二重積分的概念

1、關(guān)于二重積分的概念現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁，共25頁一一. . 二重積分的概念二重積分的概念1 1引例引例曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 曲頂柱體：曲頂柱體： 柱體的柱體的底底是是xoyxoy面上的一有界閉區(qū)域面上的一有界閉區(qū)域D D； 側(cè)面?zhèn)让媸且允且訢 D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平 行于行于z z軸的柱面；軸的柱面； 頂頂是曲面是曲面z=f(x,y)(f(x,y) 0),fz=f(x,y)(f(x,y) 0),f在在D D 上連續(xù)。上連續(xù)。 區(qū)域的直徑：區(qū)域的直徑：閉區(qū)域上任意兩點間距離的閉區(qū)域上任意兩點間距離的 最大值，稱為閉區(qū)域的直徑最大值，稱為閉區(qū)域的直徑?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是

2、第2頁，共25頁平頂平頂(z=f(x,y)=(z=f(x,y)=常數(shù)常數(shù)) )柱體的體積：柱體的體積： 體積體積 = = 高高（z=z=常數(shù)）常數(shù)） 底面積底面積（區(qū)域（區(qū)域D D的面積）的面積）（請回憶在（請回憶在61解決計算曲邊梯形面積的思想分析方法：解決計算曲邊梯形面積的思想分析方法：）oxyzD Dz=f(x,y)z=f(x,y)yxzz=f(x,y)z=f(x,y)oD D( ( i i, , i i) ) i i現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁，共25頁曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積V:V:分割：分割：D = D = 1 1 2 2 n n V V = = V V1 1V V2 2 V Vn n

3、( ( i i為為V Vi i窄條曲頂柱體的底；窄條曲頂柱體的底；d di i為為 i i的直徑。的直徑。) )近似：近似：近似地將小曲頂視為平頂近似地將小曲頂視為平頂（滿足條件：滿足條件：z=f(x,y)z=f(x,y) 連續(xù)，小區(qū)域連續(xù)，小區(qū)域 i i的直徑的直徑d di i很?。┖苄。渣c以點( ( i i, , i i) ) i i的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo)f(f( i i, , i i) )為高，則得每個小為高，則得每個小 窄條曲頂柱體的體積近似值窄條曲頂柱體的體積近似值 V Vi if(f( i i, , i i) ) i i (i=1,2, ,n)(i=1,2, ,n)求和求和：取極限取

4、極限： 其中其中d = maxd = maxd d1 1,d,d2 2,d,dn n, ,用用 i i也示小區(qū)域的面積。也示小區(qū)域的面積。11( , )nniiiiiiVVf 01lim( ,)niiidiVf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁，共25頁2 2引例引例平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片有一個平面薄片, 在在 xoy 平面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計算該薄片的質(zhì)量計算該薄片的質(zhì)量 M .度為度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)設(shè)D 的面積為的面積為 ,則則M若若),(yx非常數(shù)非常數(shù) , 仍可用仍可用其面密其面密 “分割分割, ,近似和近似和, 求求 極限極限” 解決解決.

5、1)“分割分割”用用任意任意曲線網(wǎng)分曲線網(wǎng)分D 為為 n 個小區(qū)域個小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .Dyx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁，共25頁2)“近似近似”中中任取任取一點一點k在每個),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第則第 k 小塊的質(zhì)量小塊的質(zhì)量yx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁，共25頁兩個問題的兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割分割, 近似和近似和,取極限

6、取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁，共25頁2.2.定義（定義（二重積分二重積分）：）： 設(shè)設(shè)z=f(x,y)z=f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D上有界，則上有界，則分割：分割：用平面曲線網(wǎng)將用平面曲線網(wǎng)將D分成分成n個小區(qū)域個小區(qū)域 1 1, , 2 2, , , n n 各個小區(qū)域的面積是各個小區(qū)域的面積是 1 1 , , 2 2 , n n 各個小區(qū)域的直徑是各個小區(qū)域的直徑是 d d1 1,d,d2 2 ,d,dn n近似：近似：在各個小區(qū)域上任取一點在各個小區(qū)域上任取一點 ( (

