二次函數(shù)專題知識點(diǎn)-?？?典型)題型-重難點(diǎn)題型(含詳細(xì)答案)

二次函數(shù)和基本性質(zhì)專題知識點(diǎn)+?？碱}型+重難點(diǎn)題型（含詳細(xì)答案）一、目錄一、目錄 1二、基礎(chǔ)知識點(diǎn) 21.二次函數(shù)的概念 22.二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì) 23.二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（a≠0）的性質(zhì) 4，用配方法求y=ax2+bx+c（a≠0） 65.二次函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié) 76.二次函數(shù)解析式的求法 77.二次函數(shù)圖像的平移 9三、重難點(diǎn)題型 111.由拋物線的位置確定系數(shù)的符號 112.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 133.運(yùn)用拋物線的對稱性解題 174.用二次函數(shù)解決最值問題 185.二次函數(shù)的圖像 206.二次函數(shù)與應(yīng)用問題 21

二、基礎(chǔ)知識點(diǎn)1.二次函數(shù)的概念形如y=ax2+bx+c（a≠注：=1\*GB3①a、b、c為常數(shù)，且a≠0，即二次項(xiàng)必須有，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以沒有=2\*GB3②二次函數(shù)為函數(shù)的一種，滿足函數(shù)的所有性質(zhì)。即在定義域內(nèi)，自變量x有且僅有唯一應(yīng)變量y與之對應(yīng)例1.下列各項(xiàng)中，y是x的二次函數(shù)的有：=1\*GB3①y=2x2-x+5；=2\*GB3②y=（m-1）x=3\*GB3③y=2x2+4x-m（m為常數(shù)）；=4\*GB3④y=2x答案：=1\*GB3①是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)不為0；=2\*GB3②不應(yīng)定，當(dāng)m=1時，二次項(xiàng)為0，則不是二次函數(shù)；=3\*GB3③是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)不為0；=4\*GB3④化簡得：－x－2，因此不是二次函數(shù)例2.已知y=（k+3）xk答案：因?yàn)閥=（k+所以k解得：k=22.二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)y=ax2（a≠0，b=0，c=0，即一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)皆為0=1\*GB3①圖形為拋物線形狀=2\*GB3②a>0，開口向上；a<0，開口向下=3\*GB3③過原點(diǎn)（頂點(diǎn)），為最大值或最小值（由a的正負(fù)決定）=4\*GB3④關(guān)于y軸對稱，即關(guān)于x=0對稱=5\*GB3⑤a越大，開口越小，即上升或下降越快注：關(guān)于y軸對稱的前提條件是：函數(shù)定義域關(guān)于y軸對稱例1.求等邊三角形面積S與邊長a的函數(shù)關(guān)系式。答案：由等邊三角形性質(zhì)可知S=1例2.根據(jù)拋物線y=ax2（a≠0（1）拋物線的開口向上，則a：（2）當(dāng)x＜0時，拋物線y值隨x的增大而減小，則a：（3）除頂點(diǎn)外，拋物線上的點(diǎn)都在x軸的下方，則a：（4）當(dāng)x＞0且a＜0時，則拋物線的y值隨x的增大而：答案：（1）因?yàn)閽佄锞€開口向上所以a＞0（2）因?yàn)楫?dāng)x＜0時，拋物線y值隨x的增大而減小所以拋物線開口向上所以a＞0（3）因?yàn)槌旤c(diǎn)外，拋物線上的點(diǎn)都在x軸的下方所以拋物線開口向下所以a＜0（4）因?yàn)閍＜0所以拋物線開口向下因?yàn)閤＞0所以y隨x的增大而減小例3.如圖所示的四個二次函數(shù)的圖像分別對應(yīng)：（1）y=ax2；（2）y=bx2；（3）y=cx2；（4）y=dx2，求a、b、答案：由y=ax2a與b＞0,且c與d＜0因?yàn)閍越大，開口越小所以a＞b，d＞c綜上得：a＞b＞c＞d3.二次函數(shù)y=a（x-h二次函數(shù)y=ax2+bx+c通過配方，可得y=a=1\*GB3①圖形為拋物線形狀=2\*GB3②a>0，開口向上；a<0，開口向下=3\*GB3③頂點(diǎn)為（h，k），為最值（最大值或最小值）=4\*GB3④關(guān)于x=h對稱=5\*GB3⑤a越大，開口越小當(dāng)h=0，k=0時，y=a（x-h）2+k關(guān)系：y=a（x-h）2+k通過特殊點(diǎn)（如頂點(diǎn)）平移，向左或右平移h，向上或下平移k。其中，“左加右減，上加下減”。無需記憶，通過畫圖，利用特殊點(diǎn)判斷。例1.已知y=－2（（1）拋物線y=－2（x+1）2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：，對稱軸方程是：（2）將二次函數(shù)y=-2x2的圖像向平移個單位，再向平移個單位，可得二次函數(shù)y=－2答案：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（－1，－3）對稱軸方程是：x=－1Y有最大值，為－3（2）向左平移1個單位，再向下平移3個單位例2.拋物線y=（x+3）2-2時由拋物線答案：向左平移3個單位，向下平移2個單位4，用配方法求y=axy=ax2+bx+c利用配方法，y=a（x+b2a）2=1\*GB3①圖形為拋物線形狀=2\*GB3②a>0，開口向上；a<0，開口向下=3\*GB3③頂點(diǎn)為（-b2a，4ac-b24a=4\*GB3④關(guān)于x=-b2a對稱=5\*GB3⑤a越大，開口越小例1.用配方法寫出下列拋物線的對稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)。（1）y=2x2（2）y=答案：（1）y=2x=2（x2-2x=2（x2-2x=2（所以拋物線的對稱軸方程為：x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－1）（2）y==-=-=-所以拋物線的對稱軸方程為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-75.二次函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié)=1\*GB3①圖形為拋物線形狀=2\*GB3②a>0，開口向上；a<0，開口向下=3\*GB3③a越大，開口越小y=axy=a（y=ax=4\*GB3④頂點(diǎn)（0,0）（h，k）（-b2a，=5\*GB3⑤對稱軸X=0X=hX=-b6.二次函數(shù)解析式的求法二次函數(shù)解析式的表示方法有：a.