復(fù)變函數(shù)報告

1、復(fù)變函數(shù)報告一些復(fù)數(shù)運算的一些復(fù)數(shù)運算的MATLABMATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)內(nèi)容提要內(nèi)容提要:復(fù)變函數(shù)中的很多運算都能在MATLAB中進(jìn)行，而且變得非常簡單，只需要調(diào)用相應(yīng)的函數(shù)或者編寫程序代碼。這里將選取復(fù)變函數(shù)中一些常用的運算：模、輻角、冪次、方根、留數(shù)、簡單積分計算等介紹其在MATLAB中的計算方法。同時，選取了課本上的一些例題習(xí)題進(jìn)行求解展示。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞 MATLAB 復(fù)數(shù)基本運算 留數(shù) 積分運算0 MATLAB簡介 MATLAB（矩陣實驗室）是MATrix LABoratory的縮寫，是一款由美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件。MATLAB是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)

2、分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境。MATLAB的功能十分強大，其自帶的各種工具箱能夠解決很多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題，因此應(yīng)用非常廣泛。1 復(fù)數(shù)的生成復(fù)數(shù)的輸入復(fù)數(shù)的輸入在MATLAB中，復(fù)數(shù)的單位為i和j，即：i = j = 在命令窗口中其值顯示為: 0 + 1.0000i產(chǎn)生復(fù)數(shù)的方法有兩種：產(chǎn)生復(fù)數(shù)的方法有兩種：1. 由z = x + y*i產(chǎn)生，可簡寫成z = x + y i ；2. 由 產(chǎn)生，可簡寫成 ，其中r為復(fù)數(shù)z的模， 為復(fù)數(shù)z輻角的弧度值。1)exp(irz)exp( irz2 復(fù)數(shù)的運算2.1 復(fù)數(shù)的實部與虛部復(fù)數(shù)的實部與虛部復(fù)數(shù)的實部和虛部用命令real和imag提取

3、。格式：real (z) %返回復(fù)數(shù)z的實部 imag (z) %返回復(fù)數(shù)z的虛部2.2 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)由命令conj實現(xiàn)。格式：conj (z) %返回復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)2.3 復(fù)數(shù)的模和輻角復(fù)數(shù)的模和輻角求復(fù)數(shù)的模和輻角由函數(shù)abs和angle實現(xiàn)。格式：abs (z) %返回復(fù)數(shù)z的模 angle (z) %返回復(fù)數(shù)z的輻角例1 求下列復(fù)數(shù)的實部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模、輻角。（1） （2） （3） （4）解：可以使用相應(yīng)的函數(shù)指令逐個對上面各題進(jìn)行求解。更方便地，將上述4個復(fù)數(shù)組成復(fù)矩陣一并處理。在MATLAB編輯器中建立M文件Example1.m：format rat %有

4、理數(shù)表示Z=1/(1+5i),3/i+i/(4-i),(1+3i)*(9-4i)/2i,4*i17-i7+iReal=real(Z) %求實部Imag=imag(Z) %求虛部Conj=conj(Z) %求共軛復(fù)數(shù)Abs=abs(Z) %求模theta=angle(Z) %求輻角i 511iii43iii6)49)(31 (iii51742.4 復(fù)數(shù)的乘除法復(fù)數(shù)的乘除法運算符：* %乘法：模相乘，輻角相加 / %除法：模相除，輻角相減例2【課本習(xí)題】（P10，12）(a) (b)解：在MATLAB編輯器中建立M文件Example2.m：clcformat rat %有理數(shù)表示a=-2i*(3+

5、i)*(2+4i)*(1+i)b=(3+4i)*(-1+2i)/(-1-i)*(3-i)Conjugate=conj(a,b) %求共軛復(fù)數(shù)i)+4i)(1+i)(2+2i(3-)3)(1()21)(43(iiii運行結(jié)果為：a = 32+24i b = 2-3/2i Conjugate = 32-24i 2+3/2i 注意：注意：3/2i = 3/(2*i)，而3/2i3/2*i = (3/2)*i2.5 復(fù)數(shù)的平方根復(fù)數(shù)的平方根函數(shù)：sqrt 格式：sqrt (z) %返回復(fù)數(shù)z的平方根值2.6 復(fù)數(shù)的冪運算復(fù)數(shù)的冪運算運算符： 格式： zn %返回復(fù)數(shù)z的n次冪例3【課本習(xí)題】（P13，