7、i i, , i i) ) i i ， 作乘積作乘積 f(f( i i, , i i) ) i i (i=1,2, ,n)(i=1,2, ,n)求和：求和：1( ,)niiiif 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁，共25頁取極限：取極限：當(dāng)當(dāng)n且且 =max=maxd d1 1,d,d2 2,d,dn n0 0時，時， 極限極限 存在，則稱此極限值為存在，則稱此極限值為z=f(x,y)z=f(x,y)在在D上的上的 二重積分二重積分，記為，記為 即即 f(x,y) f(x,y) 被積函數(shù)被積函數(shù) f(x,y)df(x,y)d 被積表達(dá)式被積表達(dá)式 d d 面積元素面積元素 x,y x,y 積分變量積分變量

8、D 積分區(qū)域積分區(qū)域 積分和式積分和式01lim( ,)niiiif ( ,)Df x y d01( , )lim( ,)niiiiDf x y df 1( , )niiiif 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁，共25頁注記注記： 在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，i( x xi i)()( y yi i) ) 面積元素面積元素 d d =dxdy,=dxdy,故二重積分又有形式故二重積分又有形式 由于二重積分的定義，曲頂柱體的體積是由于二重積分的定義，曲頂柱體的體積是 二重積分的幾何意義：二重積分的幾何意義： 當(dāng)當(dāng)f(x,y)0f(x,y)0時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積時，二重積分的幾何意義是：

9、曲頂柱體的體積； 當(dāng)當(dāng)f(x,y)0f(x,y)0時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積的負(fù)值時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積的負(fù)值； 當(dāng)當(dāng)f(x,y)f(x,y)在在D D上既有在若干分區(qū)域上取正值，也有在其余區(qū)域上取負(fù)值時，上既有在若干分區(qū)域上取正值，也有在其余區(qū)域上取負(fù)值時，二重積分的幾何二重積分的幾何意義是：意義是：xoyxoy面上方的柱體體積為正、下方的為負(fù)時的柱體體積的代數(shù)和。面上方的柱體體積為正、下方的為負(fù)時的柱體體積的代數(shù)和。( ,)Df x y dxdy( ,)DVf x y d現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁，共25頁 函數(shù)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域D D上

10、連續(xù)，則上連續(xù)，則f(x,y)f(x,y)在在D D上的二上的二重積分必定存在。重積分必定存在。 n(n( 0)0)時，積分和式極限存在，與對時，積分和式極限存在，與對D D 區(qū)域的分法無關(guān)，與區(qū)域的分法無關(guān)，與( ( i i, , i i) ) i i的取法無的取法無 關(guān)，僅與關(guān)，僅與D D和和f(x,y)f(x,y)有關(guān)。有關(guān)。 “ i i的直徑很小的直徑很小” 與與 “ i i的面積很小的面積很小” 對對 于于 “近似近似” 有根本的區(qū)別，因此極限過程用有根本的區(qū)別，因此極限過程用 00，而不能僅用而不能僅用nn來描述。來描述。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁，共25頁二二重積分的性質(zhì)二二重積分的性

11、質(zhì)( , )( , )DDa f x y daf x y d ( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d12( , )( , )( , )DDDf x y df x y df x y dDd（ 為為D的面積）的面積）（D=D1+D2）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁，共25頁 在在D D上上, ,若恒有若恒有f(x,y)g(x,y)f(x,y)g(x,y)，則，則 特別地，在特別地，在D上若上若f(x,y)0 f(x,y)0 ( 0 )( 0 ) 恒成立，恒成立， 則則 在在D D上若上若mf(x,y)M mf(x,y)M ， 為為D D的面積，則的

