期中復(fù)習(xí) 1微分方程解析幾何

1、微分方程的形式是的形式是的一個特解的一個特解 yeyyyx4168 . 1xeAxyA42 )( xexyB42 )( xAxeyC4 )( xeBxAyD4)( )( 04016822 )( , rr特征方程特征方程,二重根二重根4 r.xeAxy42 )(A當(dāng)當(dāng) 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 時時,可設(shè)可設(shè)特解特解)2, 1, 0()(* kexQxyxmk )(xfyqypy )(xPemx 為實數(shù)為實數(shù) ,Bxeyyy22 *yxxee 23xxee 32xxee 23xxee 23 3、方程方程的一個特解的一個特解 (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (

2、D) =( A )xyysin xAsinxAcosxBxAcossin )cossin(xBxAx 4 4、微分方程微分方程的一個特解應(yīng)具有形式的一個特解應(yīng)具有形式(A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) （ D ） xxPxxPenlx sin)(cos)()2()1( yqypy ),(為為常常數(shù)數(shù)qp xRxRexymmxk sincos*)2()1( 則可設(shè)特解則可設(shè)特解:其中其中 為特征方程的為特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), i lnm,max .34. 53的通解的通解求微分方程求微分方程xeyyy 特征方程特征方程3, 1 , 0342

3、 rrrr,321xxeCeCY xAxey3 ,3 設(shè)設(shè)是單根是單根 , 0 , ,)( QAQAxxQ代入下式代入下式1)()2(2 QqpQpQ ,21 , 12 AA,213xxey .213321xxxxeeCeCy 6.求求.6522的通解的通解xxeydxdydxyd xxxexeCeCy)1447121(3221 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是單單根根，1 ,*xaxey 設(shè)設(shè),*xxaxeaey ,2*xxaxeaey :代入原方程化簡得代入原方程化簡得3 a,3*xxey :原方

4、程的通解為原方程的通解為xxxxeeCeCy3221 3691xyyyxe2690rr123.rr312xYeCC x 21xf xex xmPx e22xyeAxB222xyeAxBA2444xyeAxBA21AxBAx1,3AB23xyex32123xxycc x exe8 8、求微分方程、求微分方程解：特征方程為：解：特征方程為：，特征根為：，特征根為：所以對應(yīng)的齊次方程的通解為：所以對應(yīng)的齊次方程的通解為：又因為又因為是是型，型，不是特征方程的根，故令不是特征方程的根，故令為非齊次方程的一個特解，為非齊次方程的一個特解，7 7分分代入原方程得：代入原方程得：。比較系數(shù)得：。比較系數(shù)得：

5、，故，故因此原方程的通解為：因此原方程的通解為：1010分分的通解（的通解（1010分）分）2分分3分分則則?xeyyy323 . 0232 rr2, 1 rrxxeCeCY221* xAxey xexAy)1( xexAy)2( 3 AxxxxeeCeCY3221 9. 9. 求方程求方程的通解的通解. .（1010分）分）則則對應(yīng)齊次方程的通解為：對應(yīng)齊次方程的通解為：非齊次方程的特解可設(shè)為：非齊次方程的特解可設(shè)為：，則，則代入原方程得：代入原方程得：所以原方程的通解為：所以原方程的通解為：.2.2分分解：特征方程為：解：特征方程為：.3分分.2分分.3分分xyy 21212yC xC10

6、. 10. 方程方程的通解為的通解為xeyyy 202 yyy0122 rr1 rxexCCY)(21 xeAxy2* 21 AxxexexCCY22121)( 7.7.求微分方程求微分方程的通解。的通解。2 2分分設(shè)設(shè)2 2分分 1 1分分 解：解：xxeyyy 32 32, 1023212 rrrrxxeCeCY221 xeBAxxy )(*, 1為特征單實根為特征單實根 3,23: BA代代入入原原方方程程得得xxxexxeCeCy )323(22111.11.（1010分）求微分方程分）求微分方程的通解。的通解。對應(yīng)齊次方程的通解為：對應(yīng)齊次方程的通解為：又又.6.6分分 .9.9分分

7、通解為：通解為：.10.10分分解：解：.4分分2442xyyye22212()xxyCC x ex e1111、求方程、求方程的通解的通解. .xxeyyy 4 5xxxexxeCeCy )9161(4211 1、（、（1010分）求微分方程分）求微分方程的通解。的通解。xeyyy 34xxxxeeCeCy21321 1212、( (本小題本小題1010分分) )求微分方程求微分方程00 xxx(x)et (t )dtx(t )dt解：解：兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得0 xx(x)e(t )dt兩邊再求導(dǎo)得兩邊再求導(dǎo)得x(x)( x )e0101(),().且且ri 特征值為特征值為xae將代入方程

8、得將代入方程得12xe1212x(x) c cosx c sinxe11110122( ) cc 22110122( ) cc 12x(x)(cosxsinxe )向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何,zyxzyxbbbbaaaa 0 zzyyxxbabababa/ ba)0( ba 0ba1 1、設(shè)、設(shè) 均為非零向量，且均為非零向量，且, ,則則 (B) (B) (C) (C) (D) (D) （ B B ） (A) 5, 8, 5 baba ),(ba)54arccos( 54arccos 53arcsin 43arctan 2.2.設(shè)設(shè)，則，則= =或或或或 或或AB3 AB3c