6、41）（i） （j）解：在MATLAB編輯器中建立M文Example3.m：clcz1=(-16)(1/4)z2=(-8-8*sqrt(3)*i)(1/4)%matlab求解時只能給出n=0的值運行結(jié)果為：z1 = 1393/985+ 1393/985i %取n= 0之值z2 = 1351/780-1i %取n = 0之值4/1)16(4/1) i 388(2.7 復(fù)數(shù)的指數(shù)運算和對數(shù)運算復(fù)數(shù)的指數(shù)運算和對數(shù)運算函數(shù)：exp 指數(shù)運算 log 對數(shù)運算格式：exp (z) %返回復(fù)數(shù)z的以e為底的指數(shù)函數(shù)值 log (z) %返回復(fù)數(shù)z的以e為底的對數(shù)函數(shù)值2.8 復(fù)數(shù)方程求根復(fù)數(shù)方程求根函數(shù)

7、：solve格式：solve (f (x) = 0) %求方程f (x) = 0的根例4【課本習(xí)題】（P40，1）（a） （b） （c）解：在MATLAB編輯器中建立M文件Example4.m：clcformat rat %有理數(shù)表示A=solve(exp(z)=-2)B=solve(exp(z)=1+sqrt(3)*i)C=solve(exp(2*z-1)=1)%matlab求解時只能給出n=0的值2zei 31ze11z2e運行結(jié)果為：A = log(2) + pi*i %取n = 0之值B = log(1 + 3(1/2)*i) %取n = 0之值C = 1/2 %取n = 0之值2.9

8、 復(fù)數(shù)的三角函數(shù)運算復(fù)數(shù)的三角函數(shù)運算 復(fù)數(shù)三角函數(shù)的形式和調(diào)用方式與實數(shù)一致，函數(shù)返回復(fù)數(shù)z的函數(shù)值。3 Taylor級數(shù)展開 Taylor級數(shù)展開在復(fù)變函數(shù)中有很重要的地位，如分析復(fù)變函數(shù)的解析性等。函數(shù)：taylor %Taylor級數(shù)展開格式：taylor (f) %返回f函數(shù)的5次冪多項式近似 taylor (f, n) %返回n-1次冪多項式近似 taylor (f, a) %返回a點附近的冪多項式近似 taylor (f, x) %對f中的變量x展開；若不含x，則對變量x = findsym (f)展開。例5 【課本例題】（P88，6,8）（1） ，z0 = 0；（2）1/(1-

9、z)，z0 = 0解：在MATLAB編輯器中建立M文件Example5.m：clcsyms zE6=taylor(exp(z),0) %返回函數(shù)的5次冪多項式近似值E8=taylor(1/(1-z),0) %返回函數(shù)的5次冪多項式近似值ze運行結(jié)果為：ans = z5/120 + z4/24 + z3/6 + z2/2 + z + 1ans = z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1注意：taylor展開運算實質(zhì)上是符號運算，因此在MATLAB中執(zhí)行此命令前應(yīng)先定義符號變量syms z，否則MATLAB將給出出錯信息！4 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分4.1 留數(shù)計算留數(shù)計算在MAT

10、LAB中，留數(shù)可由函數(shù)residue實現(xiàn)。函數(shù)：residue %留數(shù)函數(shù)（部分分式展開）格式：R, P, K = residue (B, A)說明： 向量B為f (z)的分子系數(shù)；（以降冪排列） 向量A為f (z)的分母系數(shù)；（以降冪排列） 向量R為留數(shù)； 向量P為極點；極點的數(shù)目n = length (A)-1=length (R) = length (P)。 向量K為直接項注意注意：MATLAB函數(shù)只能解決有理分式的留數(shù)問題。例6 【課本習(xí)題】（P128，3）求下列函數(shù)在z=1處的留數(shù)（a） （b） 解：在MATLAB編輯器中編輯M文件Example6.m：clcsyms zformat

