初等幾何 第三章 快捷準(zhǔn)確的幾何計(jì)算

1、第三章第三章 快捷準(zhǔn)確的幾何計(jì)算快捷準(zhǔn)確的幾何計(jì)算 幾何計(jì)算，是幾何學(xué)中的重要內(nèi)容；幾何計(jì)算題，是幾何問題的重要組成部分.不僅在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有大量的幾何計(jì)算需要研究解決，而且在每年全國各省市的中考試題和部份省市的高考試題中，都有相當(dāng)數(shù)量的幾何計(jì)算題.在這些試題中，既有基礎(chǔ)題，又有綜合題或壓軸題.因此熟悉幾何計(jì)算的理論根據(jù)，掌握幾何計(jì)算的思想方法極為重要，它是快捷準(zhǔn)確進(jìn)行幾何計(jì)算的基礎(chǔ). 本章內(nèi)容將在初中平面幾何的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步闡述有關(guān)度量理論，以及各種幾何量的計(jì)算方法3.1 幾何計(jì)算中常用的定理與公式幾何計(jì)算中常用的定理與公式 為簡便起見，我們先約定三角形中一些常用符號： 在ABC中

2、，內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別記為a、b、c，半周長記為p，三條中線記為ma，mb ，mc，三條高線記為ha，hb，hc，三內(nèi)角平分線記為ta，tb，tc，ABC的外接圓半徑記為R，內(nèi)切圓半徑記為r，面積記為S.3.1.1幾何計(jì)算中的常用定理幾何計(jì)算中的常用定理 定理定理1 （托勒密（托勒密（Ptolemy）定理）定理）圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和. 注注 本定理的證明過程給解決形如ab=cd+ef的問題提供了一個范例用類似的證法，可得到： 廣義廣義Ptolemy定理定理：對于一般的四邊形ABCD，有ABCD+ADBCACBD當(dāng)且僅當(dāng)ABCD是圓內(nèi)接四邊形時等號成立例1 (美國)

3、證明：從圓周上一點(diǎn)到圓內(nèi)接正方形的四個頂點(diǎn)的距離不可能都是有理數(shù) 思考：思考： 求證：銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和 若ABC為直角三角形或鈍角三角形，上面的結(jié)論成立嗎？ 注注 ： （1）Menelaus定理的逆命題為真，是Menelaus定理的逆定理； （2）本定理可以推廣到平面凸四邊形、四面體乃至n維歐氏空間中； （3）恰當(dāng)選取或作出三角形的截線，是應(yīng)用Menelaus定理的關(guān)鍵，其逆定理常用于證明三點(diǎn)共線問題.例例2 設(shè)四邊形ABCD兩組對邊相交于E、F，則AC、BD、EF的中點(diǎn)共線。 注注:此結(jié)論是一個定理，叫牛頓定理。此結(jié)論是一個定理，叫牛頓定理。 注：

4、注： （1）Ceva定理的逆命題為真，是Ceva定理的逆定理； （2）Ceva定理可以推廣到四面體中； （3）同時應(yīng)用Menelaus定理和Ceva定理，是解決比較復(fù)雜的相關(guān)問題的有效途徑.例例3 以ABC的三邊為邊向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，設(shè)L、M、N分別為DE、FG、HK的中點(diǎn)求證：AM、BN、CL交于一點(diǎn)思考：思考： 在ABC中，ABC和ACB均是銳角，D是BC邊上的內(nèi)點(diǎn)，且AD平分BAC，過點(diǎn)D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交于點(diǎn)K求證：AKBC；定理定理4 （斯特瓦爾特（Stewart）定理）已知ABC及BC邊上一點(diǎn)P

5、. 求證:AB2PC+AC2BP-AP2BC=BPPCBC. 注注: （1）定理的逆命題為真，是斯特瓦爾特定理的逆定理. （2）若將BC邊上的三線段看作有向線段，則不論P(yáng)在直線BC上何處，此定理仍然成立. （3）由本定理易得如下推論：（4）斯特瓦爾特定理可以推廣到四面體中.定理定理5 （切割線定理）（切割線定理）從圓外一點(diǎn)P引圓的切線,切線長PA是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)C、D的兩條線段長的比例中項(xiàng).即PA2 PCPD.推論推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等. 即PAPBPCPD .PBACDPACD定理定理6 （射影定理）（射影定理）1.直角三角形射影定理

6、直角三角形射影定理（又叫歐幾里德定理）直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).2.任意三角形中的射影定理任意三角形中的射影定理(又稱第一余弦定理)設(shè)ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有（4）ab cosCc cosB；（5）bc cosAa cosC；（6）cb cosAa cosB.定理定理7 （張角定理）（張角定理）如圖，設(shè)P 為ABC的BC邊上的點(diǎn)，AB、AC、AP的長分別為a、b、t，則sin()sinsintba例例4 (蝴蝶定理蝴蝶定理)AB是 O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M

7、，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=MQ定理定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線，且外心與重心的距離等于重心與垂心距離的一半例5 設(shè)A1A2A3A4為 O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求證：H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置定理定理9 （三角形內(nèi)心性質(zhì)定理三角形內(nèi)心性質(zhì)定理）如圖，設(shè)I為ABC的內(nèi)心，A的平分線與ABC的外接圓交于點(diǎn)P，則PB=PC=PI例6 (Euler定理)設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2-2Rr3.1.