12、面積，則( , )( , )DDf x y dg x y d( , )0Df x y d( 0 )( 0 )( , )( , )DDf x y df x y d( , )Dmf x y dM現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁，共25頁 二重積分中值定理：二重積分中值定理： 設(shè)設(shè)f(x,y)f(x,y)C(D)C(D)，D D為有界閉區(qū)域，為有界閉區(qū)域， 為為D D的面積，的面積， 則至少則至少 ( ( , , ) )DD， 使使( , )( , )Df x y df 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁，共25頁例題解析例題解析例例1122 311(),( , )| 11, 22DIxydDx yxy 其中222 322(

13、),( , )|01,02DIxydDx yxy其中設(shè)設(shè)利用二重積分的幾何意義說明利用二重積分的幾何意義說明I I1 1和和I I2 2之間的關(guān)系之間的關(guān)系現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁，共25頁解：解： 由二重積分的幾何意義知，由二重積分的幾何意義知，I I1 1表示底為表示底為D D1 1，頂為曲面，頂為曲面z=z=（x x2 2+y+y2 2）3 3的曲頂柱體的曲頂柱體M M1 1的體積；的體積；I I2 2表示底為表示底為D D2 2，頂為曲面，頂為曲面z=z=（x x2 2+y+y2 2）3 3的曲頂柱體的曲頂柱體M M2 2的體積；由于位于的體積；由于位于D D1 1上方的曲面上方的曲面z=

14、z=（x x2 2+y+y2 2）3 3關(guān)于關(guān)于yoxyox面和面和zoxzox面均對稱，故面均對稱，故yozyoz面和面和zoxzox面將面將M M1 1分成四個等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為分成四個等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為M M2 2。由此可知由此可知124IIxy1-1-22現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁，共25頁例例2利用二重積分的幾何意義確定二重積分利用二重積分的幾何意義確定二重積分223)Dxyd（的值，其中的值，其中22:9D xy解：解：曲頂柱體的底部為圓盤曲頂柱體的底部為圓盤229xy其頂其頂 是下半圓錐面是下半圓錐面223zxy故曲頂柱體為一圓錐體，它的底故曲頂

15、柱體為一圓錐體，它的底面半徑及高均為面半徑及高均為3，所以，所以223)9Dxyd（現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁，共25頁例例3利用二重積分的幾何意義說明：利用二重積分的幾何意義說明：（1 1） 當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域D D關(guān)于關(guān)于y y軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為x x的奇的奇函數(shù)，即函數(shù)，即f f（-x-x，y y）= -f= -f（x x，y y）時有）時有( , )0Df x y d（2 2） 當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域D D關(guān)于關(guān)于y y軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為x x的偶的偶函數(shù)，即函數(shù)，即f f（-x-x，y y）= f= f（x x，y y）時有）時有1(

16、 , )2( , )DDf x y df x y d（D D1 1為為D D在在x0 x0的部分）的部分）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁，共25頁12222()2()DDxydxyd( , )0Df x y d現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁，共25頁注記注記：結(jié)論的推廣結(jié)論的推廣（1 1） 當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域D D關(guān)于關(guān)于x x軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為y y的奇的奇函數(shù)，即函數(shù)，即f f（x x，-y-y）= -f= -f（x x，y y）時有）時有( , )0Df x y d（2 2） 當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域D D關(guān)于關(guān)于x x軸對稱，軸對稱，f f（x x，y y）為）為y y的偶的偶函

17、數(shù)，即函數(shù)，即f f（x x，-y-y）= f= f（x x，y y）時有）時有1( , )2( , )DDf x y df x y d（D D1 1為為D D在在y0y0的部分）的部分）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁，共25頁例例4比較比較23()0()0DDxydxy d和的大小，22( , )|(2)(1)2Dx yxy其中分析：主要考慮分析：主要考慮2322()()( , )|(2)(1)2xyxyDx yxy與在的大小現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁，共25頁【附注附注】比較比較 和和 的大小的大小( , )f x y( , )x y先令先令 得曲線得曲線( , )( , )f x yx y( , )( , )( , )0F x yf x yx y在在 的兩側(cè)的兩側(cè)