11、 rat A1=sym2poly(z2-1)*(z+2); %以降冪排列方式提?。╝）中分母系數(shù)B1=1;A2=sym2poly(z4-1)2); %以降冪排列方式提?。╞）中分母系數(shù)B2=sym2poly(z3-1)*(z+2); %以降冪排列方式提取（b）中分子系數(shù)r1,p1,k1=residue(B1,A1) %求（a）的留數(shù)r2,p2,k2=residue(B2,A2) %求（b）的留數(shù))2)(1(12zz243) 1()2)(1(zzz p2 = -0.0000 + 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -0.0000 - 1.000

12、0i -1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 k2 = 運行結(jié)果為：r1 = 1/3 1/6 -1/2 p1 = -2 1 -1 k1 = r2 = -1/8+7/16i 1/16+3/16i -1/8-7/16i 1/16-3/16i -5/16 -1/8 9/16 -1/14411518807585564 4.2 沿閉合圍線積分沿閉合圍線積分閉合圍線積分利用留數(shù)定理來計算。留數(shù)定理：留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1，z2，z n外處處解析，C為D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則nkkCzzfsidzzf1),(Re2)(例7 【課本例題】（P

13、122，例8）解：在MATLAB編輯器中建立M文件Example7.m：clc syms zA=sym2poly(z2+1)2*(z4+2)3); %以降冪排列方式提取分母系數(shù)B=sym2poly(z15); %以降冪排列方式提取分子系數(shù)r,p,k=residue(B,A) %求被積函數(shù)的留數(shù)I=2*pi*i*sum(r) %利用留數(shù)定理計算積分值4z, dz)2z() 1z(zC342215p = -1501/1785 + 1501/1785i -1501/1785 + 1501/1785i -1501/1785 + 1501/1785i -1501/1785 - 1501/1785i -1

14、501/1785 - 1501/1785i -1501/1785 - 1501/1785i 1501/1785 + 1501/1785i 1501/1785 + 1501/1785i 1501/1785 + 1501/1785i 1501/1785 - 1501/1785i 1501/1785 - 1501/1785i 1501/1785 - 1501/1785i 1/10876617967989122 + 1i 1/10876617967989122 + 1i 1/10876617967989122 - 1i 1/10876617967989122 - 1i 運行結(jié)果為：r = 11/54

15、- 585/3574i 108/5207 + 807/8266i -1/72 - 184/37471i 11/54 + 585/3574i 108/5207 - 807/8266i -1/72 + 184/37471i 11/54 + 585/3574i -108/5207 + 807/8266i -1/72 + 184/37471i 11/54 - 585/3574i -108/5207 - 807/8266i -1/72 - 184/37471i 5/54 + 1/3145914337211900i -1/38509073187710736 + 1/108i 5/54 - 1/314591

16、4337211900i -1/38509073187710736 - 1/108i I = -0.0000 + 5.9341i注意：注意：本題的準(zhǔn)確解為2i,計算機運算時由于多次截取近似值使得結(jié)果有一定的偏差例8 【課本習(xí)題】（P128，5）（a） （b） （c）解：在MATLAB編輯器中建立M文件Example8.m：clcsyms zA1=-1,0,0,1; %(a)式分母系數(shù)B1=1,0,0,0,0,0; %(a)式分子系數(shù)A2=1,0,1; %(b)式分母系數(shù)B2=1; %(b)式分子系數(shù)A3=1,0; %(c)式分母系數(shù)B3=1; %(c)式分子系數(shù)35z1z2z11z1r1,p1,k1=residue(B1,A1); %求被積函數(shù)的留數(shù)r1=r1(find(abs(p1)2); %選取在圍線內(nèi)部的奇點對應(yīng)的留數(shù)I1=2*pi*i*sum(r1) %利用留數(shù)定理計算積分值r2,p2,k2=residue(B2,A2); %求被積函數(shù)的留數(shù)r2=r2(find(abs(p2)2); %選取在圍線內(nèi)部的奇點對應(yīng)的留數(shù)I2=2*pi*i*sum(r2) %