1)原不等式可化為原不等式可化為x(2x+5)(x-3)0， 把方程把方程x(2x+5)(x-3)=0的三個根的三個根x1=0,x2=-x3=3順次標(biāo)在數(shù)軸上順次標(biāo)在數(shù)軸上,然后從右上開始畫曲線然后從右上開始畫曲線順次經(jīng)過三個根順次經(jīng)過三個根,其解集為如圖所示的陰影部其解集為如圖所示的陰影部分分. 題型題型5 高次不等式的解法高次不等式的解法,256所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x

4、|- x0或或x3. (2)原不等式等價于原不等式等價于(x+4)(x+5)2(x-2)30 所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x|x-5或或-5x-4或或x2.2502405)(x-(xx.或x-x-x2457 點(diǎn)評：點(diǎn)評：解高次不等式的策略是降解高次不等式的策略是降次，降次的方法一是分解因式法，二次，降次的方法一是分解因式法，二是換元法是換元法.本題是利用分解因式，然后本題是利用分解因式，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的積的符號法則，結(jié)合數(shù)軸根據(jù)實(shí)數(shù)的積的符號法則，結(jié)合數(shù)軸標(biāo)根法得出不等式的解集標(biāo)根法得出不等式的解集.8 (原創(chuàng)原創(chuàng))解不等式解不等式 解：解：原不等式可化為原不等式可化為 即即 所以所

5、以(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)0且且x-3,x2， 用用“數(shù)軸標(biāo)根法數(shù)軸標(biāo)根法”畫草圖，畫草圖， 所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(-3，-1(2，4.拓展變式拓展變式.x-xx-16242,)(x(x-x-x032432,)(x(x-)(x-(x032419 3. 已知不等式已知不等式ax2+bx+c0的解集為的解集為x|1x3，求，求cx2+bx+a0的解集的解集. 解法解法1：注意到一元二次不等式的解集與注意到一元二次不等式的解集與相應(yīng)二次方程的根之間的關(guān)系，可以知道相應(yīng)二次方程的根之間的關(guān)系，可以知道ax2+bx+c=0的兩個根為的兩個根為1，3，即原不等式與，即原

6、不等式與(x-1)(x-3)0同解同解. 即即x2-4x+30與與-ax2-bx-c0同解，同解， 因此因此題型題型6 含參數(shù)的一元二次不等式的解法含參數(shù)的一元二次不等式的解法,k-c-b-a034110 這樣目標(biāo)不等式這樣目標(biāo)不等式cx2+bx+a0可變成可變成3x2-4x+10，而方程，而方程3x2-4x+1=0的根為的根為 ，1， 因此所求不等式的解集為因此所求不等式的解集為x|x 或或x1. 解法解法2：由由ax2+bx+c0的解集為的解集為x|1x3,可知可知ax2+bx+c=0的兩個實(shí)根為的兩個實(shí)根為1,3,且且a0， 根據(jù)韋達(dá)定理有根據(jù)韋達(dá)定理有 因?yàn)橐驗(yàn)閍0，不等式，不等式cx

7、2+bx+a0可變成可變成 即即3x2-4x+10， 解得解得x 或或x1， 故原不等式的解集為故原不等式的解集為x|x 或或x1.3131,ac,ab-34,xabxac012313111 點(diǎn)評：點(diǎn)評：一元二次不等式與一元二一元二次不等式與一元二次方程有著千絲萬縷的關(guān)系，如一元次方程有著千絲萬縷的關(guān)系，如一元二次不等式解集的邊界值等于其對應(yīng)二次不等式解集的邊界值等于其對應(yīng)的一元二次方程的兩根，而方程的根的一元二次方程的兩根，而方程的根又與系數(shù)有著聯(lián)系，因此不等式的邊又與系數(shù)有著聯(lián)系，因此不等式的邊界值與系數(shù)也就聯(lián)系起來了界值與系數(shù)也就聯(lián)系起來了. .不同的不同的是要注意一元二次不等式最高次項(xiàng)

8、的是要注意一元二次不等式最高次項(xiàng)的符號符號. .12 已知已知a0，因?yàn)橐驗(yàn)閍0 -2x0；(2)當(dāng)當(dāng)0a1時時,原不等式原不等式因?yàn)橐驗(yàn)?2-a ，所以，所以-2x ；拓展變式拓展變式.x-x-aaaxx02220222x-x-aaaxx,a)(xa)(x-(x012a1a113 (3)當(dāng)當(dāng)a0時時,原不等式原不等式若若- a0時時,原不等式原不等式-2x-a或或x ；若若a=- 時時,原不等式原不等式x 且且x-2；若若a- 時時,原不等式原不等式 x-a或或x-2,綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)0a1時時,解集是解集是x|-2x ；當(dāng)當(dāng)a=0時，解集是時，解集是x|-2x0；當(dāng)當(dāng)- a0時，解集是時，

9、解集是x|-2x-a或或x ；當(dāng)當(dāng)a=- 時，解集是時，解集是x|x 且且x-2；當(dāng)當(dāng)a- 時，解集是時，解集是x| x-a或或x-2.,a)(xa)(x-(x01221a12121a1212121212121a1a114 不等式不等式(m-2)x2+2(m-2)x-40對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍的取值范圍. 解：解：若若m=2，不等式可化為，不等式可化為-40，這，這個不等式與個不等式與x無關(guān)，即對一切無關(guān)，即對一切xR都成立都成立. 若若m2，這是一個一元二次不等式，這是一個一元二次不等式. 由 于 解 集 為由 于 解 集 為 R ， 故 知 拋 物

10、線， 故 知 拋 物 線 y = ( m -2)x2+2(m-2)x-4的開口向下，且與的開口向下，且與x軸無交點(diǎn)，軸無交點(diǎn)，必有必有 即即參考題參考題,m-002,)(-(m-)(m-m-042424022解得解得-2m2.綜上，綜上，m的取值范圍是的取值范圍是m|-2m2.15 1. 含參數(shù)的二次不等式可從二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的二次不等式可從二次項(xiàng)系數(shù)與與0的大??；判別式與的大??；判別式與0的大??；一元二次的大小；一元二次方程的根這三個方面進(jìn)行分層討論方程的根這三個方面進(jìn)行分層討論. 2. 一元一元n (n2，nN)次不等式及分式不等次不等式及分式不等式的求解問題也可采用標(biāo)根分區(qū)間法求解式的求

11、解問題也可采用標(biāo)根分區(qū)間法求解. 其步驟是：其步驟是： (1)將多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)將多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù); (2)將多項(xiàng)式分解為若干個一次因式的積；將多項(xiàng)式分解為若干個一次因式的積；16 (3)將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線； (4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的多項(xiàng)式值的符號根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的多項(xiàng)式值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集變化規(guī)律，寫出不等式的解集. 一般地，一元一般地，一元n次不等式次不等式: (x-a1)(x-a2)(x-an)0 (x-a1)(x-a2)(x-an)0 其中其中a1a2a3an，把，把a(bǔ)1，a2，an按大小順序標(biāo)在數(shù)軸上，則不等按