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠b.頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠c.兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2-（1）一般式求法：二次函數(shù)y=ax2練：拋物線過點(diǎn)（1,9）、（2,18）、（0,4）三點(diǎn)，求解析式（2）特殊形式及特殊點(diǎn) =1\*GB3①頂點(diǎn)為（h，k）用頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k。相當(dāng)于知道了兩個未知數(shù)，僅還需一個點(diǎn)就可確定拋物線方程。 =2\*GB3②拋物線最大值/最小值為m，相當(dāng)于知道了頂點(diǎn)縱坐標(biāo)k。m=4ac-b24a =3\*GB3③拋物線關(guān)于x=n對稱，相當(dāng)于知道了頂點(diǎn)橫坐標(biāo)h。n=-b2a =4\*GB3④與y軸有一個交點(diǎn)（0，y0），則c=y0 =5\*GB3⑤與x軸有兩個交點(diǎn)（或一個交點(diǎn)），交點(diǎn)為（-b±b2-4ac2a，0 =6\*GB3⑥對稱性：P1（x1，y1），P2（x2，y2），關(guān)于x=m對稱，則x1+x例1.已知y=（1+m）xm2+m是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)m答案：因?yàn)閽佄锞€有最高點(diǎn)所以開口向下，即（1+m）＜0，m＜－1因?yàn)閥=（1+m）xm2+所以m解得m=－2例2.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過（1，－1），（0,1），（－1,13）三點(diǎn)，求次二次函數(shù)的解析式。答案：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax代入3點(diǎn)得：-解得：a所以二次函數(shù)為：y=5x例3.已知某二次函數(shù)在x=1除有最大值－6，且其圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，－8），求次二次函數(shù)的解析式。答案：用頂點(diǎn)式求解析式設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-1)將經(jīng)過點(diǎn)（2，－8）代入得：－8=a(2-1)解得a=－2所以二次函數(shù)解析式為：y=-7.二次函數(shù)圖像的平移方法1：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（h⑵保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到（h，k）在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．方法2：⑴y=ax2+bx+c沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，y=ax2+bx+c變成⑵y=ax2+bx+c沿軸x平移：向左（右）平移m個單位，y=ax（或y=a（

三、重難點(diǎn)題型1.由拋物線的位置確定系數(shù)的符號方法：弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵（1）拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜0（2）對稱軸為x=-（3）與y軸交點(diǎn)為（0，c）例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則點(diǎn)M（b，ca）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：因?yàn)殚_口向下，所以a＜0因?yàn)榕cy軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，所以c＞0因?yàn)閷ΨQ軸大于0，所以-b2a＞0，所以b所以M（b，ca）所以選D例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：其中正確的個數(shù)是（=1\*GB3①a、b同號；②當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.A．1個B．2個C．3個D．4個答案：因?yàn)閽佄锞€開口向上，所以a＞0因?yàn)榕cy軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸（0，－2），所以c=－2因?yàn)閷ΨQ軸大于0，所以-b2a＞0，即b=1\*GB3①錯誤；因?yàn)閽佄锞€與x軸交點(diǎn)為（－1,0），（5,0）所以拋物線對稱軸為：x=5+因?yàn)閤=1和x=3關(guān)于x=2對稱所以②正確因?yàn)閽佄锞€與x軸交點(diǎn)為（－1,0），（5,0）所以0=a-所以③正確④錯誤。因?yàn)楫?dāng)y=－2時，作y=－2的直線，與拋物線有2個交點(diǎn)，即有2個值例3.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，0)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(0，2)的下方．下列結(jié)論：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<O；④2a-b+1>0，其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A1個B.2個C.3個D．4個答案：D因?yàn)閽佄锞€與x軸兩交點(diǎn)為（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2所以對稱軸x=-則-且因?yàn)榕cy軸交點(diǎn)在y軸正半軸上所以a＜0，∴a＜b＜0由拋物線與y軸的正半軸的交點(diǎn)在（0，2）的下方，得c＞0即a＜b＜c，①正確；根據(jù)韋達(dá)定理：－2?x1=c∴－4＜ca＜－∴2a+c＞0，4a+c＜0．∴②③正確④、由拋物線過（-2，0），則4a-2b+c=0，而c＜2，則4a-2b+2＞0，即2a-b+1＞0．④正確．故選D2.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式方法：根據(jù)已知條件，選取合適的解析式表現(xiàn)形式，是快速解題的關(guān)鍵。例1.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)答案：C因?yàn)閷ΨQ軸為x=2，設(shè)拋物線解析式為：y=a（因?yàn)閥=3時，根為x=－2，代入得：3=c所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）例2.