線性代數(shù)典型例題

1、線性代數(shù)第一章 行列式典型例題一、利用行列式性質(zhì)計算行列式二、按行列展開公式求代數(shù)余子式 行列式，試求與.三、利用多項式分解因式計算行列式1計算.2設(shè)，那么方程有根四、抽象行列式的計算或證明1.設(shè)四階矩陣，其中均為四維列向量，且行列式,試計算行列式2.設(shè)為三階方陣，為的伴隨矩陣，且，試計算行列式3.設(shè)是階非零實矩陣，元素與其代數(shù)余子式相等，求行列式4.設(shè)矩陣,矩陣滿足,那么5.設(shè)均為3維列向量，記矩陣如果，那么五、階行列式的計算六、利用特征值計算行列式1.假設(shè)四階矩陣與相似，矩陣的特征值為，那么行列式2.設(shè)為四階矩陣，且滿足,又的三個特征值分別為，試計算行列式第二章 矩陣典型例題一、求逆矩陣1

2、.設(shè)都是可逆矩陣，求：2.設(shè)，求二、討論抽象矩陣的可逆性1.設(shè)階矩陣滿足關(guān)系式,證明可逆，并求2.,證明可逆，并求出逆矩陣。3.設(shè),其中均為維列向量，且,求的逆矩陣。4.設(shè)為階矩陣，且可逆，證明也可逆。三、解矩陣方程1.設(shè)矩陣，矩陣滿足,求矩陣. 2.矩陣，且矩陣滿足，求.四、利用伴隨矩陣進行計算或證明1.證明以下等式(1)； (2)假設(shè),那么；3,那么；(4) ,那么；5假設(shè)為同階可逆矩陣，那么.2.設(shè)矩陣滿足,假設(shè)為三個相等正數(shù)，那么五、關(guān)于初等矩陣和矩陣的秩看教材第三章 矩陣典型例題一、判斷向量組的線性相關(guān)性1.設(shè)是維實向量，且線性無關(guān)，是線性方程組的非零解向量，試判斷向量組的線性相關(guān)性

3、。2.設(shè)是個維的線性無關(guān)向量，其中全不為零，證明中任意個向量均無關(guān)。3.設(shè)為矩陣，為矩陣，且,其中，證明的列向量組線性相關(guān)。4.設(shè)為個線性無關(guān)的維列向量，和是與均正交的維非零列向量，證明1、線性相關(guān)；2，線性相關(guān)。二、把一個向量用一組向量線性表示證明線性方程組的解都是的解的充要條件是是的線性組合，其中，.三、求向量組的秩1.給定一個向量組，求其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。2.向量組1；2；3.如果各向量組的秩分別是3、3、4，證明：向量組的秩為4.四、有關(guān)矩陣秩的命題1.設(shè)為實矩陣，證明：2.設(shè)為階方陣，且滿足，證明：.綜合題1. 設(shè)為矩陣，為矩陣，且，設(shè)是滿足的一

4、個維向量，證明：存在唯一的一個維列向量，使. 2.隨機變量，又維向量線性無關(guān)，求向量線性相關(guān)的概率。第四章 線性方程組典型例題一、根本概念題解的判定、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)二、含有參數(shù)的線性方程組的求解三、抽象線性方程組求解1.線性方程組：的一個根底解系為試寫出線性方程組：的通解，并說明理由。2.4階方陣均為4維列向量，其中線性無關(guān)，如果，求線性方程組的通解。四、討論兩個方程組的公共解1.設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解。2.以下非齊次線性方程組，1求解方程組，用其導出組的根底解系表示通解；2當方程組中的參數(shù)為何值時，方程組與同解。3.設(shè)都是階級矩陣，且，證明齊次方程組與有非零公共解。五、討

5、論兩個方程組解之間的關(guān)系1. 與的解的關(guān)系。2.設(shè)有齊次線性方程組與，其中都是矩陣，現(xiàn)有4個命題：假設(shè)的解均是的解，那么；假設(shè)，那么的解均是的解；假設(shè)與同解，那么；假設(shè)，那么與同解。以上命題中正確的選項是：(A) (B) (C) (D) 六、方程組的解，反求系數(shù)矩陣或系數(shù)矩陣中的參數(shù)1.設(shè)，且方程組的根底解系含有2個線性無關(guān)的解向量，求的通解。2.設(shè)，如果是的一個解，試求的通解。七、有關(guān)根底解系的討論1.設(shè)為線性方程組的一個根底解系，其中為實常數(shù)，試問滿足什么關(guān)系時，也為的一個根底解系？2.假設(shè)矩陣的秩為，其個列向量為某一齊次線性方程組的一個根底解系，為階非奇異矩陣，證明：的個列向量也是該齊次

6、線性方程組的一個根底解系。3.設(shè)是非齊次線性方程組的一個解，是其導出組的一個根底解系，證明：1線性無關(guān)；2是方程組的個線性無關(guān)的解；3方程組的任一解，都可以表示為這個解的線性組合，而且組合系數(shù)之和為1.八、有關(guān)的應(yīng)用1.方陣，三階方陣滿足，試求的值。2.3階矩陣的第一行是，不全為零，矩陣為常數(shù)，且，求線性方程組的通解。綜合題1.設(shè)矩陣，證明：存在常數(shù)，使得.2.維向量中，前個向量線性相關(guān)，后個向量線性無關(guān)，又矩陣是階矩陣，證明方程組必有無窮多解，且其任一解中必有. 3.設(shè)階方陣的列向量組為，階方陣的列向量組為：試問當時，齊次線性方程組是否有非零解？并證明你的結(jié)論。4.設(shè)為矩陣，為矩陣，且，證明：5.設(shè)是實矩陣，滿足：1，其中