9、os AB3sin AB3cos| AB3sin| AB3 3設(shè)設(shè) 與與u u軸的夾角為軸的夾角為, ,則則 在在u u軸上的投影是軸上的投影是 (B) (B) (C) (C) (D) (D) (A) _C_)2 , 0 , 1(),1 , 2, 3(21 MM0)1()2(2)3(4 zyx112243 zyx12241 zyx112243 zyx4. 4. 過點過點的直線方程是的直線方程是 (B) (B) (C) (D) _D_(A) 003zyxzyx01 zyx060000300905. 5. 直線直線和平面和平面間的夾角是間的夾角是 (A) (A) (B) (B) (C) (C) (

10、D) (D) _B_)3 , 2 , 1(A)4 , 1, 3( B 1 , 3, 2 ABnAB27,21, 2000 zyx027)21(3)2(2 zyx0632 zyx6.6.平面平分兩點平面平分兩點和和間的直線段且和它垂直，求此平面方程。間的直線段且和它垂直，求此平面方程。為所求平面的法向量為所求平面的法向量2 2分分直線段的中點直線段的中點M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為故所求平面方程故所求平面方程 6 6分分 4分分或或032 Dzyx14362214D 81 D62 D81 D62 D0632 zyx設(shè)所求平面為設(shè)所求平面為 3 3分分則點則點A A到所求平面的距離為到所求平面的距離為

11、4 4分分解得解得 但但不符（舍去），不符（舍去），故所求平面為故所求平面為 6 6分分解法二：解法二：141)3(222 AB1分分符合。符合。 5分分 7125ztytx0 , 1 , 2 0)3(0)5()2(2 xyx012 yx7.7.求過點（求過點（2 2，5 5，-3-3）且與直線）且與直線垂直的平面方程垂直的平面方程. .平面方程平面方程化得化得 .1.1分分平面的法向量平面的法向量.2分分.2分分 532， 314 ，21)1()1()3(222 xxx8 8、已知球面的一直徑的兩個端點為、已知球面的一直徑的兩個端點為和和，則該球面的方程為，則該球面的方程為_33421 zy

12、x05342 zyx9 9、過點過點(1,-1, 1)(1,-1, 1)且與直線且與直線垂直的平面方程為垂直的平面方程為_ _ 2yz z22yxz 1010繞繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為： 8 , 6 , 3 ay 3, 0 , 8731 1111、同時垂直于向量、同時垂直于向量和和軸的單位向量是：軸的單位向量是： 0 zxyzoxyyzox1212、平面平面的位置是的位置是( )( )。軸且與軸且與面垂直；面垂直；軸；軸；軸且與軸且與面相交；面相交； (A) 過過(B) (B) 垂直于垂直于(C) (C) 平行于平行于(D) 平行于平行于zox A 222222

13、1xyzabc2222221xyzabc2222xyzab2222xyzab1313、下列表示雙葉雙曲面的是、下列表示雙葉雙曲面的是( )( )。(A)(A)(B) (C) (D) BajbabPr,2, 1 , 2,4 , 3 , 0則則 0 DCzBx0, DCB1414、已知二向量已知二向量（ ） (A)(A) 5/35/3(B)(B) -1/3-1/3(C)-5/3(C)-5/3(D) 1/3(D) 1/31515、設(shè)平面方程為、設(shè)平面方程為, ,且且則平面（則平面（ ） (A) (A) 平行于平行于x x軸軸 (B) (B) 平行于平行于y y軸軸 (C) (C) 經(jīng)過經(jīng)過y y軸軸

14、 (D) (D) 垂直于垂直于y y軸軸C B1 zx122 zyx1222 yxz222)1(yxz 222)1(zyx 37423zyx 3224 zyx 1616zoxzox坐標(biāo)面上的直線坐標(biāo)面上的直線繞繞ozoz軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐面的方程是軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐面的方程是 ( )( ) (A) (A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) 1717直線直線L L：與平面與平面：的關(guān)系是的關(guān)系是 ( )( )（A A）平行）平行 （B B）垂直相交）垂直相交上上 （D D）相交但不垂直）相交但不垂直（C）L在在AC22yxz 1 zy0122 yyx1 1拋物面拋物面與平面與平面的交線

15、在的交線在xoyxoy面上的投影曲線方程是面上的投影曲線方程是 0923042zyxzyx 0923042zyxzyx1113 011737311714zyxzyx2 2 求直線求直線在平面在平面4x y z 1上的上的的平面束方程為的平面束方程為 (2 3 )x ( 4 )y (1 2 )z 9 0 3 3分分為在平面束中找出與已知平面垂直的平面為在平面束中找出與已知平面垂直的平面 令令(4 (4 1 1 1) 1) (2(2 3 3 4 4 1 1 2 2 ) ) 0 0 即即 4 4 (2(2 3 3 ) ) ( ( 1)1) ( ( 4 4) ) 1 1 (1(1 2 2 ) ) 0 0 解之得解之得代入平面束方程中代入平面束方程中 17 17x x 3131y y 3737z z 117117 0 07 7分分故投影直線的方程為故投影直線的方程為. . 9 9分分投影直線的方程投影直線的方程 （9 9分）分） 解解 過直線過直線解解. 0, 0,1002 xxyyyy求解方程求解方程, x此方程不顯含此方程不顯含. y也不顯含也不顯含,),(dxdpyxpy 則則令令得得代入方程代入方程, 12 pdxdp.12pdxdp 即即由初始條件由初始條件00 xy012 p知知dxpdp 21111ln21Cxpp 由初始條件由初始