如圖（單位：m），等腰直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．等腰直角三角形ABC的腰和正方形邊長都為10m.設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．（1）寫出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x=2，3.5時，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸.答案：（1）因?yàn)橐苿舆^程中，等腰直角三角形和正方形重合部分為等腰直角三角形，且直角邊都是2x所以y=2x（2）當(dāng)x=2時，代入得：y=2×22當(dāng)x=3.5時，代入得：y=2×3.52（3）正方形面積為：10×10=100所以正方形面積一半為：50所以50=2x解得x=5（保留），x=－5（舍去）例3.已知拋物線y=12x2（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸．（2）若該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B，求線段AB的長．答案：（1）y=12xy=1y=1（2）令y=0，得0=1解得：x則AB的長為：-1+例4.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(4，10)，交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿足3AO=OB．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使銳角∠MCO>∠ACO?若存在，請你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請你說明理由．答案：(1)解：如圖∵拋物線交x軸于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，O)，則x1·x2=3<0∵x1<x2∴x2>O，x1<O∵30A=OB，∴x2=-3x1．∴x1·x2=-3x12=-3∴x1=-1．∴．x2=3．∴點(diǎn)A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2b=3∴．二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6．(2)存在點(diǎn)M使∠MC0<∠ACO．點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A’(1，O)，∴直線A，C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點(diǎn)為(0，-6)，(5，24)．∴符合題意的x的范圍為-1<x<0或O<x<5．當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)滿足-1<x<O或O<x<5時，∠MCO>∠ACO．例5.“已知函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2），，求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。答案：（1）根據(jù)y=12x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2），圖象的對稱軸是解得b所以所求二次函數(shù)解析式為y=12x2－3（2）在解析式中令y=0，得12x2－解得x1=所以可以填“拋物線與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+5，0）”或“拋物線與x令x=3代入解析式，得y=-所以拋物線y=12x2－3x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-523.運(yùn)用拋物線的對稱性解題方法：拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)是對稱點(diǎn)；拋物線上有兩點(diǎn)（x1，y1）（x2例1.已知A（x1，2015），B（x2，2015）時二次函數(shù)y=ax2+bx+5的圖像上的兩點(diǎn)，則當(dāng)x=x答案：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同所以A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于對稱軸x=-bx=x1+x2=-y=a（-例2.已知點(diǎn)A（4，y1），B（2，y2），C（－2，y3）都在二次函數(shù)y=（x-2）2-1答案：二次函數(shù)y=（x-2）因?yàn)锳（4，y1），B（2，y2），C（－2，所以－2離對稱軸最遠(yuǎn)，4離對稱軸次之，2離對稱軸最近因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上所以離對稱軸越遠(yuǎn)，y值越大所以y3＞y14.用二次函數(shù)解決最值問題方法：利用配方法，將二次函數(shù)配成y=a（x+k）例1某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030…y（件）252010…若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)．（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？答案：（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則15k解得k=-1，b=40即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40．（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元．例2.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1.5m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m答案：B設(shè)拋物線解析式為：y=ax根據(jù)題干信息可知三個點(diǎn)（－1,1），（3,1），（0,1.5）代入得：1=a×解得：a所以拋物線解析式為：y=代入x=1.5得，y=1.6255.二次函數(shù)的圖像方法：涉及二次函數(shù)圖像，要抓住幾點(diǎn)：開口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)；對稱軸；圖像與x軸、y軸的交點(diǎn)。例1.已知二次函數(shù)y=1（1）試確定其圖像經(jīng)過哪幾個象限（2）若直線y=a與該二次函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)，求a的取值范圍。答案：（1）y=12x