8、2 幾何計(jì)算中的常用公式幾何計(jì)算中的常用公式 1. 已知三邊求中線已知三邊求中線 定理定理10 三角形中銳（鈍）角對邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去（加上）這兩邊中一邊與另一邊在它上面的射影之積的兩倍（這兩個定理合起來相當(dāng)于余弦定理） 由此，我們可以得到三角形中線的常用公式：22212()2ambca2. 已知三邊求高和面積已知三邊求高和面積 實(shí)際上，這個計(jì)算三角形面積的公式是我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶三斜求積公式（已知三邊求三角形的面積）的變形. 推廣：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，2()()()ahp papbpca1()()()2aSahp papbpc()()()()Spapbpcpd3. 已知

9、三邊求外接圓半徑已知三邊求外接圓半徑 4已知三邊求內(nèi)切圓半徑已知三邊求內(nèi)切圓半徑44()()()abcabcRSp papbpc()()().Spapbpcrpp5已知三邊求角平分線已知三邊求角平分線 6異面直線所成的角異面直線所成的角 設(shè)AB、CD為異面直線，則它們所成的角滿足2().atAVbcp pabc2222()()cos2ACBDADBCAB CD9擬柱體體積公式擬柱體體積公式 所有的頂點(diǎn)都在兩個稱為底的平行平面上的多面體，叫做擬柱體.兩底間的距離叫做高，與兩底平行且等距的截面稱為中截面.設(shè)擬柱體兩底面積為S和S1，中截面面積為M，高為h，則擬柱體的體積為:1(4)6hVSMS10

10、.球類體積球類體積210,2 .SSMR hR3224(040).63RRVR如果幾何體是球體，則作業(yè)：P86 1,3,4,8,143.2 面積方法與面積計(jì)算面積方法與面積計(jì)算 3.2.1 面積概念面積概念 所謂平面多邊形的面積面積，是指使每一多邊形跟滿足下列條件的一個量相對應(yīng)： （1）兩個全等的多邊形有相同的面積，不論它們在空間所占的位置為何；（不變性不變性） （2）兩多邊形P、P之和P的面積，等于P、P面積的和.（可加性可加性）3.2.2 面積計(jì)算面積計(jì)算 1. 幾個重要的結(jié)論幾個重要的結(jié)論 （1）如圖1，在ABC中，有 （2）如圖2，在梯形ABCD中，有S1=S2；S1S2= S3S4.

11、 （3）如圖3，四邊形DEFB是平行四邊形，則有S1=S2；S1S2= S3S4.12SBESCE圖2圖3圖1 A B D C E S 1 S 2 S 3 S 4 S 4 S 3 C S 2 S 1 E O D A C F B S 2 S 1 A B D2. 常用方法常用方法 （1） 直接計(jì)算法直接計(jì)算法 根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，選用有關(guān)面積公式直接進(jìn)行計(jì)算.它是最基本的方法，這種方法又叫公式法運(yùn)用這種方法，一般要用幾何知識進(jìn)行一些推理和論證，有時還涉及到代數(shù)和三角的運(yùn)算例例1 一個凸五邊形，以每相鄰三個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積都等于1，求這個五邊形的面積. F E D C B A （2）相對計(jì)算

12、法）相對計(jì)算法 不直接計(jì)算所求幾何圖形的面積，而是通過計(jì)算其它一些幾何圖形的面積，得到要求的面積這種方法叫做相對計(jì)算法相對計(jì)算法 例例2 （阿基米德問題鞋匠的刀） 過半圓ABC的直徑AC上一點(diǎn)D引AC的垂線交半圓于B，再分別以AD、DC為直徑作半圓AFD 和DHC.求證求證 SAFDHCB等于以BD為直徑的圓的面積. F 圖 2.36 H D C B A （3） 等積變換法等積變換法 將欲計(jì)算面積的圖形，變換為另外與之等積的圖形，再計(jì)算面積，叫做等積變換法 從現(xiàn)行初中教材看，等積變換主要根據(jù)“同底等高的兩個三角形等積”等定理例例3 已知E、F分別是平行四邊形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，EFB

13、D，SADF=5,求SABE. （4） 分割補(bǔ)法分割補(bǔ)法 它包括分割法、割補(bǔ)法和補(bǔ)充法三種基本方法 （5）定積分法）定積分法 當(dāng)平面圖形邊界曲線較復(fù)雜時，我們可以建立直角坐標(biāo)系，求出邊界曲線的方程，利用定積分來計(jì)算面積 一般地講，計(jì)算平面圖形的面積常把幾種方法結(jié)合起來使用舉例如下：例例4 設(shè)P、Q、R、S分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，AP、BQ、CR、DS圍成一個四邊形EFGH，試求四邊形EFGH與正方形ABCD的面積之比H3.2.3 面積方法面積方法 所謂面積方法，就是在處理一些數(shù)學(xué)問題時，以面積的有關(guān)知識為論證或計(jì)算的依據(jù)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而導(dǎo)出所求的量與其它相關(guān)的量之間的關(guān)系，使問題得以解決. 這里值得一提的是，有的平面幾何問題，雖然沒有直接涉及到面積，但若靈活地運(yùn)用面積知識去解答，往往會出奇制勝，事半功倍例例1 G是邊長為4的正方形ABCD邊上一點(diǎn)，矩形DEFG的邊EF經(jīng)過點(diǎn)A，已知GD=5，求FG.例例2 ABC面積為1，在其內(nèi)部或邊界上任取一點(diǎn)P，記P到三邊a，b，c的距離依次為x，y，z求ax+by+cz的值例例3 如圖，設(shè)P是ABC內(nèi)任一點(diǎn)，AD，BE，CF過點(diǎn)P且分別交邊BC，CA，AB于D，E，F(xiàn)求 .PDPEPFADBECF注注 本例的結(jié)論很重要，在處